Автор Пособие составлено в соответствии с программой учебного предмета «Математика 10-11 класс» для математико экономических классов СУНЦ УрФУ и содержит план изучения каждой темы с задачами для решения в классе и дома. К наиболее сложным задачам приведены указания. Для обучающихся в классах с углубленным изучением математики.
Ссылка для скачивания пособия: скачать в PDF
Смотреть онлайн:
Интересные задания со сборника (решения смотрите в сборнике):
1)Опишите все случаи (с доказательством), когда A X B = B X A.
2)Из 100 студентов английский язык знают 28 студентов, немецкий — 30, французский — 42, английский и французский — 10, немецкий и французский — 5, английский и немецкий — 8, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из трех языков?
3)В неравном бою из 100 пиратов 90 потеряли руку, 80 — ногу, 70 — глаз. Найдите минимальное количество «счастливчиков», потерявших одновременно и руку, и ногу, и глаз.
4)На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии — 700, а по стереометрии — 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии — 500, по планиметрии и стереометрии — 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?
5)Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.
6)Докажите, что любое целое число рублей, большее 7, можно уплатить без сдачи денежными билетами достоинством в 3 и 5 рублей.
7)На плоскости даны n прямых. Докажите, что области, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно так закрасить двумя красками 2 , что никакие две соседние (т. е. области, соприкасающиеся по отрезку прямой) не будут закрашены одной и той же краской.
8)Из квадратной доски размера 1024 x 1024 вырезали произвольным образом клетку. Докажите, что оставшуюся часть можно разрезать на уголки, состоящие из трех клеток каждый.
9)Несколько прямых делят плоскость на части. Каждая прямая «заштрихована» с одной стороны. Докажите, что у одной из частей все границы заштрихованы изнутри.
10)Кусок бумаги можно рвать на четыре или шесть кусочков. Докажите, что по таким правилам его можно порвать на любое количество кусочков, большее девяти.
11)Докажите, что произведение четырех последовательных натуральных чисел делится на 24.
12)Докажите, что никакое четное число, не кратное четырем, нельзя представить как разность квадратов двух натуральных чисел.
13)Докажите, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1.
14)Докажите, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6
15)Верно ли, что если число делится на 81, то сумма его цифр также делится на 81? Верно ли обратное утверждение?
16)Может ли сумма квадратов трех нечетных чисел быть квадратом целого числа?
17)Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз
18)Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 мужчин и 7 женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом?
19)Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно использовать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из них?
20)Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждая цифра может повторяться несколько раз?
21)Каких чисел от 1 до 107 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в записи которых ее нет?
22)Сколькими способами можно раздать колоду в 52 карты 13 игрокам по 4 карты каждому игроку?
23)Сколькими способами можно переставить буквы в слове «пастух» так, чтобы между двумя гласными были две согласные буквы?
24)В купе железнодорожного вагона имеется два противоположных дивана по 5 мест в каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом по ходу движения, а трое — спиной. Сколькими способами могут разместиться пассажиры?
25)Имеется 14 пар различных конфет. Найдите количество различных (в том числе и пустого) подарков, которые можно из них составить (учитывается только состав каждого подарка, порядок конфет в нем не важен).
26)Сколькими способами можно посадить рядом трех англичан, трех французов и трех турок так, чтобы никакие три соотечественника не сидели рядом?
27)Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой пачке было по 2 туза?
28)Из мешка с 33 жетонами, на которых написаны русские буквы, вытаскивают один за другим 4 жетона и выкладывают их слева направо на столе. Какова вероятность того, что получится слово «барс»? Как изменится ответ, если жетоны достают все вместе, после чего разрешается
выкладывать их на стол в нужном нам порядке?
29)Бросаются две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков будет больше их произведения.
30)Из пяти отрезков с длинами 1, 3, 5, 7, 9 наудачу выбирают три. Какова вероятность того, что из них можно построить треугольник?
31)В ящике лежат 12 белых и 8 черных носков, одинаковых на ощупь. Вася в полной темноте достает 8 носков, после чего включает свет. Какова вероятность того, что из вынутых им носков ровно три черных?
