Автор Все варианты заданий 1, 2, 3, 4 потока дополнительных вступительных испытаний по математике для поступления абитуриента в МГУ Ломоносова с ответами и решением 2024 год.
Задания и ответы с 1 варианта ДВИ
2. Натуральные числа 𝑎1, . . . 𝑎𝑛 образуют строго возрастающую арифмитеческую прогрессию. Найдите все возможные значения 𝑛, если известно, что 𝑛 нечётно, 𝑛 > 1 и сумма 𝑎1 + . . . + 𝑎𝑛 равна 2024.
3. Решить неравенство log𝑥+3 (𝑥 2 − 7𝑥 + 12) ⩽ 2.
5. Окружность, вписанная в треугольник 𝐴𝐵𝐶, касается стороны 𝐴𝐶 в точке 𝐷. Известно, что 𝐴𝐷 = 2 + √ 3, 𝐶𝐷 = √ 3. Найдите ∠𝐶𝐴𝐵, если известно также, что он в два раза меньше ∠𝐴𝐶𝐵.
7. Плоскость 𝜋 перпендикулярна ребру 𝑆𝐴 правильной треугольной пирамиды 𝐴𝐵𝐶𝑆 с вершиной 𝑆 и основанием 𝐴𝐵𝐶, делит это ребро в отношении 1 : 2 (считая от вершины 𝑆) и проходит через середину ребра 𝑆𝐵. Найдите угол между плоскостью 𝜋 и плоскостью основания пирамиды.
Задания и ответы с 2 варианта ДВИ
2. Найдите сумму всех натуральных чисел 𝑛, для которых число 𝑛 2 + 7𝑛 + 1 является квадратом некоторого натурального числа.
3. Решите неравенство 8 log𝑥2−1 (𝑥−1) + 8log𝑥2−1 (𝑥+1) ⩽ 6.
4. Решите уравнение sin 𝑥 + sin 2𝑥 + cos 𝑥 = 1.
5. Вокруг остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 описана окружность. На дуге 𝐶𝐴 (не содержащей точку 𝐵) этой окружности отмечена некоторая точка 𝑃. Прямая, проходящая через точки 𝐵 и 𝐻, где 𝐻 – точка пересечения высот треугольника 𝐴𝐵𝐶, пересекает отрезок 𝐴𝑃 в точке 𝑄. Найдите отношение 𝐴𝐶 к 𝐵𝐶, если известно, что точки 𝐶, 𝑃, 𝑄, 𝐻 лежат на одной окружности.
6. Число 𝑥0 является общим корнем многочленов 𝑥 3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑎, 𝑥 3 + 𝑐𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏. Найдите все возможные значения 𝑥0, если известно, что 𝑎 > 𝑏 > 𝑐.
7. В основании пирамиды лежит трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶, 𝐴𝐷 = 2𝐵𝐶. Сфера радиуса 1 касается плоскости основания пирамиды и плоскостей её боковых граней 𝐴𝐷𝑆 и 𝐵𝐶𝑆. Найдите отношение, в котором делит объём пирамиды плоскость 𝐴𝐷𝑇, где 𝑇 – точка касания сферы с плоскостью 𝐵𝐶𝑆, если грань 𝐴𝐷𝑆 перпендикулярна плоскости основания, а высота пирамиды равна 4.
Задания и ответы с 3 варианта ДВИ
2. Найдите сумму всех двузначных чисел, состоящих из одной чётной цифры и одной нечётной цифры (чётной цифры – это 0, 2, 4, 6, 8, нечётные – все остальные).
4. Решите уравнение 2 sin3 𝑥 = cos 3𝑥.
5. На стороне 𝐵𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечена точка 𝐷, отличная от 𝐵 и 𝐶. Пусть 𝐸 – точка пересечения отрезка 𝐴𝐶 с окружностью, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐷, отличная от 𝐴. Пусть 𝐹 – точка пересечения отрезка 𝐴𝐵 с окружностью, описанной около треугольника 𝐴𝐶𝐷, отличная от 𝐴. Пусть 𝐷′ , 𝐸′ , 𝐹′ – точки пересечения окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶, с прямыми 𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹 соответственно, отличные от 𝐴, 𝐵, 𝐶. Найдите угол ∠𝐸 ′𝐷′𝐹 ′ , если известно, что ∠𝐸𝐷𝐹 = 30∘ .
7. В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 3. Найдите объём призмы, если известно, что существует сфера радиуса 1, касающаяся плоскости нижнего основания, двух противоположных боковых рёбер и всех рёбер верхнего основания.
Задания и ответы с 4 варианта ДВИ
3. Решите неравенство log9 (𝑥 + 1 3 ) − log3 (𝑥 − 1 3 ) ⩾ 1.
5. В окружности Ω вписан четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. На стороне 𝐵𝐶 отмечена точка 𝐸 таким образом, что 𝐶𝐷 = 𝐶𝐸 = 1 и ∠𝐴𝐸𝐷 = 30∘ . Найдите радиус окружности Ω, если известно, что ∠𝐴𝐶𝐷 = 25∘ и ∠𝐴𝐶𝐵 = 75∘ .
Смотрите также на сайте: