Автор Задания, ответы и разбор заданий регионального этапа 2021 год ВОШ по математике для 8, 9, 10, 11 класса всероссийской олимпиады школьников XIII математическая олимпиада имени Леонарда Эйлера, официальная дата проведения: 05.02.2021-06.02.2021 (5-6 февраля 2021 года)
Ссылка для скачивания заданий и ответов ВОШ 2021 8 класс 1 день: скачать
Ссылка для скачивания заданий и ответов ВОШ 2021 8 класс 2 день: скачать
Ссылка для скачивания заданий и ответов ВОШ 2021 9-11 класс 1 день: скачать
Ссылка для скачивания заданий и ответов ВОШ 2021 9-11 класс 2 день: скачать
Ссылка для скачивания видеоразбора заданий ВОШ 2021 9-11 класс: скачать
Региональный этап 2021 ВОШ олимпиады по математике задания и ответы для 8 класса:
1)Натуральное число, большее 1000000, даёт одинаковые остатки при делении на 40 и на 125. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде сотен?
2)Числа x и y удовлетворяют неравенствам x 2−x > y 2 и y 2−y > x 2 . Какой знак может иметь произведение xy (укажите все возможности)?
3)В группе из 79 школьников у каждого 39 знакомых, причем у любого мальчика есть знакомая девочка, а у любой девочки ⎯ знакомый мальчик. Может ли оказаться, что все девочки из этой группы имеют в ней поровну знакомых мальчиков, а все мальчики ⎯ поровну знакомых девочек? Все знакомства ⎯ взаимные.
4)Петя и Вася играют в игру. Вася кладёт в ряд 150 монет: некоторые «орлом» вверх, некоторые — «решкой». Петя своим ходом может показать на любые три лежащие подряд монеты, после чего Вася обязан перевернуть какие-то две монеты из этих трёх по своему выбору. Петя хочет, чтобы как можно больше монет лежали «решкой» вверх, а Вася хочет ему помешать. При каком наибольшем k Петя сможет независимо от действий Васи добиться того, чтобы хотя бы k монет лежали «решкой» вверх?
5)CL — биссектриса треугольника ABC. CLBK — параллелограмм. Прямая AK пересекает отрезок CL в точке P. Оказалось, что точка P равноудалена от диагоналей параллелограмма CLBK. Докажите, что AK CL.
6)У уголка из трёх клеток центральной назовём клетку, соседнюю по стороне с двумя другими. Существует ли клетчатая фигура, которую можно разбить на уголки из трех клеток тремя способами так, чтобы каждая ее клетка в одном из разбиений была центральной в своем уголке?
7)Точка M — середина стороны AC равностороннего треугольника ABC. Точки P и R на отрезках AM и BC соответственно выбраны так, что AP = BR. Найдите сумму углов ARM, PBM и BMR.
8)Сначала Саша прямолинейными разрезами, каждый из которых соединяет две точки на сторонах квадрата, делит квадрат со стороной 2 на 2020 частей. Затем Дима вырезает из каждой части по кругу. Докажите, что Дима всегда может добиться того, чтобы сумма радиусов этих кругов была не меньше 1.
9)Дано натуральное число n, большее 2. Докажите, что если число n!+n 3+1 — простое, то число n 2+2 представляется в виде суммы двух простых чисел.
10)В квадратной таблице 2021х2021 стоят натуральные числа. Можно выбрать любой столбец или любую строку в таблице и выполнить одно из следующих действий: 1) Прибавить к каждому выбранному числу 1. 2) Разделить каждое из выбранных чисел на какое-нибудь натуральное число. Можно ли за несколько таких действий добиться того, чтобы каждое число в таблице было равно 1?
Региональный этап 2021 ВОШ олимпиады по математике задания и ответы для 9, 10, 11 класса:
1)Ослик Иа-Иа составил из шести палочек два треугольника. Затем он разобрал треугольники обратно и покрасил шесть палочек в два цвета: три самых коротких — в желтый цвет, а три остальных — в зеленый. Обязательно ли ослику удастся составить два треугольника, один — из трех желтых палочек, а другой — из трех зеленых?
2)Два ненулевых числа x и y удовлетворяют неравенствам x2 — x > y2 и y2 — y > x2 . Какой знак может иметь произведение xy?
3)Петя и Вася играют на доске 100 × 100. Изначально все клетки доски белые. Каждым ходом Петя окрашивает в черный цвет одну или несколько белых клеток, стоящих подряд по диагонали. Каждым ходом Вася окрашивает в черный цвет одну или несколько белых клеток, стоящих подряд по вертикали. (Справа на рисунке показаны возможные первые ходы Пети и Васи на доске 4 × 4.) Первый ход делает Петя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
4)Первоклассник составил из шести палочек два треугольника. Затем он разобрал треугольники обратно и разбил шесть палочек на две группы по три палочки: в первой группе оказались три самых длинных палочки, а во второй — три самых коротких. Обязательно ли можно составить треугольник из трех палочек первой группы? А из трех палочек второй группы?
