Автор Задания и ответы с решением олимпиады Курчатов по математике для 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса отборочный и заключительный этап 2025-2026 учебный год. По результатам первого этапа участники приглашаются на заключительный, который проходит в очном формате во многих городах России.
Отборочный этап 2025-2026 олимпиада Курчатов по математике
otbor-kurchatov-mat-2025-2026Задача 1.1. Дима загадал двузначное число и сделал шесть утверждений о нём, но каждое третье по счёту утверждение является ложным, остальные — правдивые. Неизвестно, с какого утверждения начинается ложь: первое может быть как правдой, так и ложью. Утверждения Димы следующие: 1. «Моё число больше 57» 2. «В моём числе есть цифра 6» 3. «Моё число меньше 42» 4. «В моём числе цифры разной чётности» 5. «Моё число четное» 6. «Одна из цифр моего числа равна 9» Какое число мог загадать Дима? Если возможно несколько вариантов чисел, которые мог загадать Дима, в ответ запишите их сумму.
Задача 1.2. Дима загадал двузначное число и сделал шесть утверждений о нём, но каждое третье по счёту утверждение является ложным, остальные — правдивые. Неизвестно, с какого утверждения начинается ложь: первое может быть как правдой, так и ложью. Утверждения Димы следующие: 1. «Моё число больше 57» 1 2. «В моём числе есть цифра 6» 3. «Моё число меньше 42» 4. «В моём числе цифры одной чётности» 5. «Моё число четное» 6. «Одна из цифр моего числа равна 9» Какое число мог загадать Дима? Если возможно несколько вариантов чисел, которые мог загадать Дима, в ответ запишите их сумму.
Задача 2.1. Красная Шапочка отправилась к бабушке на велосипеде из дома. Путь до бабушки состоит из ровных (горизонтальных) участков, а также подъемов и спусков. На ровных участках Красная Шапочка едет со скоростью 12 км/ч, на подъемах – 8 км/ч, а на спусках – 15 км/ч. До бабушки она доехала за 5 часов, а обратно домой за 4 часа 39 минут. Ровные участки составляют 28 км. Сколько километров проехала Красная Шапочка суммарно на подъемах и спусках по пути к бабушке и обратно? Решение: Заметим, что раз Красная Шапочка съедает пирожок в конце каждого километра на подъемах и спусках, то число съеденных ею пирожков равно количеству пройденных километров на подъемах и спусках. Рассмотрим путь Красной Шапочки от дома до бабушки. Пусть на подъем она двигалась x км, а на спуск — y км. Тогда время в пути до бабушки составлило 28 12 + x 8 + y 15 , что равно 5 часам. По пути обратно от бабушки спуски стали подъемами и наоборот. Тогда время в пути обратно домой составило 28 12 + x 15 + y 8 , что равно 279 60 = 93 20 часа. Выражая x + y из двух полученных равенств, получаем x + y = 26. Тогда общая длина подъемов и спусков по пути к бабушке и обратно составила 52 км, а значит, Красная Шапочка съела 52 пирожка.
Задача 3.1. Петя нарисовал прямоугольник со сторонами n и m, где n и m — целые числа. Затем решил увеличить его стороны в 5 и 4 раза соответственно. Оказалось, что значение площади исходного прямоугольника больше значения периметра нового прямоугольника на 9. Найдите наибольшее возможное значение n.
Задача 4.1. Следователь обнаружил в блокноте разыскиваемого математика записанную последовательность чисел: 107, 108, 109, . . . , 2026. Рядом была пометка: «Удалив сначала всех тех, кто дружен с 2, а затем тех, кто дружен с 5, найдёшь ответ в конце пути оставшихся». Следователь понял, что нужно вычеркнуть все четные числа и числа, оканчивающиеся на 5, а затем найти последнюю цифру произведения оставшихся. Найдите эту цифру.
Задача 5. Вале нужно отгадать три числа, которые загадал Дима. Дима дал Вале подсказку, что его числа имеют вид abc, cba и xxx (разными буквами обозначены разные цифры), а также для них выполняется равенство abc + cba = xxx. Валя делает предположение, называя тройку чисел, удовлетворяющую подсказке. За какое минимальное количество предположений Валя гарантированно угадает загаданную Димой тройку?
8. У Вани есть пять механических будильников, каждый из которых звенит, соответственно, 1, 2, 4, 5 и 7 минут, после чего замолкает на одну минуту, и затем начинает звенеть снова. И так до тех пор, пока его не отключат. Ваня завёл будильники на 8 : 00 утра, но, по счастливому стечению обстоятельств, проснулся сам и ушёл на тренировку. В 8 : 00 все пять будильников начали звонить. Ваня вернулся в первый момент, когда ни один будильник не звенел после 8 : 00. Через сколько минут после начала звона будильников он вернулся?
9. Король острова Рыцарей и Лжецов, сам являющийся рыцарем, решил узнать, сколько рыцарей среди его 12-и министров. Собрав их, он задал министрам единственный вопрос «Сколько среди вас рыцарей?»: Один сказал: «Здесь не меньше 9 рыцарей». Второй сказал: «Здесь не больше 6 рыцарей». Остальные 10 хором воскликнули: «Здесь ровно 7 рыцарей». Через минуту раздумий король правильно назвал число рыцарей среди его министров. Какое число он назвал? Министры знают, кто есть кто.
