Автор Муниципальный этап 2025-2026 всероссийской олимпиады школьников по математике задания и ответы для 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса. Данная олимпиада прошла у школьников Ленинградской области 1 декабря 2025 года критерии и решение опубликованы после заданий.
Олимпиада по математике 5 класс 2025-2026
mat_5_klass_mun_olimp_2025_2026Олимпиада по математике 6 класс 2025-2026
mat_6_klass_mun_olimp_2025_2026Олимпиада по математике 7 класс 2025-2026
mat_7_klass_mun_olimp_2025_2026Олимпиада по математике 8 класс 2025-2026
mat_8_klass_mun_olimp_2025_2026Олимпиада по математике 9 класс 2025-2026
mat_9_klass_mun_olimp_2025_2026Олимпиада по математике 10 класс 2025-2026
mat_10_klass_mun_olimp_2025_2026Олимпиада по математике 11 класс 2025-2026
mat_11_klass_mun_olimp_2025_2026Задания для 5 классов
1. Можно ли в квадрате 7 × 7 закрасить некотрые клетки так, чтобы в любом квадрате 2 × 2 была ровно одна закрашенная клетка?
2. Имеется мешок с 16 кг сахарного песка и рычажные весы без гирь и несколько чашек. Можно ли отмерить 13 кг сахара?
3. На доске написано 50 последовательных натуральных чисел. При этом на доске написано 126 цифр. Какие числа написаны на доске?
4. На 9 карточках пишут числа 1, 2, . . . , 9, причём каждое ровно один раз, перемешивают их и раскладывают чистыми сторонами вверх. Затем снова пишут числа 1, 2, . . . , 9. Для каждой карточки складывают два ее числа, после чего, полученные 9 сумм перемножают. Докажите, что после перемножения этих сумм получится четное число.
5. Делится ли число 2710 + 2910 на 10?
6. На празднике в большой компании встретились Иванов, Петров, Сидоров. Их профессии: программист, математик и инженер. У программиста нет ни братьев, ни сестер, и он самый младший из троих. Сидоров старше математика и женат на сестре Иванова. Назовите фамилии программиста, математика и инженера.
Задания для 6 классов
1. Разрежьте фигуру, показанную на рисунке, на три равных по форме и по площади части. Разрезы можно проводить только по линиям сетки.
2. Имеется три одинаковых по виду монеты и чашечные весы без гирь. Известно, что две монеты настоящие, и весят одинаково, а третья монета фальшивая, причем она может оказаться и легче, и тяжелее остальных. За какое минимальное количество взвешиваний можно гарантированно найти фальшивую монету и определить, легче она или тяжелее?
3. В локальной компьютерной сети ввели правило: когда один компьютер посылает другому какое-то сообщение, компьютер-получатель должен в ответ отправить два сообщения, основное и резервное. На этом обмен сообщениями между этими компьютерами останавливается. Может ли так получиться, что в какой-то день компьютеры все вместе отправили ровно 1000 сообщений?
4. Какая наименьшая степень числа 150 делится на 20252025?
5. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых встречается сочетание цифр 1234? (Без разрывов, в том же порядке).
6. За круглым столом сидят 10 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Двое из них заявили: ”Оба моих соседа — лжецы”, а остальные восемь заявили: ”Оба моих соседа — рыцари”. Сколько рыцарей могло быть среди этих 10 человек? (Перечислите все возможные варианты и докажите, что других нет.)
Задания для 7 классов
1. Нарисуйте восемь одинаковых квадратов так, чтобы ровно 15 точек были вершинами этих нарисованных квадратов.
2. Как разделить поровну семь одинаковых пирожных между 12 гостями дня рождения, если ни одно пирожное невозможно разрезать более, чем на пять частей?
3. Семья состоит из трех человек: отца, матери и дочери. Сейчас сумма возрастов членов семьи составляет 74 года, а 10 лет назад такая сумма составляла 47 лет. Сколько сейчас лет отцу, если он старше дочери на 28 лет?
