Автор Шабунин М.И пособие по математике для поступающих в вузы, книга предназначена для всех, кто, обладая знаниями основ школьного курса математики, хочет систематизировать свои знания, а также стремится успешно сдать вступительные экзамены в вуз. Пособие окажется полезным студентам педагогических вузов, а также учителям средних школ.
Ссылка для скачивания пособия для поступающих: скачать в PDF
Каждый раздел пособия содержит необходимый справочный материал и подробно разобранные примеры, взятые из практики вступительных экзаменов в вузы, предъявляющие достаточно высокие требования к математической подготовке абитуриентов. Кроме того, в пособие включены задачи для самостоятельной работы учащихся. Ко всем задачам даны ответы, а к некоторым наиболее трудным — краткие указания. В пособие также включены образцы вариантов вступительных экзаменов в МФТИ 1998–2013 гг.
Интересные задачи:
1)Натуральные числа a и b таковы, что a2 + b2 делится на 3. Следует ли отсюда, что каждое из чисел a, b делится на 3?
2)Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.
3)Доказать, что при любом натуральном n сумма n3+3n2+2n делится на 6.
4)Доказать, что n5 − n делится на 5 при любом n ∈ N.
5)Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 8, а сумма третьего и седьмого членов равна 14. Найти первый член и разность этой прогрессии.
6)Найти сумму первых 11 членов арифметической прогрессии, если сумма третьего и девятого ее членов равна 10.
7)Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма первых трех ее членов равна 27, а сумма их квадратов равна 275.
8)Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма первых трех ее членов равна 10,5, а разность первого и четвертого членов равна 31,5.
9)Найти четыре числа, составляющих геометрическую прогрессию, если сумма крайних ее членов равна 112, а сумма средних членов равна 48.
10)Найти число членов геометрической прогрессии, у которой отношение суммы последних 14 членов к сумме первых 14 членов равно 9, а отношение суммы всех членов без первых семи к сумме всех членов без последних семи равно 3.
11)Сумма первых n членов арифметической прогрессии, разность которой отлична от нуля, равна половине суммы следующих n членов этой прогрессии. Найти отношение суммы первых 3n членов прогрессии к сумме ее первых n членов.
12)Найти четыре числа, первые три из которых составляют арифметическую прогрессию, а последние три — геометрическую, если сумма крайних чисел равна 11, а сумма средних чисел равна 10.
13)Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой сумма квадратов первых n членов равна сумме первых 2n членов, а сумма кубов первых n членов в три раза меньше суммы первых 3n членов.
14)Катер по реке и автобус по дороге, идущей вдоль берега реки, отправляются одновременно из пункта A в пункт B и совершают безостановочное движение между A и B. Первая их встреча произошла, когда автобус прошел 5 9 всего расстояния от A до B, а вторая встреча — когда автобус после первого захода в B проехал 1 8 всего расстояния от B до A. Первый раз в пункт B автобус прибыл на 16 мин позже катера. Через сколько часов после начала движения автобус и катер окажутся одновременно в пункте A, если скорость катера в неподвижной воде и скорость автобуса постоянны?
15)Грузчики A и B работали одинаковое число часов. Если бы грузчик A работал на 1 ч меньше, а B — на 7 ч меньше, то A заработал бы 72 тыс. руб., а B — 64,8 тыс. руб. Если бы A работал на 7 ч меньше, а B — на 1 ч меньше, то B заработал бы на 32,4 тыс. руб. больше, чем A. Сколько заработал каждый грузчик?
16)Бак объемом 425 м3 был наполнен водой из двух кранов, причем первый кран был открыт на 5 ч дольше второго. Если бы первый кран был открыт столько времени, сколько на самом деле был открыт второй, а второй кран был бы открыт столько времени, сколько был открыт первый, то из первого крана вытекло бы в 2 раза меньше воды, чем из второго. Если открыть два крана одновременно, то бак наполнится за 17 ч. Какое время был открыт второй кран?
17)Из пункта A в пункт B выехал мотоциклист, а навстречу ему одновременно из пункта B в пункт A выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в пункт B через 2 ч после встречи с велосипедистом, а велосипедист прибыл в пункт A через 4,5 ч после встречи. Сколько часов они были в пути?
18)Два поезда отправились одновременно в одном направлении из городов A и B, расстояние между которыми 60 км, и одновременно прибыли в город C. Если бы один из поездов увеличил скорость на 25 км/ч, а другой — на 20 км/ч, то оба поезда прибыли бы в C одновременно, но на 24 мин раньше. Найти скорости поездов.
