Автор Официальные задания, ответы и решения муниципального этапа 2021 всероссийской олимпиады школьников ВСОШ по математике для 7, 8, 9, 10, 11 класса 2021-2022 учебного года, официальная дата проведения олимпиады в Москве: 1-5 декабря 2021 год.
Олимпиада для 7 класс: задания | ответы
Олимпиада для 8 класс: задания | ответы
Олимпиада для 9 класс: задания | ответы
Олимпиада для 10 класс: задания | ответы
Олимпиада для 11 класс: задания | ответы
Муниципальный этап 2021 олимпиада по математике 7 класс задания и ответы:
Муниципальный этап 2021 олимпиада по математике 8 класс задания и ответы:
Муниципальный этап 2021 олимпиада по математике 9 класс задания и ответы:
Муниципальный этап 2021 олимпиада по математике 10 класс задания и ответы:
Муниципальный этап 2021 олимпиада по математике 11 класс задания и ответы:
1)В 7 «Б» классе учится больше 3, но меньше 15 детей. На Новый год к ним пришёл Дед Мороз с мешком, в котором было 195 конфет. Раздав всем ребятам в классе поровну конфет, Дед Мороз обнаружил, что в мешке осталось 8 конфет. Сколько конфет получил каждый из ребят?
2)В белом клетчатом квадрате 5 × 5 Петя закрасил несколько клеток в чёрный цвет так, что в каждом клетчатом квадрате 2 × 2 оказалось не более двух чёрных клеток. Его друг Вася, посмотрев на рисунок, решил перекрасить в белый цвет некоторые 5 клеток, любые две из которых находятся в разных строках и в разных столбцах. После этого получился рисунок, изображённый ниже.
3)На рисунке изображены 5 прямых, пересекающиеся в одной точке. Один из получившихся углов равен 34°. Сколько градусов составляет сумма четырёх углов, закрашенных серым цветом?
4)На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 35 жителей острова расселись за 7 столов, по 5 человек за каждым. Каждого из этих 35 жителей спросили: «Столов, за которыми сидят хотя бы 3 рыцаря, больше трёх»? 5.1 (1 балл) Какое наибольшее число жителей могли ответить «Да»? 5.2 (3 балла) Какое наибольшее число жителей могли ответить «Нет»?
5)В кружочки на рисунке расставлены натуральные числа 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 (каждое число — в одном кружочке) так, что все три суммы трёх чисел вдоль каждой линии равны. Какое число может оказаться в кружочке X? Укажите все возможные варианты.
6)На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка D. На отрезках AD и DC во внешнюю сторону от исходного треугольника построены равносторонние треугольники ADE и DCF. Известно, что периметр треугольника DEF равен 19, а периметр пятиугольника ABCFE равен 43.
7)В шахматном турнире участвовали 30 шахматистов, каждый сыграл с каждым ровно один раз. За победу давалось 1 очко, за ничью — 1/2, а за поражение — 0. У какого наибольшего числа шахматистов по окончании турнира могло оказаться ровно 5 очков?
8)Дан прямоугольник ABCD. Прямая, проходящая через вершину A и точку K на стороне BC, делит весь прямоугольник на две части, площадь одной из которых в 5 раз меньше площади другой. Найдите длину отрезка KC, если AD = 60.
9)В ряд лежат 127 шариков, каждый из которых либо красный, либо зелёный, либо синий. Известно, что • есть хотя бы один красный, хотя бы один зелёный и хотя бы один синий шарик; • слева от каждого синего шарика лежит красный шарик; • справа от каждого зелёного шарика лежит красный шарик.
10)Ваня выписал в ряд без пропусков друг за другом все натуральные числа от 1 до N в следующем порядке: 1 N 2 N–1 3 N–2 … Например, при N = 5 получилось бы 15243, а при N = 10 получилось бы 11029384756. При каком наименьшем N в такой записи встретится последовательность цифр 301?
11)Клетчатый прямоугольник площади S таков, что: • его целиком можно разрезать по линиям сетки на прямоугольники 1 × 13; • его целиком можно разрезать по линиям сетки на трёхклеточные уголки (примеры уголков изображены на рисунке ниже); • не существует клетчатого прямоугольника меньшей площади, удовлетворяющего двум предыдущим условиям.
12)Числа 13, 14, 15, …, 25 покрашены в пять цветов: одно чёрное число, три красных, три синих, три жёлтых, три зелёных. Известно, что: • все четыре суммы трёх одноцветных чисел равны; • число 13 — красное, 15 — жёлтое, 23 — синее. 6.1 (1 балл) Найдите чёрное число. 6.2. (3 балла) Найдите три зелёных числа.
13)Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом A. Квадрат KLMN расположен, как на рисунке: точки K, L, N лежат на сторонах AB, BC, AC соответственно, а точка M расположена внутри треугольника ABC. Найдите длину отрезка AC, если известно, что AK = 7, AN = 3.
14)В ряд встали 7 гномов: Весельчак, Ворчун, Простачок, Скромник, Соня, Умник и Чихун. На каждом из них кофта с первой буквой его имени и колпак. У некоторых из них сегодня плохое настроение, и они при любой просьбе делают всё наоборот (остальные гномы делают то, что их попросят). Белоснежка попросила снять колпак тех, рядом с которыми стоит хотя бы один гном с плохим настроением. Получилось так, как изображено на следующем рисунке: колпак сняли все гномы.
