Автор Ответы и задания для 4,5,6,7,8,9,10 класса олимпиады по математике в Московской области школьный этап 2020-2021 учебный год всероссийской олимпиады школьников (ВОШ), официальная дата проведения : 15.10.2020-17.10.2020 (с 15 по 17 октября 2020 год).
Ссылка для скачивания заданий с ответами 4 класс: скачать
Ссылка для скачивания заданий с ответами 5 класс: скачать
Ссылка для скачивания заданий с ответами 6 класс: скачать
Ссылка для скачивания заданий с ответами 7 класс: скачать
Ссылка для скачивания заданий с ответами 8 класс: скачать
Ссылка для скачивания заданий с ответами 9 класс: скачать
Ссылка для скачивания заданий с ответами 10 класс: скачать
Ссылка для скачивания заданий с ответами 11 класс: скачать
Сложные задания с олимпиады по математике школьный этап 2020:
1)Какому по номеру двузначному числу равна сумма 10-го и 11-го двузначных чисел?
Ответ: 30-му
2)Какому по номеру двузначному числу равна сумма 15-го и 16-го двузначных чисел?
Ответ: 40-му
3)Какому по номеру двузначному числу равна сумма 20-го и 21-го двузначных чисел?
Ответ: 50-му
4)В некотором прямоугольнике, состоящем из 24клеток, больше одной строки. Свинка Пеппа закрасила все клетки средней строки. Сколько клеток закрасила Пеппа?
Ответ: 8
5)В некотором прямоугольнике, состоящем из 28 клеток, больше одной строки.Свинка Пеппа закрасила все клетки средней строки. Сколько клеток закрасила Пеппа?
Ответ: 4
6)В некотором прямоугольнике, состоящем из 48 клеток, больше одной строки. Свинка Пеппа закрасила все клетки средней строки. Сколько клеток закрасила Пеппа?
Ответ: 16
7)Найдите самое маленькое трёхзначное число, в котором цифр, меньших 5, меньше, чем цифр, больших 5. Укажите это число.
Ответ: 166
8)Найдите самое маленькое трёхзначное число, в котором цифр, меньших 6, меньше, чем цифр, больших 6. Укажите это число.
Ответ: 177
9)Найдите самое маленькое трёхзначное число, в котором цифр, меньших 7, меньше, чем цифр, больших 7. Укажите это число.
Ответ: 188
10)Садовник собрал 30 зелёных и 30 красных яблок. Он разложил их вне сколько корзин таким образом, что во всех корзинах оказалось поровну красных яблок, но разное количество зелёных (т.е. не было двух корзин, в которых было бы поровну зелёных яблок). Какое наибольшее число корзин могло у него быть?
Ответ: 6
11)Садовник собрал 60 зелёных и 60 красных яблок. Он разложил их вне сколько корзин таким образом, что во всех корзинах оказалось поровну красных яблок, но разное количество зелёных (т.е. не было двух корзин, в которых было бы поровну зелёных яблок). Какое наибольшее число корзин могло у него быть?
Ответ: 10
12)Садовник собрал 96 зелёных и 96 красных яблок. Он разложил их в несколько корзин таким образом, что во всех корзинах оказалось поровну красных яблок, но разное количество зелёных (т.е. не было двух корзин, в которых было бы поровну зелёных яблок). Какое наибольшее число корзин могло у него быть?
Ответ: 12
13)Каждые 25 минут из моего города в соседний отправляется автобус. Когда уходит первый автобус, до 6 утра остаётся меньше 6 минут. Когда уходит последний, до полуночи остается менее получаса. Известно, что хотя бы один автобус уходит, когда бьют часы на башне (они бьют один раз в час, включая полдень). Сколько всего автобусов в течение суток уходит под бой часов?
Ответ: 4 автобуса
14)Каждые 25 минут из моего города в соседний отправляется автобус. Когда уходит первый автобус, до 6 утра остаётся меньше 7 минут. Когда уходит последний, до полуночи остается менее получаса. Известно, что хотя бы один автобус уходит, когда бьют часы на башне (они бьют один раз в час, включая полдень). Сколько всего автобусов в течение суток уходит под бой часов?
Ответ: 4 автобуса
15)Каждые 25 минут из моего города в соседний отправляется автобус. Когда уходит первый автобус, до 6 утра остаётся меньше 8 минут. Когда уходит последний, до полуночи остается менее получаса. Известно, что хотя бы один автобус уходит, когда бьют часы на башне (они бьют один раз в час, включая полдень). Сколько всего автобусов в течение суток уходит под бой часов?
Ответ: 4 автобуса
16)По кругу расставлено 50 чисел. У 30 чисел правый сосед делится на 2, а у 45 чисел левый сосед делится на 3. Какое наименьшее количество чисел из этих 50 могут делиться на 6?
Ответ: 25 чисел
17)По кругу расставлено 50 чисел. У 35 чисел правый сосед делится на 2, а у 43 чисел левый сосед делится на 3. Какое наименьшее количество чисел из этих 50 могут делиться на 6?
Ответ: 28 чисел
18)По кругу расставлено 50 чисел. У 40 чисел правый сосед делится на 2, а у 41 чисел левый сосед делится на 3. Какое наименьшее количество чисел из этих 50 могут делиться на 6?
Ответ: 31 чисел
19)На некоторой книжной полке книги стоят в один ряд. Самая большая и самая маленькая книги обе стоят вплотную к самой старой книге. Слева от самой большой книги стоит 20 книг, а справа от самой маленькой – 17 книг. Сколько книг может стоять на этой полке? Укажите в ответе наименьшее возможное число книг!
20)На некоторой книжной полке книги стоят в один ряд. Самая большая и самая маленькая книги обе стоят вплотную к самой старой книге. Слева от самой большой книги стоит 21 книга, а справа от самой маленькой – 18 книг. Сколько книг может стоять на этой полке? Укажите в ответе наименьшее возможное число книг!
21)На некоторой книжной полке книги стоят в один ряд. Самая большая и самая маленькая книги обе стоят вплотную к самой старой книге. Слева от самой большой книги стоят 22 книги, а справа от самой маленькой – 19 книг. Сколько книг может стоять на этой полке? Укажите в ответе наименьшее возможное число книг!
22)В кружки на рисунке требуется вписать числа 1, 2, 3, 4 или 5 так, чтобы в кружках, соединённых линией, оказались разные числа (иными словами, не должно быть двух кружков, соединённых линией, в которых написаны одинаковые числа). Некоторые кружки уже заполнены. Остальные – пока нет. Заполните их (у себя в тетради или в уме). Какое число будет в кружочке, закрашенном более тёмным цветом? (Обратите внимание, что все кружочки на картинке должны быть заполнены числами (каждый – одним из чисел 1, 2, 3, 4, 5). А в поле для ответа нужно вписать только то число, которое должно быть в более тёмном кружочке. Если есть несколько подходящих чисел, впишите в ответ самое большое из них.)
23)Из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 котёнок Гав составляет три двузначных числа. ПредседательОбществасимпатичныхкотятвыбираетсамоебольшоеизчисел,составленных котёнком Гав, после чего котёнок должен заплатить членский взнос, равный этому числу. Подумайте, как котёнку Гав составить числа так, чтобы заплатить как можно меньше. Укажите в ответе, сколько, самое меньшее, котёнку придётся заплатить. Какое самое маленькое значение может принимать самое большое из чисел, составленных котёнком Гав?
24)На шахматном турнире Остап Бендер должен сыграть 15 партий. В какой-то момент во время турнира Остап отметил, что на данный момент он выиграл ровно треть сыгранных партий, а проиграл ровно четверть сыгранных партий (остальные уже сыгранные партии закончились вничью). Сколько еще партий осталось сыграть Остапу?
25)Три поросёнка Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф соревновались в беге по круговой дорожке.Они стартовали одновременно из одной точки в одном направлении и бежали до тех пор, пока снова не оказались в одной точке (неизвестно, была ли это точка старта или нет). Все три поросёнка бежали с постоянными скоростями, причём НифНиф бежал быстрее Нуф-Нуфа, но медленнее Наф-Нафа. За время бега Наф-Наф обогнал Нуф-Нуфа ровно 10 раз. Сколько всего было обгонов на этом соревновании?
26)В лавке можно купить 20 видов лимонада. Шрек купил 20 бутылок :по одной каждого вида. Придя домой, он попробовал весь купленный лимонад и понял, что на бутылках перепутаны этикетки. У него есть ровно одна пустая бутылка. За одно действие он может перелить весь лимонад из полной бутылки в пустую (после этого бутылка, которая была полной, становится пустой). Шрек хочет за наименьшее число действий (переливаний) добиться, чтобы на всех бутылках этикетки соответствовали содержимому. А какого количества действий (переливаний) заведомо хватит, какие бы виды лимонада в каких бутылках ни оказались изначально? Укажите в ответе наименьшее такое число действий (переливаний). (Переклеивать этикетки запрещено, а также нельзя что-либо на них писать.)
27)Точки(0,2),(2,0),(1,2),(3,3),(2,3),(1,4)на координатной плоскости последовательно соединили так, что получился многоугольник. Укажите площадь этого многоугольника.