19)Поезд должен был пройти перегон в 120 км по расписанию с постоянной скоростью. Однако, пройдя половину перегона с этой скоростью, поезд остановился на 5 мин. Увеличив на второй половине перегона скорость на 10 км/ч, поезд прибыл в конечный пункт вовремя. Определить скорость поезда по расписанию.
20)Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу, первый — из пункта A, второй — из пункта B. До встречи пешеходов первый прошел на 1 км больше, чем второй. Первый пешеход прибыл в пункт B через 45 мин после встречи, а второй прибыл в пункт A через 1 ч 20 мин после встречи. Найти расстояние от A до B.
21)Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки один тратит на 5 с меньше другого. Если они начинают пробег с общего старта одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30 с. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях?
22) Из пункта A выехали три велосипедиста, первый на 1 ч раньше двух других, стартовавших одновременно. Скорость каждого велосипедиста постоянна. Через некоторое время третий велосипедист догнал первого, а второй догнал первого на 2 ч позже, чем третий. Определить отношение скоростей первого и третьего велосипедистов, если отношение скорости второго к скорости третьего равно 2/3.
23)Бассейн наполняется насосами за 3 ч, причем первый насос вдвое производительнее второго. Если бассейн наполнять сначала на 0,5 объема первым и третьим насосами, а затем на 0,5 объема вторым и третьим, то он наполнится за 5 ч. За какое время бассейн наполнится, если будет работать только третий насос?
24)Два пешехода одновременно отправились от станции к поселку по одной дороге. Первый из них первую половину пути шел со скоростью в 1,5 раза большей, чем вторую половину пути. Второй пешеход первую половину времени нахождения в пути шел со скоростью в 1,5 раза меньшей, чем вторую половину времени, и пришел в поселок на 6 мин раньше первого. Сколько минут каждый из них был в пути, если второй обогнал первого, пройдя 5/8 всего пути?
25)В двух одинаковых сосудах, объемом по 30 л каждый, содержится всего 34 л спирта. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 л новой смеси. Сколько спирта было первоначально в каждом сосуде, если полученная смесь во втором сосуде содержит на 2 л спирта меньше, чем в первом?
26)Окружности C1 и C2, радиусы которых равны r1 и r2, касаются окружности C радиуса R в точках, расстояние между которыми равно a. Найти длину общей внешней касательной к окружностям C1 и C2.
27)Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом. Найти площадь трапеции, образованной внешними касательными к этим окружностям и хордами, соединяющими точки касания.
28)Две окружности касаются внешне в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает окружности в точках B и C таких, что AB = 4, AC = 8. Найти радиусы окружностей, если расстояние между их центрами равно 9.
29)Из точки O, лежащей вне круга, проведены две секущие. Одна из них пересекает окружность в точках A и B таких, что OA = 3, AB = 9, а другая — в точках C и D. Найти длину хорды CD, если OC = 4.
30)Из точки M, находящейся на расстоянии 10 от центра O окружности радиуса 8 проведена секущая MBC, такая, что ее внешняя часть MB равна 3. Найти расстояние от точки O до секущей.
31)Найти площадь сегмента, если дуга сегмента содержит 120◦, а его периметр равен 4.
32)Две окружности внутренне касаются в точке A. Отрезок AB является диаметром большей окружности, а хорда BK большей окружности касается меньшей окружности в точке C. Доказать, что AC — биссектриса треугольника ABK.
33)Две окружности внутренне касаются. Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пересекает большую в точках A и D, а меньшую — в точках B и C. Найти отношение радиусов окружностей, если AB : BC : CD = 2 : 4 : 3.
34)Доказать, что сумма квадратов длин двух взаимно перпендикулярных пересекающихся хорд окружности больше квадрата ее диаметра, а сумма квадратов отрезков, на которые точка пересечения делит хорды, равна квадрату диаметра.
35). Окружность радиуса, равного высоте некоторого равнобедренного треугольника, катится по основанию этого треугольника. Доказать, что величина дуги, отсекаемой на окружности боковыми сторонами треугольника, остается при этом постоянной. Будет ли это предложение верно для неравнобедренного треугольника?
Тренировочные варианты по математике 11 класс ЕГЭ 2021:
16.12.2020 Математика 11 класс варианты МА2010201-МА2010212 ответы и задания статград
30.09.2020 Математика 11 класс варианты МА2010101-МА2010112 ответы и задания