10. В компании 15 человек. На 8 марта мальчики дарили девочкам цветы: не более одного цветка от одного мальчика одной девочке. Известно, что никакие три девочки не получили одинаковое число цветов. Какое наименьшее количество мальчиков может быть в компании?
11. Про число 𝑋 известно, что оно делится на 48 и имеет ровно 2026 делителей. Найдите остаток при делении на 9 максимального из всех 𝑋, удовлетворяющих условиям.
12. Дядя Фёдор, пёс Шарик и почтальон Печкин устроили забег на скорость. Когда Шарик побежал, кот Матроскин отвлек остальных участников забега, из-за чего Дядя Фёдор начал забег на минуту позже, а возмущённый несправедливостью почтальон Печкин сбегал за велосипедом и принял участие в гонке на велосипеде, стартовав через две минуты после начала движения Дяди Фёдора. В некоторый момент гонки Матроскин заметил, что все три героя преодолели одинаковую часть дистанции. Через какое время после финиша Печкина финишировал Шарик, если известно, что он прибежал через 30 секунд после Дяди Фёдора? Ответ дайте в секундах.
13. В конкурсе приняли участие 𝑚 учеников из Эмска и 𝑛 — из Энска. Участников из других городов не было. Известно, что вероятность при случайном выборе двух участников конкурса получить пару из одного города такая же, как и вероятность получить пару их разных городов. Найдите максимальное возможное значение 𝑛 + 𝑚, если известно, что это число не больше 2026.
14. Три богатыря: Добрыня, Илья и Алёша, собрались выкосить поле ржи. Каждый из них, работая в одиночку, справится за время 𝑡1, 𝑡2 и 𝑡3 соответственно, причем времена 𝑡1, 𝑡2 и 𝑡3 – корни уравнения 161𝑡 3 − 93𝑡 2 + 17𝑡 − 1 = 0. Алёша предложил косить всем вместе, но Илья возразил, что в таком случае границы останутся без надзора и лучше каждому выкосить ровно по трети поля, пока остальные двое в дозоре. Во сколько раз быстрее богатыри выкосят поле, работая все вместе, чем если они будут работать поочерёдно каждый со своей собственной скоростью уборки ржи?
Заключительный этап 2025-2026 олимпиада Курчатов по математике
final-kurchatov-mat-2025-2026Задача 1. Первого мая Агроном посадил несколько цветов сорта «Супер красивые» в ряд и 30-го мая обнаружил, что неприжившихся в 4 раза меньше, чем прижившихся. Он исправил свои ошибки, и все следующие посадки приживались: каждый месяц 1-го числа он сажал по одному новому цветку между каждыми двумя прижившимися. 30-го августа всего оказалось 793 цветка. Сколько цветов было посажено первого мая, если до этого цветов сорта «Супер красивые» не было?
Задача 2. Злая Колдунья заточила Принцессу в темнице, схема комнат которой изображена на рисунке (одна клетка — одна комната). Между любой парой соседних по стороне комнат есть переход. Чтобы спасти Принцессу, Принц указывает на три комнаты, заплатив за это Колдунье 10 золотых. Если Принцесса находится в одной из указанных комнат, Колдунья освобождает её. Если нет, то Колдунья заставляет Принцессу перейти в соседнюю комнату (Принцесса сама выбирает, какую). Принц ни в какой момент не видит, где находится Принцесса. За какое наименьшее количество золотых Принц сможет гарантированно освободить Принцессу?
Задача 3. При регистрации на сайте с математическими задачами необходимо пройти проверку «Я – не робот». Для этого нужно предложенную картинку с числами разделить на несколько необязательно равных и ровных частей так, чтобы в полученных частях суммы чисел были одинаковыми. Мише попалось изображение, как на рисунке. Помогите Мише пройти проверку, если изображение нужно разделить на 4 части.
Задача 5. Найдите наименьшее натуральное число, сумма цифр которого делится на 11 с остатком 3 и сумма цифр следующего за ним числа делится на 11 с остатком 7.
6. В городе N есть n домов. Дом в этом городе считается многоэтажным, если в нём больше 5 этажей. Выясните, что больше: доля многоэтажных домов от всех домов в городе или доля этажей, которые находятся во всех многоэтажных домах, от общего числа этажей во всех домах в городе?
7. Астроном Иван изучает звёзды с помощью своего нового телескопа. За время исследования он нашёл n ярких звёзд и n−1 тусклых и хочет их запомнить. У Ивана отличная зрительная память, поэтому он придумал следующий способ запоминания: для каждой яркой звезды он строит связи с n любыми другими звёздами, а для каждой тусклой звезды — с n + 1 любыми другими звёздами. Докажите, что у Ивана не получится таким способом запомнить все звёзды.
8. Ира и Саша играют в игру, делая ходы по очереди. У них есть прямая линия из 20 клеток, в первой клетке сидит кузнечик. В свой ход его можно подтолкнуть либо на 4 клетки вперёд, либо на одну клетку назад. Например, из второй клетки кузнечик может попасть либо в первую, либо в шестую клетку. Побеждает тот, кто подтолкнет кузнечика в двадцатую клетку. За границы линии выходить нельзя. Ира ходит первая. Кто победит при правильной игре?
9. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. На серединах сторон AB, CD и EF отметили точки K, L и M соответственно. Докажите, что треугольник KLM — равносторонний.
Критерии определения победителей и призеров олимпиады
Смотрите на сайте задания прошлых лет
Олимпиада Курчатов по математике задания и ответы 6-11 класс 2025-2026