Автор Тренировочные варианты 29, 30 ФИПИ ЕГЭ 2026 по математике 11 класс профильный уровень от профиматики задания с ответами и решением для подготовки к экзамену. Каждый вариант состоит из 19 заданий банка ФИПИ, Ященко и экзаменов прошлых лет вариант 3-4 дата проведения пробника 19 апреля 2026.
29 вариант ЕГЭ 2026 математика 11 класс профиматика
Загрузка...
Перезагрузить документ 
Открыть в новой вкладке Ответы для вариантов
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 сторона 𝐴𝐵 равна 2 √ 3, угол 𝐶 равен 120∘ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
3. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известно, что 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 5, 𝐴𝐴1 = 4. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐴1 𝐵1.
4. В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 4 из Эстонии, 10 из Латвии, 6 из Литвы и 5 из Польши. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Литвы.
5. В аэропорту два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится чай, равна 0,4. Такова же вероятность того, что чай закончится во втором автомате. Вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−8; 3). Определите количество точек, в которых производная функции 𝑓(𝑥) равна 0.
9. Два тела, массой 𝑚 = 6 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью 𝑣 = 9 м/с под углом 2𝛼 друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле 𝑄 = 𝑚𝑣2 sin2 𝛼, где 𝑚 – масса (в кг), 𝑣 – скорость (в м/с). Найдите, под каким углом 2𝛼 должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 243 Дж. Ответ дайте в градусах.
10. Расстояние между городами А и В равно 500 км. Из города А в город В выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 260 км от города А. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображён график функции 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥+𝑏. Найдите значение 𝑥, при котором 𝑓(𝑥) = −6,5.
12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = 4𝑥 − ln(𝑥 + 11) + 12.
14. В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 с основанием 𝐴𝐵𝐶𝐷 точка 𝑂 – центр основания пирамиды, точка 𝑀 – середина ребра 𝑆𝐶, точка 𝐾 делит ребро 𝐵𝐶 в отношении 𝐵𝐾 : 𝐾𝐶 = 3 : 1, а 𝐴𝐵 = 2 и 𝑆𝑂 = √ 14. a) Докажите, что плоскость 𝑂𝑀𝐾 параллельна прямой 𝑆𝐴. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 𝑂𝑀𝐾 пересекает грань 𝑆𝐴𝐷.
16. В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. рублей; – к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что платёж в 2029 году будет равен 417,6 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
17. На сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечены точки 𝐶1, 𝐴1 и 𝐵1 соответственно, причём 𝐴𝐶1 : 𝐶1𝐵 = 21 : 10, 𝐵𝐴1 : 𝐴1𝐶 = 2 : 3, 𝐴𝐵1 : 𝐵1𝐶 = 2 : 5. Отрезки 𝐵𝐵1 и 𝐶𝐶1 пересекаются в точке 𝐷. a) Докажите, что четырёхугольник 𝐴𝐷𝐴1𝐵1 – параллелограмм. б) Найдите 𝐶𝐷, если отрезки 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 перпендикулярны, 𝐴𝐶 = 63, 𝐵𝐶 = 25.
19. Из пары натуральных чисел (𝑎; 𝑏), где 𝑎 > 𝑏, за один ход получают пару (𝑎 + 𝑏, 𝑎 − 𝑏). a) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару, большее число в которой равно 400? б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару (806; 788)? в) Какое наименьшее 𝑎 может быть в паре (𝑎; 𝑏), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?
30 тренировочный вариант ЕГЭ 2026 математика 11 класс
Загрузка...
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 сторона 𝐴𝐵 равна 4 √ 3, угол 𝐶 равен 120∘ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
3. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известно, что 𝐴𝐵 = 8, 𝐵𝐶 = 7, 𝐴𝐴1 = 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐴1 𝐵1.
4. В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 7 из Греции, 9 из Болгарии, 5 из Румынии и 4 из Венгрии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Болгарии.
5. В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится чай, равна 0,3. Такова же вероятность того, что чай закончится во втором автомате. Вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−1; 10). Определите количество точек, в которых производная функции 𝑓(𝑥) равна 0.
