Автор Заключительный этап всесибирской открытой олимпиады по математике для 7, 8, 9, 10, 11 классов задания с ответами и решением. Дата проведения олимпиады 18 февраля 2024 год. В заключительный этап проходят победители и призеры отборочного этапа. Также на этот этап приглашаются победители и призеры заключительного этапа прошлого года.
Заключительный этап проводится очно. По результатам выполненных работ этого этапа определяются победители и призеры Всесибирской олимпиады, которые могут претендовать на льготы при поступлении в НГУ, а также на приглашение в Летнюю школу СУНЦ НГУ. Чтобы принять участие в олимпиаде, необходимо зарегистрироваться в Личном кабинете, заполнить анкету и подать заявку на участие.
Задания и ответы для 7 класса
7.1. Разрежьте данную фигуру по линиям сетки на 4 одинаковых части.
7.2. Найдите все такие трёхзначные числа, что после вычёркивания средней цифры из них получается двузначное число в семь раз меньше изначального.
7.3. У Антона дома обитают кот веса 1 кг, кот веса 2 кг, . . . , кот веса 100 кг — всего 100 животных. Барон Мюнхгаузен утверждает, что он может рассадить всех этих котов по 10 комнатам таким образом, что будут выполняться следующие условия: • Во всех комнатах есть хотя бы один кот; • Во всех комнатах находится разное число котов; • Если в комнате A котов больше чем в комнате B, то суммарный вес котов в комнате A меньше суммарного веса котов в комнате B. Могут ли слова барона оказаться правдой?
7.4. Дан равносторонний треугольник ABC. Прямая l пересекает в точках K, L и M соответственно отрезки AB, BC и продолжение стороны AC за точку A. Оказалось, что AK = BL, а точка K является серединой отрезка LM. Найдите угол BLM.
7.5. В замке короля Артура любые два рыцаря либо дружат, либо враждуют. Оказалось, что среди этих рыцарей любые два врага имеют ровно двух общих друзей, а любые два друга общих друзей не имеют вовсе. Докажите, что у всех рыцарей в замке одно и то же число врагов.
Задания и ответы для 8 класса
8.1. Отец и сын измеряют прямоугольный участок земли. Для этого они идут вдоль его границ и считают число шагов. Когда сын шёл по длинной стороне, а отец по короткой, они суммарно насчитали 130 шагов. Когда отец шёл по длинной стороне, а сын по короткой, они суммарно насчитали 120 шагов. Длина шага отца равна 75 см, а сына — 50 см. Найдите стороны участка.
8.2. У Антона дома обитают кот веса 1 кг, кот веса 2 кг, . . . , кот веса 100 кг — всего 100 животных. Барон Мюнхгаузен утверждает, что он может рассадить всех этих котов по 10 комнатам таким образом, что будут выполняться следующие условия: • Во всех комнатах есть хотя бы один кот; • Во всех комнатах находится разное число котов; • Если в комнате A котов больше чем в комнате B, то суммарный вес котов в комнате A меньше суммарного веса котов в комнате B. Могут ли слова барона оказаться правдой?
8.3. Дан равносторонний треугольник ABC. Прямая l пересекает в точках K, L и M соответственно отрезки AB, BC и продолжение стороны AC за точку A. Оказалось, что AK = BL, а точка K является серединой отрезка LM. Найдите угол BLM.
8.4. Профессор Фортран загадал n целых чисел a1, a2, . . . , an и отдал их в вычислительное бюро. Там эти числа случайным образом перемешали между собой, получив набор b1, b2, . . . , bn, а затем вычислили произведение (a1 − b1) · (a2 − b2) · . . . · (an − bn), которое отдали обратно. Профессор Фортран заметил, что число, полученное им из бюро, оказалось нечётным. Найдите все n, при которых это возможно, и докажите, что других нет.
8.5. Барон Мюнхгаузен утверждает, что может отметить на плоскости 6 точек таким образом, что никакие три из них не будут лежать на одной прямой, а все попарные расстояния между этими точками будут равны целым числам. Могут ли слова барона оказаться правдой?
Задания и ответы для 9 класса
9.1. Пусть 𝑥1, 𝑥2 – корни квадратного многочлена 𝑓(𝑥) со старшим коэффициентом 1, а 𝑦1, 𝑦2 – корни квадратного многочлена 𝑔(𝑥) со старшим коэффициентом 1. Доказать, что 𝑔(𝑥1)𝑔(𝑥2 ) = 𝑓(𝑦1)𝑓(𝑦2 ) .
9.2. Девять точек соединены 12 отрезками, как показано на рисунке. Каждая точка окрашивается в один из двух цветов. Какое максимальное количество отрезков с концами разного цвета может получиться?