32)Вася пришел на стадион. С вероятностью 0,3 он хочет купить билет на футбол, с вероятностью 0,4 — на баскетбол, с вероятностью 0,2 — на волейбол. Какова вероятность того, что Вася попадет на соревнование, а не уйдет домой?
33)В условиях предыдущей задачи какова вероятность того, что Вася попадет на соревнование, в котором запрещена игра ногой?
34)Бросили монету и игральную кость. Докажите, что события «выпал герб» и «выпало четное число очков» независимы
35)Три охотника одновременно стреляют в зайца. Заяц умирает, если в него попала хотя бы одна пуля. Первый охотник попадает с вероятностью 0,8, второй — 0,75, третий — 0,7. Найдите вероятность смерти зайца.
36)В ящике лежит 12 красных, 8 зеленых и 10 синих носков, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимается один носок. Известно, что он не синий. Какова вероятность того, что он красный?
37)Три человека угадывают пол кошки, сидящей в мешке. Первый и второй угадывают правильный ответ с вероятностью p, а третий просто бросает монетку. Затем они определяют пол кошки простым голосованием. Какова вероятность, что они угадают правильно?
38)Что вероятнее при бросании двух монет — выпадение обеих «решек» или «орла» и «решки»?
39)Бросили две монеты. Какова вероятность того, что на одной выпал «орел», а на другой «решка»?
40)Куб, все грани которого окрашены, распилили на 1000 кубиков, после чего наудачу взяли один из них. Найдите вероятность того, что он имеет ровно две окрашенные грани.
41)По самолету производится три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором — 0,6, при третьем — 0,8. При одном попадании самолет сбивается с вероятностью 0,3, при двух попаданиях — с вероятностью 0,6, при трех попаданиях самолет сбивается наверняка. Какова вероятность сбить самолет?
42)Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность поломки первого станка в течение одной смены равна 0,1, а второго — 0,2. Какова вероятность того, что в течение всей смены оба станка проработают без поломки?
43)Составьте уравнения касательных к кривой у = x2 — 4x + 3, проходящих через точку M (2 ,—5). Сделайте чертеж.
44)Под каким углом пересекаются кривые у = sin x и у = cos x?
45)Число 18 разбейте на такие два слагаемых, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
46)В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом 60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
47)Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют одинаковые длины — по 50 см. Найдите размер ее большего основания, при котором площадь трапеции будет наибольшей.
48)В каком отношении делится площадь квадрата параболой, проходящей через две его соседние вершины и касающейся одной стороны в ее середине?
49)Однородный стержень длиной 20 м площадью поперечного сечения 4 см2 и плотностью 8 г/см3 вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец, с угловой скоростью 10п с—1. Найдите кинетическую энергию стержня.
50)Через середину C дуги AB проводят две произвольные прямые, которые пересекают окружность в точках D, E и хорду AB — в точках F и G. Докажите, что четырехугольник DEGF может быть вписан в окружность.
51)Через точку O проведены три прямые, попарные углы между которыми равны 60°. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки A на эти прямые, служат вершинами правильного треугольника.
52)Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом (т. е. ни одна из них не лежит внутри другой). Найдите длину общей касательной к этим окружностям.
53)Основание треугольника равно 20, а медианы к боковым сторонам равны 18 и 24. Найдите площадь треугольника.
54)В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.
55)Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника площади 5, равна 35/4.
56)Основание треугольника равно 26, а медианы, проведенные к боковым сторонам, равны 36 и 15. Найдите площадь треугольника и третью медиану
57)В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. Найдите площадь треугольника.
58)На сторонах BC и AC треугольника ABC выбраны соответственно точки A1 и B1 так, что BA1 : A1C = 1 : 3 и AB1 : B1C = 2 : 1. Отрезки AA1 и BB1 пересекаются в точке O. Найдите отношение B1O : OB.
59)В условиях предыдущей задачи найдите площадь четырехугольника BC1OA1, если SABC = 1.
60)Даны катеты прямоугольного треугольника ABC: AC = 4 и BC = 3. В треугольнике проведены биссектриса CD и медиана AM. Они пересекаются в точке E. Найдите площадь треугольника CEM.