9. Два тела, массой 𝑚 = 10 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью 𝑣 = 6 м/с под углом 2𝛼 друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле 𝑄 = 𝑚𝑣2 sin2 𝛼, где 𝑚 – масса (в кг), 𝑣 – скорость (в м/с). Найдите, под каким углом 2𝛼 должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 90 Дж. Ответ дайте в градусах.
10. Расстояние между городами A и B равно 790 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 85 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 450 км от города A. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображён график функции 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥+𝑏. Найдите значение 𝑥, при котором 𝑓(𝑥) = −8.
12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = 10𝑥 − ln(𝑥 + 11) + 3.
13. В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 с основанием 𝐴𝐵𝐶𝐷 точка 𝑂 – центр основания пирамиды, точка 𝑀 – середина ребра 𝑆𝐶, точка 𝐾 делит ребро 𝐵𝐶 в отношении 𝐵𝐾 : 𝐾𝐶 = 2 : 1, а 𝐴𝐵 = 6 и 𝑆𝑂 = 3√ 7. a) Докажите, что плоскость 𝑂𝑀𝐾 параллельна прямой 𝑆𝐴. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 𝑂𝑀𝐾 пересекает грань 𝑆𝐴𝐷.
16. В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 30 % по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. рублей; – к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что платёж в 2029 году будет равен 860,6 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
17. На сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечены точки 𝐶1, 𝐴1 и 𝐵1 соответственно, причём 𝐴𝐶1 : 𝐶1𝐵 = 7 : 12, 𝐵𝐴1 : 𝐴1𝐶 = 3 : 1, 𝐴𝐵1 : 𝐵1𝐶 = 3 : 4. Отрезки 𝐵𝐵1 и 𝐶𝐶1 пересекаются в точке 𝐷. a) Докажите, что четырёхугольник 𝐴𝐷𝐴1𝐵1 – параллелограмм. б) Найдите 𝐶𝐷, если отрезки 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 перпендикулярны, 𝐴𝐶 = 21, 𝐵𝐶 = 16.
19. Из пары натуральных чисел (𝑎; 𝑏), где 𝑎 > 𝑏, за один ход получают пару (𝑎 + 𝑏, 𝑎 − 𝑏). a) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (50; 9) пару, большее число в которой равно 200? б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (50; 9) пару (408; 370)? в) Какое наименьшее 𝑎 может быть в паре (𝑎; 𝑏), из которой за несколько ходов можно получить пару (408; 370)?
3 вариант на основе ЕГЭ прошлых лет
Загрузка...
1. Угол 𝐴𝐶𝑂 равен 33∘ . Его сторона 𝐶𝐴 касается окружности с центром в точке 𝑂. Сторона 𝐶𝑂 пересекает окружность в точке 𝐵 (см. рис.). Найдите градусную меру дуги 𝐴𝐵 окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
3. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 8 √ 3, а высота равна 6.
4. В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей: 36 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
5. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,4 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−12; 2). Найдите промежутки возрастания функции 𝑓(𝑥). В ответе укажите длину наибольшего из них.
9. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна 𝐼 = 𝜀 𝑅 + 𝑟 , где 𝜀 — ЭДС источника (в вольтах), 𝑟 = 1 Ом — его внутреннее сопротивление, 𝑅 — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания 𝐼кз = 𝜀 𝑟 ? Ответ дайте в омах.
10. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 18 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 31 час после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
11. На рисунке изображён график функции 𝑓(𝑥) = 𝑘 √ 𝑥. Найдите значение 𝑥, при котором 𝑓(𝑥) = −8.
14. В правильной шестиугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 сторона основания 𝐴𝐵 = 7, а боковое ребро 𝑆𝐴 = 10. Точка 𝑀 лежит на ребре 𝐵𝐶, причем 𝐵𝑀 = 4, точка 𝐾 лежит на ребре 𝑆𝐶, причем 𝑆𝐾 = 7. a) Докажите, что плоскость 𝑀𝐾𝐷 перпендикулярна плоскости основания пирамиды. б) Найдите объем пирамиды 𝐶𝐷𝐾𝑀.
15. Решите неравенство 2 · 20𝑥 − 17 · 10𝑥 − 2 · 8 𝑥 + 8 · 5 𝑥 + 17 · 4 𝑥 − 2 𝑥+3 ⩽ 0.
16. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 600 000 рублей на 26 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа с 1 по 25 месяц долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму; – 15-го числа 26 месяца долг должен быть погашен. Сколько тысяч рублей составляет долг на 15 число 25 месяца, если всего было выплачено 691 тысяча рублей?
17. На сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечены точки 𝐶1, 𝐴1 и 𝐵1 соответственно, причём 𝐴𝐶1 : 𝐶1𝐵 = 21 : 10, 𝐵𝐴1 : 𝐴1𝐶 = 2 : 3, 𝐴𝐵1 : 𝐵1𝐶 = 2 : 5. Отрезки 𝐵𝐵1 и 𝐶𝐶1 пересекаются в точке 𝐷. a) Докажите, что 𝐴𝐷𝐴1𝐵1 – параллелограмм. б) Найдите 𝐶𝐷, если отрезки 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 перпендикулярны, 𝐴𝐶 = 63, 𝐵𝐶 = 25.
18. Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых уравнение 𝑎 2 − 9𝑥 2 + 18|𝑥| − 9 = 0 имеет ровно два различных корня.
19. На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 6. a) Может ли их сумма составлять 198? б) Может ли их сумма составлять 270? в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 1518?
4 вариант на основе ЕГЭ прошлых лет
Загрузка...
1. Угол 𝐴𝐶𝑂 равен 28∘ . Его сторона 𝐶𝐴 касается окружности с центром в точке 𝑂. Сторона 𝐶𝑂 пересекает окружность в точке 𝐵 (см. рис.). Найдите градусную меру дуги 𝐴𝐵 окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
3. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 2 √ 3, а высота равна 2.
4. В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей: 27 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
5. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,2 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−3; 11). Найдите промежутки возрастания функции 𝑓(𝑥). В ответе укажите длину наибольшего из них.
9. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна 𝐼 = 𝜀 𝑅 + 𝑟 , где 𝜀 — ЭДС источника (в вольтах), 𝑟 = 2 Ом — его внутреннее сопротивление, 𝑅 — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 10% от силы тока короткого замыкания 𝐼кз = 𝜀 𝑟 ? Ответ дайте в омах.
10. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
11. На рисунке изображён график функции 𝑓(𝑥) = 𝑘 √ 𝑥. Найдите значение 𝑥, при котором 𝑓(𝑥) = 7.
14. В правильной шестиугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 сторона основания 𝐴𝐵 = 4, а боковое ребро 𝑆𝐴 = 7. Точка 𝑀 лежит на ребре 𝐵𝐶, причем 𝐵𝑀 = 1, точка 𝐾 лежит на ребре 𝑆𝐶, причем 𝑆𝐾 = 4. a) Докажите, что плоскость 𝑀𝐾𝐷 перпендикулярна плоскости основания пирамиды. б) Найдите объем пирамиды 𝐶𝐷𝐾𝑀.
16. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 900 000 рублей на 13 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа с 1 по 12 месяц долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму; – 15-го числа 13 месяца долг должен быть погашен. Сколько тысяч рублей составляет долг на 15 число 12 месяца, если всего было выплачено 1134 тысяч рублей?
17. На сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечены точки 𝐶1, 𝐴1 и 𝐵1 соответственно, причём 𝐴𝐶1 : 𝐶1𝐵 = 8 : 3, 𝐵𝐴1 : 𝐴1𝐶 = 1 : 2, 𝐶𝐵1 : 𝐵1𝐴 = 3 : 1. Отрезки 𝐵𝐵1 и 𝐶𝐶1 пересекаются в точке 𝐷. a) Докажите, что 𝐴𝐷𝐴1𝐵1 – параллелограмм. б) Найдите 𝐶𝐷, если отрезки 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 перпендикулярны, 𝐴𝐶 = 28, 𝐵𝐶 = 18.
18. Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых уравнение 𝑎 2 − 4𝑥 2 + 8|𝑥| − 4 = 0 имеет ровно два различных корня.
19. На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4. a) Может ли их сумма составлять 282? б) Может ли их сумма составлять 390? в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?
Смотрите другие варианты ЕГЭ 2026 по математике
8 апреля Вариант 27-28 профиматики ЕГЭ 2026 по математике 11 класс профиль ФИПИ