28)В зрительном зале кинотеатра ровно 8 рядов, в каждом ровно по 8 мест, причём все места образуют прямоугольник 8 на 8. По причине эпидемиологических ограничений, запрещается сидеть на одном ряду рядом или через одно место. Также запрещено сидеть на местах с одним и тем же номером в соседних рядах (т.е. запрещено сидеть на местах, расположенных непосредственно друг за другом: нумерация во всех рядах одинакова). В то же время любой зритель обязан занимать одно из мест в зале (и, конечно, на одном месте может сидеть не более одного зрителя). Какое максимальное число зрителей может одновременно присутствовать на сеансе?
29)Вы помните бумажные книги? Особенно старые… каковы они на ощупь, их запах, присутствие чего-то незримого, но вечного… Кстати, в бумажных книгах на каждом листе находятся две страницы. Маша нашла на чердаке кусок из старой (бумажной!) книги, первая его страница имеет номер 187, а последняя записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько ЛИСТОВ в этом куске?
30)На доске написано число, над которым (возможно, неоднократно)производятся действия, описанные ниже. За одно действие можно отнять от числа 27 либо переставить цифры в числе произвольным образом (при этом мы разрешаем ставить цифру 0 на первое место; например, число 0456 – это то же число, что и 456). В результате действия старое число стирается, а вместо него записывается новое. Изначально на доске написано число 2020. Какое минимальное положительное число можно получить такими действиями?
31)Петя и Вася играют в игру. Имеется 4 кучи с камнями. За один ход разрешается взять из какой-то кучи несколько камешков, ребята делают ходы по очереди. Тот, кто возьмет последний камень из последней кучи, считается победителем. Петя, который ходит первым, знает как надо играть, чтобы всегда выигрывать. В первой куче 15 камней. Во второй куче 10 камней. В третьей куче 20 камней. В четвёртой куче 20 камней. Какой ход Петя сделает первым? Укажите, из какой кучи и сколько камешков нужно взять, чтобы в дальнейшем можно было выиграть независимо от ходов Васи.
32)Змей Горыныч поймал Ивана Царевича и сказал ему: «Просто так тебя съедать неинтересно, да и я сейчас не голоден. Лучше я сначала тебя подержу в заточении. Загадай-ка какое-нибудь натуральное число, не превосходящее 3000. Каждый день ты будешь делить оставшееся у тебя число на какое-нибудь натуральное, большее 1, и чтобы результат деления был целым. Делить на одно и то же число два дня подряд нельзя. Как только у тебя получится 1, я тебя съем.» Какое число нужно загадать Ивану Царевичу, чтобы как можно дольше продержаться?
34)Найдите наибольшее натуральное число, все цифры которого разные, а их произведение равно числу 3240.
35)Найдите наибольшее натуральное число, все цифры которого разные, а их произведение равно числу 3780.
36)В таблице 12 строк и несколько столбцов. Егор расставил в клетки таблицы числа так, что сумма чисел в каждой строке равна 9, а сумма чисел в каждом столбце равна 6. Сколько столбцов в таблице?
37)В клетчатом прямоугольнике 2020 × 2021 провели диагональ, соединив отрезком противоположные вершины. После этого закрасили в чёрный цвет все клеточки, которые этот отрезок пересекает( т.е. содержит точки внутри клеточки). Сколько клеточек оказалось закрашено?
38)Вы помните бумажные книги? Особенно старые… каковы они на ощупь, их запах, присутствие чего-то незримого, но вечного… Кстати, в бумажных книгах на каждом листе находятся две страницы. Маша нашла на чердаке кусок из старой (бумажной!) книги, первая его страница имеет номер 187, а последняя записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько ЛИСТОВ в этом куске?
39)На доске написаны последовательные натуральные числа от 3 до 14. Артём хочет разбить числа на две группы, произведения в которых равны, при этом часть чисел разрешается стереть. Какое минимальное количество чисел придётся стереть?
40)Король приказал построить в городе метро, причём в нем должно быть 101 линия и любые две линии должны пересекаться ровно в одной общей пересадочной станции. Кроме того, ровно в одной станции должны сходиться три линии, а больше таких станций быть не должно. Сколько пересадочных станций придётся построить?
41)Змей Горыныч поймал Ивана Царевича и сказал ему: «Просто так тебя съедать неинтересно, да и я сейчас не голоден. Лучше я сначала тебя подержу в заточении. Загадай-ка какое-нибудь натуральное число, не превосходящее 3000. Каждый день ты будешь делить оставшееся у тебя число на какое-нибудь натуральное, большее 1, и чтобы результат деления был целым. Делить на одно и то же число два дня подряд нельзя. Как только у тебя получится 1, я тебя съем.» Какое число нужно загадать Ивану Царевичу, чтобы как можно дольше продержаться?