9.3. В остроугольном треугольнике АВС обозначим за Р основание перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису BH угла АВС. Доказать, что площадь треугольника АВР равна половине площади треугольника АВС.
9.4. Пусть 𝐴 = 88 . .88 100 – натуральное число, записанное 100 восьмёрками, и 𝐵 = 55⏟ . . .55 𝟏𝟎𝟎 — натуральное число, записанное 100 пятёрками. Найти сумму цифр числа 𝑁 = 9 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵.
9.5. Авиакомпания, в которой служат 13 пилотов, эксплуатирует 9 самолётов попарно различных типов. Каждый день в рейс выходит каждый самолёт, который пилотирует один из 9 назначенных в этот день пилотов. Чтобы пилотировать конкретный самолёт, пилот должен быть специально этому обучен, что стоит 1 миллион рублей. Какова минимальная суммарная стоимость обучения пилотов авиакомпании такого, что при любом выборе 9 пилотов из 13-ти их можно было распределить по всем 9 самолётам так, чтобы каждый мог пилотировать порученный ему самолёт? Пилот не может пилотировать более одного самолёта в день.
Задания и ответы для 10 класса
10.1. Найти все решения в действительных числах системы уравнений: { 𝑥 − 1 𝑦 = 8 𝑥 , 𝑦 − 1 𝑥 = 8 𝑦 .
10.2. У Васи есть набор из девяти единичных кубиков, у каждого из которых на всех шести гранях записаны в некотором порядке буквы М, А, Т, Е, И, К, по одной на каждой грани. Порядок букв на разных кубиках может отличаться. Кубики можно прикладывать друг к другу гранями, если на них написаны одинаковые буквы. Сможет ли Вася хоть для какогото набора кубиков сложить из них параллелепипед высоты и ширины 1 и длины 9 так, чтобы на каждой его грани длины 9 были записаны буквы М, А, Т, Е, М, А, Т, И, К в некотором порядке?
10.3. Пусть 𝐴 = 44⏟ . . .44 2𝑛 – натуральное число, записанное 2𝑛 четвёрками и 𝐵 = 88⏟ . . .88 𝑛 – натуральное число, записанное 𝑛 восьмёрками, где 𝑛 – произвольное натуральное число. Доказать, что число 𝐴 − 𝐵 является точным квадратом (натурального числа).
10.4. Из шести пар братьев нужно составить три команды по 4 человека так, чтобы ни в одной команде не было никаких двух братьев. Сколькими различными способами это можно сделать? Спортсмены из разных пар не являются братьями.
10.5. В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 выбрана точка 𝑃 такая, что угол 𝐴𝐵𝑃 вдвое больше угла 𝐴𝐷𝑃, а угол 𝐷𝐶𝑃 вдвое больше угла 𝐷𝐴𝑃 (см. рисунок). Доказать, что длины отрезков 𝐴𝐵, 𝐵𝑃 и 𝐶𝑃 равны.
Задания и ответы для 11 класса
11.1. Какое максимальное количество простых чисел можно записать, использовав каждую из десяти цифр от 0 до 9 ровно по одному разу?
11.2. Найти все множества Х, состоящие из различных натуральных чисел от 1 до 50 такие, что: 1) Х содержит не все числа от 1 до 50, но не меньше трёх из них, 2) Х содержит числа 1 и 50, 3) для любых трёх чисел 𝑥 < 𝑦 < 𝑧 из X число 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 также принадлежит Х.
11.3. Пусть длины сторон треугольника являются натуральными числами 𝑎, 𝑏, 𝑐, и одна из его высот равна сумме двух других. Доказать, что число 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 является точным квадратом (натурального числа).
11.4. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС и продолжение стороны DС за точку С в точках К и М соответственно (как показано на рисунке). Доказать, что центр описанной окружности треугольника КСМ лежит на описанной окружности треугольника ВСD.
11.5. У вредного Васи есть клетчатая полоска длины 13 клеток и лента длины N≥ 13 клеток, каждая шириной в одну клетку. Вася хочет разрезать полоску на кусочки произвольной длины из нескольких целых клеток по своему усмотрению, а затем уложить часть из них на ленту в некотором порядке так, чтобы в какой-то момент осталось не менее одного кусочка, ни один из которых уложить уже нельзя. При этом кусочки укладываются строго по клеткам и не могут выходить за пределы ленты, ни одна клетка не должна быть накрыта ими дважды и, если на ленте есть место, куда можно уложить очередной кусочек, Вася должен уложить его в одно из таких мест по своему выбору. При каком минимальном N, как бы Вася ни старался, ему не удастся задуманное, то есть придётся уложить все кусочки?
Отборочный этап 2023-2024 всесибирская олимпиада по математике
Отборочный этап 2023-2024 всесибирская олимпиада по математике задания и ответы