61)Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом ее основании. Найдите все стороны трапеции, если ее высота равна 12, а длины биссектрис 15 и 13.
62)Постройте прямую, на которой две данные окружности с общим центром высекают три конгруэнтных отрезка.
63)Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный стол однаковые монеты. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Докажите, что первый игрок имеет выигрышную стратегию.
64)Постройте равносторонний треугольник так, чтобы его вершины принадлежали трем данным параллельным прямым.
65)На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние треугольники ABC и CDE; M и P — середины отрезков AD и BE соответственно. Докажите, что треугольник CPM равносторонний.
66)Докажите, что плоскость а, проходящая через середины двух ребер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основанию, параллельна третьему ребру основания. Найдите периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью а, если длины всех ребер тетраэдра равны 20.
67)В трапеции ABCD основание BC равно 12. Точка M не лежит в плоскости трапеции, а точка K — середина отрезка B M . Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок MC в некоторой точке H, и найдите отрезок KH.
68)Отрезок AD перпендикулярен плоскости равнобедренного треугольника АBC; AB = A c = 5, BC = 6, AD = 12. Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой BC.
69)Игрушечный слон висит под потолком на трех веревочках длиной 40 см каждая; точки крепления веревочек к потолку образуют правильный треугольник со стороной 60 см. Найдите расстояние от слона до потолка (размерами слона пренебречь).
70)Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная его плоскости; BF = 8, AB = 4. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата.
71)Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости а , а катет наклонен к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью а и плоскостью треугольника.
72)В кубе с ребром 1 найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими диагональ куба и диагональ грани куба.
73)Даны точки A(3,2,5), B(5,4,8), C(—3, х, y). При каких х и у точка C лежит на прямой AB?
74)Даны точки A(1,2,3), В(7,4,9), С(1, 1, 1) и D (3,8,6). Определите взаимное расположение прямых AB и CD.
75)Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 2. Найдите объем пирамиды, а также радиусы вписанного и описанного шаров.
76)Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а радиус вписанного шара — 1/2. Найдите величину двугранного угла между боковыми гранями пирамиды.
77)В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 6 . Найдите объем этой призмы, если известно, что в нее можно вписать шар.
78)Найдите радиус шара, вписанного в треугольную пирамиду, пять ребер которой равны 2 , а одно ребро равно 1.
79)Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD. На ребре SA взята точка M так, что SM = 2aM. Через M и середины ребер SB и SD проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
80)Радиусы двух шаров равны 2 и 5. Через их единственную общую точку проведена плоскость, площадь сечения которой меньшего шара равна 0,4. Найдите площадь сечения этой плоскостью большего шара.
81)Высота конуса равна h. Разверткой боковой поверхности этого конуса является сектор с центральным углом 120°. Вычислите объем конуса.
82)Радиус основания конуса равен R. Разверткой боковой поверхности этого конуса является сектор с центральным углом 90°. Вычислите объем конуса.
83)Через центр шара проведены три попарно перпендикулярные плоскости, разделившие шар на 8 частей. В каждую из этих частей вписано по маленькому шарику. Найдите отношение объема одного маленького шарика к объему исходного шара.
84)Угол при вершине осевого сечения конуса равен 150°. Через вершину конуса проведено сечение, являющееся прямоугольным треугольником. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.
85)ABC — правильный треугольник со стороной 3, M и K — точки на BA и CA такие, что BM = CK = 1. Найдите объем тела, полученного при вращении треугольника ABC вокруг прямой MK.
86)Один из углов трапеции равен 30°, а прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом. Найдите длину меньшей боковой стороны трапеции, если ее средняя линия равна 10, а одно из оснований равно 8 .
87)Основания трапеции равны 4 и 3, а боковые стороны пересекаются под прямым углом. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.
88)Основания трапеции равны 4 и 16. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если известно, что эти окружности существуют.
89)Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3, а её периметр равен 42. Найдите площадь трапеции.
Ответы и решения опубликованы в самом сборнике!
Смотрите также на нашем сайте:
Корянов А.Г ЕГЭ математика 11 класс решение уравнений и неравенств
22.04.2020 Математика 11 класс статград ответы и задания МА1910501-МА1910512