Автор Всероссийская олимпиада школьников ВОШ муниципальный этап 2020 по математике ответы (решения) и задания для 6,7,8,9,10,11 класса, официальная дата проведения в Московской области: 28.11.2020 (28 ноября 2020)
Ссылка для скачивания заданий и ответов для 6-11 класса: скачать
ВОШ 2020 муниципальный этап по математике 6-11 класс задания и ответы:
Сложные задания с олимпиады по математике ВОШ 2020:
1)Найдите самое большое шестизначное число, все цифры которого различны, и каждая из цифр, кроме крайних, равна либо сумме, либо разности соседних с ней цифр.
Ответ: 972538
2)Два велосипедиста собрались доехать из пункта A в пункт B. Скорость первого из них равна 35 км/ч, второго – 25 км/ч. Известно, что каждый из них ехал только тогда, когда другой отдыхал (стоял на месте), а всего за 2 часа они проехали одинаковое расстояние. Могли ли они доехать за 2 часа до пункта B, расположенного на расстоянии 30 км от пункта A?
Ответ: не могли.
3)Найдите все решения ребуса: ТУК + ТУК + ТУК + ТУК + ТУК = СТУК. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным буквам – разные цифры.
Ответ: два решения ( 250 250 1250 +…+ = и 750 +…+ = 750 3750).
4)Коля разрезал квадрат 120×120 на уголки видов , и , а Вася разрезал такой же квадрат на уголки тех же видов, но другим способом. Мог ли Вася получить на 11 уголков больше, чем Коля? (Уголки можно поворачивать.)
Ответ: не мог.
5)В замке 16 одинаковых квадратных комнат, образующих квадрат 4×4. В эти комнаты по одному человеку поселилось 16 человек – лжецы и рыцари (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду). Каждый из этих 16 человек сказал: «По крайней мере в одной из соседних с моей комнат живет лжец». Какое наибольшее количество лжецов могло быть среди этих 16 человек? Комнаты считаются соседними, если у них общая стена.
Ответ: 8 лжецов.
6)Пальмовое масло подорожало на 10%. Из-за этого сыр одного из производителей подорожал на 3%. Какой процент пальмового масла в сыре этого производителя?
Ответ: 16 км
7)Три велосипедиста выезжают из города. Скорость первого из них равна 12 км/ч, второго – 16 км/ч, третьего – 24 км/ч. Известно, что первый из них ехал ровно тогда, когда второй и третий отдыхали (стояли на месте), и что ни в какой момент времени одновременно два велосипедиста не ехали. Также известно, что за 3 часа все трое проехали одинаковое расстояние. Найдите это расстояние.
Ответ: не может
8)Число В получается из числа А по следующему правилу: одновременно изменяются все цифры числа А. При этом если цифра больше 2, то из нее можно вычесть 2, а если цифра меньше 8, то к ней можно прибавить 2 (например, цифра 4 может быть заменена на 2, либо на 6, а цифра 9 должна быть заменена только на 7). Может ли сумма чисел А и В равняться 2345678?
Ответ: Если числа A и B состоят не более чем из 6 цифр, то их сумма меньше 2000000. Если же числа A и B состоят не менее чем из 7 цифр, то их сумма больше 3000000.
9)Коля разрезал квадрат 120×120 на фигурки видов , , и , а Вася разрезал такой же квадрат на фигурки тех же видов, но другим способом. Мог ли Вася получить на 5 фигурок больше, чем Коля? (Фигурки можно поворачивать и переворачивать.)
Ответ: не мог
10)16 путешественников, каждый из которых лжец или рыцарь (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду), поселились в 3 комнатах гостиницы. Когда все собрались в своих номерах, Василий, проживающий в первом номере, сказал: «В этом номере сейчас находится больше лжецов, чем рыцарей. Хотя нет – в этом номере сейчас находится больше рыцарей, чем лжецов». После чего Василий зашел во второй номер и сказал там те же два утверждения. А после этого он зашел в третий номер и там тоже сказал те же два утверждения. Какое количество рыцарей могло быть среди этих 16 путешественников?
