Автор Сорок шестой турнир городов 2024-2025 задания и ответы с решением для 8, 9, 10, 11 класса 2 тура — осенний и весенний, каждый из которых состоит из двух вариантов — базового и сложного. Сложный вариант олимпиады сопоставим по трудности со Всероссийской и Международной математической олимпиадой, базовый — несколько проще.
Задания олимпиады турнир городов 2024-2025
- осенний базовый вариант 6 октября 2024
- осенний сложный вариант 20 октября 2024
- весенний базовый вариант 2 марта 2025
- весенний сложный вариант 16 марта 2025
- устный тур 30 марта 2025
Ответы и решения олимпиады 2024-2025
Задания базового варианта
1. Дан описанный пятиугольник ABCDE. Центр его вписанной окружности лежит на диагонали AC. Докажите, что AB + BC > CD + DE + EA.
2. В ряд лежат 100 камней: чёрный, белый, чёрный, белый, . . . , чёрный, белый. Одной операцией либо выбирают два чёрных камня, между которыми лежат только белые камни, и перекрашивают все эти белые камни в чёрный цвет, либо выбирают два белых камня, между которыми лежат только чёрные камни, и перекрашивают все эти чёрные камни в белый цвет. Можно ли за несколько таких операций получить ряд, в котором идут сначала 50 чёрных камней, а потом 50 белых?
3. Натуральное число M представили в виде произведения простых сомножителей. Затем каждый из них увеличили на 1, и произведение стало равно N. Оказалось, что N делится на M. Докажите, что если теперь разложить N на простые множители и каждый из них увеличить на 1, то полученное произведение будет делиться на N.
4. Мама и сын играют. Сначала сын режет головку сыра 300 г на 4 куска. Затем мама распределяет 280 г масла на 2 тарелки. Наконец, сын раскладывает куски сыра на те же тарелки. Он выиграет, если на каждой тарелке сыра будет не меньше, чем масла (иначе выиграет мама). Кто из них может победить, как бы ни действовал другой?
5. Набор состоит из одинаковых трёхклеточных уголков, у которых центральные клетки испачканы краской. Прямоугольную доску покрыли в один слой уголками, не выходящими за пределы доски, а затем убрали уголки. Испачканные клетки оставили на доске следы. Всегда ли по этим следам можно узнать, как именно лежали уголки?
Задания сложного варианта
1. Барон Мюнхгаузен взял несколько карточек и написал на каждой по натуральному числу (числа могут повторяться). Барон утверждает, что использовал только две различные цифры, зато когда он для каждой пары карточек нашёл сумму чисел на них, то среди первых цифр этих сумм встретились все цифры от 1 до 9. Могут ли слова барона быть правдой?
2. Петя и Вася по очереди проводят дороги на плоскости, начинает Петя. Дорога — это горизонтальная или вертикальная прямая, по которой можно двигаться только в одну сторону (выбранную при создании дороги). Всегда ли Вася может действовать так, чтобы после любого его хода можно было проехать по правилам от любого перекрёстка дорог до любого другого, как бы ни действовал Петя?
3. В остроугольном треугольнике ABC отмечены точки I и O — центры вписанной и описанной окружностей соответственно. Прямые AI и CI вторично пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках N и M. Отрезки MN и BO пересекаются в точке X. Докажите, что прямые XI и AC перпендикулярны.
4. У 10 детей есть несколько мешков с конфетами. Дети начинают делить конфеты между собой. Каждый по очереди забирает из каждого мешка свою долю и уходит. Доля вычисляется так: делим текущее число конфет в каждом мешке на число оставшихся детей (включая себя), если нацело не поделилось — округляем до целого в меньшую сторону. Может ли всем достаться разное количество конфет, а) если мешков всего 8; б) если мешков всего 9?
5. На каждой стороне выпуклого многоугольника построили треугольник, третья вершина которого — пересечение биссектрис двух углов многоугольника, примыкающих к этой стороне. Докажите, что вместе эти треугольники покрывают весь многоугольник.
6. Назовём ходы коня, при которых он смещается на две клетки по горизонтали и на одну по вертикали, горизонтальными, а остальные — вертикальными. Требуется поставить коня на одну из клеток доски 46×46, после чего чередовать им горизонтальные и вертикальные ходы. Докажите, что если запрещено посещать клетки более одного раза, то будет сделано не более 2024 ходов.
7. Даны две строго возрастающие последовательности положительных чисел, в которых каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Известно, что каждая последовательность содержит хотя бы одно число, которого нет в другой последовательности. Какое наибольшее количество общих чисел может быть у этих последовательностей?
Задания устного тура
1. На плоскости расположены круг и правильный 100-угольник, имеющие одинаковые площади. Какое наибольшее количество вершин 100- угольника может находиться внутри круга (не на границе)? С. Дориченко, Б. Френкин
2. Дано натуральное число n. Натуральное число m назовём удачным, если найдутся m последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме n следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно. Б. Френкин, П. Кожевников
3. Пусть A — набор из n > 1 различных натуральных чисел. Для каждой пары чисел a, b ∈ A, где a < b, подсчитаем, сколько чисел в A являются делителями числа b−a. Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных n(n−1) 2 чисел? В. Новиков
4. В трёхмерном координатном пространстве рассмотрим множество всевозможных кубов с целочисленными координатами вершин. Докажите, что в этом множестве существует такое бесконечное подмножество K, что любые два различных куба из K не имеют параллельных рёбер. М. Малкин, М. Мееров
5. По кругу стоит 99 тарелок, на них лежат булочки (на тарелке может быть любое число булочек или вовсе их не быть). Известно, что на любых 20 подряд идущих тарелках лежит суммарно хотя бы k булочек. При этом ни одну булочку ни с одной тарелки нельзя убрать так, чтобы это условие не нарушилось. Какое наибольшее суммарное число булочек может лежать на тарелках? В. Ретинский, П. Кожевников
6. Дан треугольник ABC. Пусть CL — его биссектриса, W — середина дуги BCA, а P — проекция ортоцентра на медиану, проведённую из вершины C. Окружность CPW пересекает прямую, проходящую через C и параллельную AB, в точке Q. Докажите, что LC = LQ.
Смотрите другую олимпиаду по математике
47 Турнир имени Ломоносова по математике задания с ответами и решением 2024-2025