15)В четырёх классах школы учится более 70 детей, все они пришли на собрание параллели (других детей на собрании не было). Каждую пришедшую девочку спросили: «Сколько пришло человек из твоего класса, включая тебя?» Каждого пришедшего мальчика спросили: «Сколько пришло мальчиков из твоего класса, включая тебя?» Среди ответов встретились числа 7, 9, 10, 12, 15, 16, 19 и 21 (все дети ответили верно). 2.1 (1 балл) Сколько детей учится в самом большом классе параллели? 2.1 (3 балла) Сколько девочек пришло на собрание параллели?
16)Фома и Ерёма ехали по прямой дороге в Москву на повозке с постоянной скоростью. • В 12:00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» • Ерёма ответил: «82». • В 13:00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» • Ерёма ответил: «71». • В 15:00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» • Ерёма ответил: «46». Известно, что Ерёма каждый раз округлял расстояние до ближайшего целого, а если таких было два — то до любого на свой выбор. В 16:00 Фома снова спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» В этот раз Ерёма уже дал точный ответ, не округляя его. Что ответил Ерёма?
17)Дан треугольник ABC, точка M — середина стороны BC. Пусть l — биссектриса внешнего угла A треугольника ABC. Прямая, проходящая через M и параллельная l, пересекает сторону AB в точке K. Найдите длину отрезка AK, если AB = 23 и AC = 8.
18)На плоскости отмечено 36 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары отмеченных точек соединены отрезком так, что из каждой отмеченной точки выходит не более 3 отрезков. Какое наибольшее количество различных замкнутых 4-звенных ломаных может получиться? Вершинами ломаной могут быть только отмеченные точки, а звеньями — только проведённые отрезки. Неважно, где у ломаной начало и как она ориентирована: например, если для некоторых 4 отмеченных точек A, B, C, D проведены отрезки AB, BC, CD, DA, то ABCD, BCDA, CDAB, DABC, ADCB, BADC, CBAD, DCBA — это одна и та же ломаная.
19)Найдите любое натуральное x такое, что значение выражения 2x + 28 + 211 является квадратом натурального числа.
20)По кругу лежат 36 шариков, каждый из которых либо красный, либо синий (шарики каждого из этих цветов присутствуют). Известно, что: • для любого красного шарика найдётся ровно один красный шарик такой, что между ними лежит ровно один шарик; • для любого красного шарика найдётся ровно один красный шарик такой, что между ними лежат ровно три шарика.
21)Пусть нет двух рядом лежащих красных шариков. Сколько всего красных шариков может лежать по кругу? Укажите все возможные варианты. Если ответом являются несколько чисел, то они вводятся все — каждое число в отдельное поле ввода в произвольном порядке. 2.2. (2 балла) Пусть есть два рядом лежащих красных шарика. Сколько всего красных шариков может лежать по кругу? Укажите все возможные варианты.
22)Несколько сладкоежек приняли участие в состязании по поеданию конфет. Каждый участник съел целое количество конфет, причём любые два участника съели разное количество конфет. Подводя итоги состязания, жюри упорядочило всех людей по убыванию количества съеденных конфет (например, победитель съел больше всего конфет, а человек, занявший последнее место, съел меньше всего конфет). Известно, что: • победитель съел в 14 раз меньше, чем все остальные участники вместе взятые; • участник, занявший третье место, съел в 20 раз меньше, чем все остальные участники вместе взятые; • участник, занявший последнее место, съел в 21 раз меньше, чем все остальные участники вместе взятые. Сколько сладкоежек участвовало в состязании?
23)На острове живёт 23 рыцаря и 200 лжецов; имена всех жителей различны. Знающий об этом приехавший турист попросил каждого из 223 жителей написать на листке 200 имён лжецов. Каждый рыцарь написал верно 200 имён лжецов, а каждый лжец написал произвольный список из 200 имён, в котором точно нет его собственного имени. Какое наибольшее количество лжецов турист сможет гарантированно определить по этим данным?
24)В спортивной школе занимается 55 человек, каждый из которых либо теннисист, либо шахматист. Известно, что нет четырёх шахматистов, которые имели бы поровну друзей среди теннисистов. Какое наибольшее количество шахматистов может заниматься в этой школе?
25)На окружности по часовой стрелке расположены точки A, B, C, D, E, F, как изображено на рисунке. Хорды AD и CE пересекаются в точке X под прямым углом, хорды AD и BF пересекаются в точке Y. Известно, что CX = 12, XE = 27, XY = 15, BY = 9, YF = 11.
26)Дан набор чисел {–1, –2, –3, …, –26}. На доску выписали всевозможные подмножества данного набора, в которых есть хотя бы 2 числа. Для каждого выписанного подмножества вычислили произведение всех чисел, принадлежащих данному подмножеству. Чему равна сумма всех этих произведений?
27)Все вершины правильного тетраэдра ABCD находятся по одну сторону от плоскости α. Оказалось, что проекции вершин тетраэдра на плоскость α являются вершинами некоторого квадрата. Найдите значение величины AB2 , если известно, что расстояния от точек A и B до плоскости α равны 17 и 21 соответственно.
28)В каждой клетке полоски 1 × N стоит либо плюс, либо минус. Ваня умеет совершать следующую операцию: выбрать любые три клетки (не обязательно последовательные), одна из которых находится ровно посередине между двумя другими клетками, и поменять три знака в этих клетках на противоположные. Число N назовём позитивным, если из расстановки из N минусов Ваня такими операциями может получить расстановку из N плюсов. Рассмотрим числа 3, 4, 5, …, 1400. Сколько среди них позитивных?
Другие олимпиады муниципального этапа ВСОШ 2021-2022:
Муниципальный этап 2021-2022 всероссийской олимпиады школьников задания и ответы