42)Учительница велела Васе вырезать несколько трёхклеточных уголков из бумажного прямоугольника так, чтобы больше ни одного такого уголка вырезать было нельзя. Вася очень ленивый и хочет вырезать как можно меньше таких уголков. А вот, кстати, как выглядят трёхклеточные уголки: Изначально Васе был дан прямоугольник 6×8 клеточек. Какое минимальное число уголков ему придётся вырезать?
43)Напомним сначала, что 100! обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до 100. Дима решил вычислить на доске число N = 100! + 7. Выберите, какие из следующих утверждений про это число верны: а) Это чётное число б) Это нечётное число в) Это простое число г) Это составное число д) Это целое число
44)Отметьте все верные утверждения и только их. а) Если стороны равнобедренного треугольника равны 5 и 8, то его периметр обязательно равен 21. б) В каждом разностороннем треугольнике найдётся угол меньше 60 градусов. в) Существует ровно 9 способов выбрать 3 предмета из 5, лежащих на столе. г) Каждое натуральное число имеет хотя бы два различных натуральных делителя. д) Для всех x,y справедливо x5 −y5 = (x−y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4)
45)Во время каникул 23 школьника из 1«А» вместе с классным руководителем сходили в Третьяковскую галерею, 19 школьников сходили в Пушкинский музей, 5 школьников посетили Музей космонавтики. Какое наименьшее количество школьников могло быть в таком классе, если известно, что каждый мог посетить не более 2 музеев?
46)За круглым столом сидели четыре девушки (у каждой свое имя и свой уникальный цвет волос). Рыжая сидела напротив Иры, рядом с блондинкой. Русая сидела рядом с Алёной. Соседки Юли—Лиза и брюнетка. Установите соответствие между девушками и цветом волос. а) Рыжая б) Блондинка в) Русая г) Брюнетка 1) Ира 2) Юля 3) Алёна 4) Лиза
47)Даша, переписывая трехзначное число с доски, совершила ошибку и между первой и второй цифрой вписала лишнюю цифру N. В итоге она получила четырёхзначное число, которое больше изначального трёхзначного в 11 раз. Известно, что первоначальное трёхзначное число не делилось на 100. Если N=3, найдите первоначальное трёхзначное число. В ответ впишите любое одно (ровно одно) подходящее под условие трёхзначное число.
48)На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = AB. В треугольнике провели биссектрису AL (точка L лежит на отрезке BC). Найдите градусную меру угла ∠BCA, если DL = DC. Ответ дайте в градусах.
49)В понедельник Володя шел из дома в школу с постоянной скоростью. Во вторник он шел с такой же скоростью, но на середине пути у него случилась беда: порвалась лямка на портфеле и рассыпались все учебники. 5 минут он собирал учебники, и после этого побежал в школу со скоростью, в два раза больше предыдущей. Сколько времени заняла дорога у Володи в понедельник, если во вторник он потратил на дорогу столько же времени с учетом задержки? Ответ запишите в минутах (укажите только число минут, при необходимости округлите до сотых и запишите конечную десятичную дробь).
50)На координатной плоскости изображены графики четырёх линейных функций, содержащих стороны некоторой прямоугольной трапеции: прямые a и c параллельны, прямые b и c перпендикулярны и обе проходят через начало координат, прямые d и a пересекаются на оси Oy, прямые c и d пересекаются в первой четверти, прямые a и b пересекаются во второй четверти, прямая d параллельна оси Ox. Соотнесите каждую из прямых a, c и d с функцией, графиком которой она является (δ 6= 0): а) y = 2x б) y = 6 в) y = 2x + δ 1) a 2) c 3) d Найдите значение параметра δ и запишите уравнение функции, графиком которой служит прямая b.
51)Отметьте все верные утверждения и только их. а) Если стороны равнобедренного треугольника равны 5 и 8, то его периметр обязательно равен 21. б) В каждом разностороннем треугольнике найдётся угол меньше 60 градусов. в) Существует ровно 9 способов выбрать 3 предмета из 5, лежащих на столе. г) Каждое натуральное число имеет хотя бы два различных натуральных делителя. д) Для всех x,y справедливо x5 −y5 = (x−y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4)
52)Назовём трёхзначное число интересным, если произведение его цифр больше суммы его цифр. Найдите наименьшее интересное трёхзначное число.