Ответ: 9 рыцарей
11)Если в произведении двух натуральных чисел один сомножитель увеличить на 2, а другой уменьшить на 2, то произведение чисел не изменится. Докажите, что если к этому произведению прибавить 1, то получится квадрат целого числа.
12)На прямой расположены синие и красные точки, красных точек не меньше 5. Известно, что на любом отрезке с концами в красных точках, содержащем внутри красную точку, есть по крайней мере 3 синие точки. А на любом отрезке, с концами в синих точках, содержащем внутри 2 синих точки, есть по крайней мере 2 красные точки. Какое наибольшее количество синих точек может быть на отрезке с концами в красных точках, не содержащем других красных точек?
13)В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена высота AH, а из середины M стороны AB опущен перпендикуляр MK на сторону AC. Оказалось, что AH = MK. Найдите периметр треугольника ABC, если AK = a.
14)В замке 25 одинаковых квадратных комнат, образующих квадрат 5×5. В эти комнаты по одному человеку поселилось 25 человек – лжецы и рыцари (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду). Каждый из этих 25 человек сказал: «По крайней мере в одной из соседних с моей комнат живет лжец». Какое наибольшее количество лжецов могло быть среди этих 25 человек? Комнаты считаются соседними, если у них общая стена.
15)Есть 90 карточек – 10 с цифрой 1, 10 с цифрой 2, …, 10 с цифрой 9. Из всех этих карточек составили два числа, одно из которых в три раза больше другого. Докажите, что одно из этих чисел можно разложить на четыре не обязательно различных натуральных множителя, больших единицы.
16)На прямой расположены синие и красные точки, красных точек не меньше 5. Известно, что на любом отрезке с концами в красных точках, содержащем внутри красную точку, есть по крайней мере 4 синие точки. А на любом отрезке, с концами в синих точках, содержащем внутри 3 синих точки, есть по крайней мере 2 красные точки. Какое наибольшее количество синих точек может быть на отрезке с концами в красных точках, не содержащем других красных точек?
17)В замке 9 одинаковых квадратных комнат, образующих квадрат 3×3. В эти комнаты по одному человеку поселилось 9 человек – лжецы и рыцари (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду). Каждый из этих 9 человек сказал: «По крайней мере в одной из соседних с моей комнат живет лжец». Какое наибольшее количество рыцарей могло быть среди этих 9 человек? Комнаты считаются соседними, если у них общая стена.
18)На данной окружности ω выбрана фиксированная точка A. Выберем на окружности две произвольные точки B и C, и найдем точку D пересечения биссектрисы угла ABC с окружностью ω. Пусть K – такая точка, что точка D – середина отрезка AK. Прямая KC вторично пересекает окружность в точке P ( P ≠ C ). Докажите, что точка P не зависит от выбора точек B и C.
19)В замке 16 одинаковых квадратных комнат, образующих квадрат 4×4. В эти комнаты по одному человеку поселилось 16 человек – лжецы и рыцари (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду). Каждый из этих 16 человек казал: «По крайней мере в одной из соседних с моей комнат живет лжец». Какое наибольшее количество рыцарей могло быть среди этих 16 человек? Комнаты считаются соседними, если у них общая стена.
20)В остроугольном треугольнике ABC проведена высота CH. Точка P симметрична точке A относительно прямой BC. Прямая CH вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ACP, в точке K. Прямая KP пересекает отрезок AB в точке M. Докажите, что AC=CM.
21)На доске написано 4 числа. Вася умножил первое из этих чисел на sinα , второе – на cosα , третье – на tgα , четвертое – на ctgα (для некоторого угла α ) и получил набор из тех же 4 чисел (возможно записанных в другом порядке). Какое наибольшее количество различных чисел могло быть написано на доске?
22)В замке 25 одинаковых квадратных комнат, образующих квадрат 5×5. В эти комнаты по одному человеку поселилось 25 человек – лжецы и рыцари (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду). Каждый из этих 25 человек сказал: «По крайней мере в одной из соседних с моей комнат живет лжец». Какое наибольшее количество рыцарей могло быть среди этих 25 человек? Комнаты считаются соседними, если у них общая стена.
Смотрите задания и ответы для других предметов муниципального этапа 2020:
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 муниципальный этап задания и ответы