5)Вписанная окружность касается сторон AB, BC и CA неравнобедренного треугольника ABC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Пусть m — средняя линия треугольника A1B1C1, параллельная стороне B1C1. Биссектриса угла B1A1C1 пересекает m в точке K. Доказать, что описанная окружность треугольника BCK касается m.
6)Натуральное число, большее 1000000, дает одинаковые остатки при делении на 40 и на 625. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде тысяч?
7)На оси Ox отметили точки 0,1, 2,…, 100 и нарисовали графики 200 различных квадратичных функций, каждый из которых проходит через две из отмеченных точек и касается прямой y = —1. Для каждой пары графиков Олег написал на доске число, равное количеству общих точек этих графиков. После чего он сложил все 19900 чисел, написанных на доске. Мог ли он получить число 39699?
8)Треугольная пирамида SABC вписана в сферу Ω. Докажите, что сферы, симметричные Ω относительно прямых SA, SB, SC и плоскости ABC, имеют общую точку. Сфера, симметричная данной относительно прямой ℓ — это сфера такого же радиуса, у которой центр симметричен центру исходной сферы относительно прямой ℓ.
9)В Цветочном городе живет 992 коротышек. Некоторые из коротышек рыцари (они всегда говорят правду), а остальные — лжецы (они всегда лгут). Дома в городе расположены в клетках квадрата 99 × 99 (всего 992 домов, расположенных в 99 вертикальных и в 99 горизонтальных улицах). В каждом из домов живет ровно один коротышка. Номер дома обозначается парой чисел (x; y), где 1 ≤ x ≤ 99 — номер вертикальной улицы (номера возрастают слева направо), а 1 ≤ y ≤ 99 — номер горизонтальной улицы (номера возрастают снизу вверх). Цветочным расстоянием между двумя домами с номерами (x1; y1) и (x2; y2) называется число ρ = |x1 — x2| + |y1 — у2|. Известно, что на каждой улице — вертикальной или горизонтальной, — проживает не менее k рыцарей. Кроме того, всем коротышкам известно, в каком доме живет рыцарь Знайка. Вы хотите найти его дом, но не знаете, как выглядит Знайка. Вы можете подходить к любому дому и спрашивать живущего в нем коротышку: «Каково цветочное расстояние от вашего дома до дома Знайки?». При каком наименьшем k вы можете гарантированно найти дом Знайки?
10)Десятизначные натуральные числа a, b, c таковы, что а + b = c. Какое наибольшее количество из 30 их цифр могут оказаться нечетными?
11)Вася записал в клетки таблицы 9 × 9 натуральные числа от 1 до 81 (в каждой клетке стоит по одному числу, все числа различны). Оказалось, что любые два числа, отличающихся на 3, стоят в соседних по стороне клетках. Верно ли, что обязательно найдётся две угловых клетки, разность чисел в которых делится на 6?
12)Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Оказалось, что точка пересечения медиан треугольника ABD лежит на биссектрисе угла BCD. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC лежит на биссектрисе угла ADC.
13)В алфавите n > 1 букв; словом является каждая конечная последовательность букв, в которой любые две соседние буквы различны. Слово называется хорошим в том случае, когда из него нельзя вычеркнуть все буквы, кроме четырёх, так, чтобы осталась последовательность вида aabb, где а и b — различные буквы. Найдите наибольшее возможное количество букв в хорошем слове.
14)На доску выписали три натуральных числа: два десятизначных числа а и b, а также их сумму а + b. Какое наибольшее количество нечетных цифр могло быть выписано на доске?
15)Фокусник с помощником собираются показать следующий фокус. У них есть n ≥ 3 карточек с номерами 1, 2,. .., n, и ряд из n клеток размером в карточку. Оборотные стороны всех карточек неразличимы. Зритель выкладывает на некоторые два места карточки 1 и 2; помощник фокусника, видя это, выкладывает на свободные места остальные карточки. Затем все карточки переворачиваются числами вниз, и входит фокусник. Он переворачивает одну из карточек, а затем зритель переворачивает другую. После этого фокусник должен правильно указать карточку 1 и правильно указать карточку 2. При каких n фокусник и помощник смогут договориться так, чтобы гарантированно фокус удался?
16)Пусть I — центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC, M и N — точки касания вписанной окружности сторон AB и BC соответственно. Через точку I параллельно стороне AC проведена прямая ℓ и на нее опущены перпендикуляры AP и CQ. Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
Другие задания и ответы ВОШ регионального этапа 2021:
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 региональный этап задания и ответы