53)Три друга — Дима, Вова и Игорь — преподают геометрию, комбинаторику и теорию чисел в школах Санкт-Петербурга, Орла и Белграда. Дима работает не в Орле, Вова— не в Санкт-Петербурге, петербуржец преподает теорию чисел, орловец — не комбинаторику, Вова — не геометрию. Какой предмет преподает каждый из них? (Установите соответствие)
54)Компания для дня рождения купила в магазине 6 арбузов общей массой 30кг.Масса каждого арбуза не превышает 10 кг. Какого наименьшего количества пакетов ЗАВЕДОМО хватит, чтобы унести все арбузы, если один пакет выдерживает груз массой не более 10 кг (масса арбуза может быть не целым числом).
55)Учитель ставит ученику двойку, если в домашней работе решено менее трёх задач. Кроме того, если у двух учеников наборы решённых задач (независимо от порядка) совпадают, то учитель считает, что они списали, и ставит им обоим двойку. В иных случаях учитель, так и быть, двойку не ставит. В классе 30 учеников. Укажите наибольшее число задач, которое злой учитель может задать на дом так, чтобы обязательно кто-нибудь получил двойку.
56)В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ADC = 60◦ и AB = AD = DC. Найдите ∠ABD, если ∠BCA = 70◦. Ответ дайте в градусах.
57)На координатной плоскости изображена парабола – график квадратного трёхчлена y = ax2+bx+c. Известны координаты точек A (−5;0) и B (20;0) – точек пересечения данной параболы с осью Ox. Точка C – пересечение данной параболы с осью Oy – расположена выше оси Ox. Также известно, что ∠ACB = 90◦.
58)Сколько точек (x,y) на координатной плоскости удовлетворяет условию y4 −x2 =p72x−81×2 −16 ? Впишите количество точек в виде целого числа.
59)В понедельник Володя шел из дома в школу с постоянной скоростью. Во вторник он шел с такой же скоростью, но на середине пути у него случилась беда: порвалась лямка на портфеле и рассыпались все учебники. 5 минут он собирал учебники, и после этого побежал в школу со скоростью, в два раза больше предыдущей. Сколько времени заняла дорога у Володи в понедельник ,если во вторник он потратил на дорогу столько же времени с учетом задержки? Ответ запишите в минутах (укажите только число минут, при необходимости округлите до сотых и запишите конечную десятичную дробь).
60)На доске написаны числа, среди которых есть различные. Известно, что для каждого из написанных чисел на доске найдутся 2020 других написанных чисел, среднее арифметическое которых равно этому числу. Какое минимальное количество чисел могло быть написано на доске?
61)Учитель ставит ученику двойку, если в домашней работе решено менее трёх задач. Кроме того, если у двух учеников наборы решённых задач (независимо от порядка) совпадают, то учитель считает, что они списали, и ставит им обоим двойку. В иных случаях учитель, так и быть, двойку не ставит. Вклассе30учеников.Укажитенаибольшеечислозадач,котороезлойучительможет задать на дом так, чтобы обязательно кто-нибудь получил двойку
62)На координатной плоскости изображена парабола – график квадратного трёхчлена y = ax2+bx+c. Известны координаты точек A (−5;0) и B (20;0) – точек пересечения данной параболы с осью Ox. Точка C – пересечение данной параболы с осью Oy – расположена выше оси Ox. Также известно, что ∠ACB = 90◦.
63)Дан прямоугольник ABCD. Окружность, проходящая через точки A и D, касается прямой CD и пересекает диагональ AC в точке P. Найдите длину отрезка DP, если AP = √7, AB = 14√2.
64)Ненулевое число a таково, что оба корня уравнения ниже – целые числа. Укажите наибольшее число, которое может быть корнем этого уравнения. Уравнение: a2x2 + ax + 1−7a2 = 0.
65)Найдите наибольшее пятизначное число, у которого суммы: первой и второй цифр, второй и третьей цифр, третьей и четвёртой цифр, четвёртой и пятой цифр, пятой и первой цифр (т.е. пять сумм) являются простыми числами.
66)В треугольнике ABC проведены медианы AK и BL, пересекающиеся в точке M. Пусть P – середина отрезка AM, а Q – середина отрезка BM. Известно, что площадь треугольника PCQ равна 10. Чему равна площадь треугольника ABC?
67)На доске написано несколько различных дробей с числителем, равным 1, и натуральным знаменателем. Их сумма равна 1. Известно, что одна из этих дробей равна 1/43 . Какое минимальное количество дробей могло быть написано?
Школьный этап 2020-2021 задания и ответы для других предметов:
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 школьный этап задания и ответы