4. Взяли трехзначное число и переставили его цифры в обратном порядке. Может ли сумма двух трехзначных чисел – полученного числа и исходного числа – быть числом, записанным только нечетными цифрами?
5. В квадрате ABCD точка K — середина стороны AB, точка L — середина стороны BC, точка M — точка пересечения DK и AL. Что больше: площадь четырехугольника BKML или площадь треугольника DLM?
6. Если перемножить все цифры некоторого натурального числа на само это число, то получится 1716. Найдите все такие числа.
Задания для 8 классов
1. При каких значениях коэффициентов a, b, c три прямые y = ax+b, y = bx+c, y = cx+a, проведенные на координатной плоскости, пересекаются в точке (2; 2)?
2. Имеется мешок с 25 кг сахарного песка, рычажные весы, гиря в 1 кг и несколько чашек. Можно ли за два взвешивания отмерить 19 кг сахара?
3. В треугольнике ABC длина биссектрисы AL равна длине отрезка LC, AC = 2AB (точка L лежит на BC). Найдите величину угла ABC.
4. 12 студентов ответили на вопросы экзаменационного теста. Известно, что каждый студент ответил правильно на все вопросы, кроме четырех, и на каждый вопрос правильно ответили все студенты, кроме трех. Сколько вопросов в тесте?
5. На какую максимальную степень числа 3 делится число 3 · 33 · 333 · 3 333 · 33 333 · 333 333 · 3 333 333 · 33 333 333 · 333 333 333 · 3 333 333 333 ? Написано произведение десяти чисел, в каждом из которых на одну цифру 3 больше предыдущего.
Задания для 9 классов
1. Напишите какое-нибудь натуральное число, которое делится на 2025, и сумма цифр которого делится на 2025. Поясните свой ответ.
2. Рассматриваются графики квадратных функций вида y = 2x 2 + px + q, такие, что p + 1 10 q = 100. Докажите, что все эти графики проходят через одну точку координатной плоскости.
3. В параллелограмме ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке P, биссектрисы внешних углов при вершинах C и D пересекаются в точке Q. Докажите, что длина отрезка P Q равна полупериметру параллелограмма.
4. В поселке живут Рыцари и Лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а Лжецы всегда говорят неправду. В этом поселке нескольким жителям задали два вопроса: «Есть ли у вас домашнее животное?» и «Есть ли у вас кошка?» На вопросы можно было ответить только «Да» или «Нет». На первый вопрос «Да» ответила ровно половина опрошенных, на второй вопрос «Да» ответили менее половины опрошенных. Кого больше среди тех, у кого есть домашнее животное, но нет кошки — Рыцарей или Лжецов?
5. Про натуральные числа a, b, c известно, что ab делится на 32, но не делится на 4096, bc делится на 128, но не делится на 512, ac делится на 256, но не делится на 1024. Делится ли a + b + c на 4?
Задания для 10 классов
1. Найдите наименьшее целое число, которое является решением неравенства (x + 3)5 + (x − 3)5 ⩾ 5000
2. В саду в ряд растет 10 яблонь, на каждой из которых созрели яблоки. Во время сбора урожая садовник заметил, что количество яблок, собранных на соседних яблонях, отличается ровно в два раза, и с разных яблонь он собрал разное количество яблок. Может ли садовник разложить все собранные яблоки в 10 ящиков, если в каждый ящик входит не больше 100 яблок?
3. Одно и то же число разделили с остатком сначала на 12, затем на 13. Сумма неполного частного, полученного при делении на 12, и остатка, полученного при делении на 13, равна 14. Найдите остаток от деления данного числа на 12.
4. В трапеции ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке P, биссектрисы внешних углов при вершинах C и D пересекаются в точке Q. Докажите, что длина отрезка P Q равна полупериметру трапеции.
5. Даны натуральные числа a, b, c, d, такие, что, d — наибольшее из них, и выполняется (ab + cd)(bc + ad)(ac + bd) = (d − a) 2 (d − b) 2 (d − c) 2 . Докажите, что d = a + b + c.
Смотрите на сайте олимпиады по математике
Региональный этап 2026 олимпиада по математике 9, 10, 11 класса задания и ответы