Автор Районный этап 2024-2025 всероссийской олимпиады школьников по математике задания и ответы с решением для 7, 8, 9, 10, 11 класса. Данная олимпиада прошла у школьников Санкт-Петербурга 16 ноября 2024 года. Результаты ВСОШ уже известны. Критерии и решение опубликованы после заданий.
Районный этап по математике 7 класс 2024-2025
7-klass-raion-spb-2024-2025-mat1. Из 80 белых кубиков сложили параллелепипед 4×4×5, после чего покрасили его снаружи в красный цвет. Можно ли теперь из тех же 80 кубиков сложить параллелепипед 8 × 10 × 1 так, чтобы одна из его граней размером 8 × 10 оказалась полностью красной?
2. Существует ли натуральное число, оканчивающееся на 34, у которого делителей, оканчивающихся на 8, больше, чем делителей, оканчивающихся на 9?
3. На олимпиаду пришло 557 детей. Их как-то рассадили по аудиториям (в каждой аудитории есть хотя бы по одному ребенку). В каждой аудитории подсчитали, какой процент от находящихся в ней детей составляют девочки. Сумма трёх полученных чисел оказалась равна 280. Найдите наименьшее возможное количество девочек среди этих 557 детей.
4. В каждой клетке квадратного поля 10 × 10 стоит печенег или хазар. Печенеги всегда говорят правду, а хазары каждое число увеличивают на 1 (например, если хазар хочет сказать «четыре», он произносит «пять»). Каждого спросили, сколько печенегов среди его соседей по стороне, сложили все ответы и получили сумму 292. Затем каждого спросили, сколько хазар среди его соседей по стороне, сложили все ответы и получили сумму 140. а) Сколько всего хазар стоит на этом поле? б) Сколько имеется способов расставить печенегов и хазар на этом поле так, чтобы получились такие суммы?
Районный этап по математике 8 класс 2024-2025
8-klass-raion-spb-2024-2025-mat1. Найдите три таких различных трёхзначных числа a, b и c, что каждое из них равно сумме какого-то делителя a, какого-то делителя b и какого-то делителя c. Достаточно привести один пример такой тройки чисел.
2. Найдите все тройки положительных чисел x, y, z, удовлетворяющих уравнениям.
3. На равных сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно так, что AE = CD. Точка H на отрезке BE — основание высоты, опущенной из точки A на сторону BC. Найдите длину отрезка EH, если известно, что CE = 2, AD = 4.
4. В классе учится чётное число учеников, все они разного роста. На каждом уроке они садятся за парты по двое. На уроках алгебры, геометрии и искусственного интеллекта оказалось, что для каждой парты сумма ростов сидящих за ней учеников равна 3 м, 3,3 м или 3,5 м. Докажите, что какие-то двое сидели за одной партой хотя бы на двух из этих трёх уроков.
5. Даны натуральные числа m и n, m < n. В десятичной записи дроби m/n после запятой подряд встретились цифры 2, 0, 2, 4 (именно в таком порядке). Докажите, что существует правильная дробь со знаменателем n (и натуральным числителем), в записи которой после запятой найдутся подряд цифры 1 и 2 именно в таком порядке.
Районный этап по математике 9 класс 2024-2025
9-klass-raion-spb-2024-2025-mat1. У Пети, Васи и Толи в тетрадях было записано одно и то же десятизначное число. Каждый стёр несколько цифр в своей тетради. У Пети получилось число 12436, у Васи — 3578. Могло ли у Толи получиться число 9510?
2. Найдите все тройки ненулевых чисел x, y, z, каждое из которых в 3 раза меньше суммы чисел, обратных к двум другим.
3. В трапеции ABCD диагональ BD равна основанию AD, а также ∠A = 2∠D и AB = 2BC. Докажите, что ∠ACD = 90◦ .
4. Клетчатый прямоугольник периметра p удалось разрезать на 100 клетчатых прямоугольников, никакие два из которых не равны. У каждого из них есть сторона длины 2. Найдите наименьшее возможное значение p. Прямоугольники, которые отличаются поворотом, считаются одинаковыми.
5. В бесконечной возрастающей последовательности a1, a2, . . . натуральных чисел любые два соседних числа отличаются не более чем на миллион. Верно ли, что можно выбрать миллион членов этой последовательности так, чтобы их наибольший общий делитель был больше миллиона?
Районный этап по математике 10 класс 2024-2025
10-klass-raion-spb-2024-2025-mat1. Решите уравнение. В левой части знак «минус» фигурирует 98 раз.
2. Дан треугольник ABC, в котором ∠A = 70◦ . На стороне AB отмечена точка X, на стороне BC — точка Y , а на стороне AC — точка Z, причем AB = BY , CY = CZ и AZ = AX. Найдите угол XY Z.
3. На доске написано некоторое натуральное число N. Петя разделил его с остатком на 4441, записал в тетрадь остаток, а полученное неполное частное разделил на 81 и снова записал остаток. Вася разделил N с остатком на 81, записал к себе в тетрадь остаток, полученное неполное частное разделил на 4441 и снова записал остаток в тетрадь. Сумма двух остатков, записанных Петей, оказалась не равна сумме двух Васиных остатков. На какое наименьшее число могли отличаться друг от друга эти суммы?
4. Сумма целых чисел a и b не равна 1. Известно, что число n 2−2an−b не делится на a+b−1 ни при каком целом n. Докажите, что квадратный трехчлен x 2 − 2bx − a не имеет целых корней.
5. Какое наименьшее количество клеток можно отметить в квадрате 110 × 110 так, чтобы в любом прямоугольнике 11 × 12 (и в любом прямоугольнике 12 × 11) была хотя бы одна отмеченная клетка?
Районный этап по математике 11 класс 2024-2025
11-klass-raion-spb-2024-2025-mat1. Каждое из 170 натуральных чисел равно сумме чисел, обратных к 169 остальным. Найдите эти числа. (Укажите все варианты и докажите, что других нет.)
2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высота BH, биссектриса BL и медиана BM (точки A, H, L, M, C расположены на прямой именно в таком порядке). Оказалось, что MH = 1 и радиус описанной окружности треугольника равен 2. Найдите угол ∠ALB.
3. На доске написано чётное количество различных вещественных чисел. Дима, Витя и Саша разбили числа на пары (каждый по-своему, разные мальчики не могли выбрать одну и ту же пару), после чего перемножили числа в парах. Каждое из полученных произведений оказалось равно 2023, 2024 или 2025. Докажите, что кто-то из мальчиков ошибся.
4. Сумма целых чисел a и b не равна 1. Известно, что число n 2−2an−b не делится на a+b−1 ни при каком целом n. Докажите, что квадратный трехчлен x 2 − 2bx − a не имеет целых корней.
5. Куб со стороной 2 1 000 000 разбит на единичные кубики. В каждом кубике написана цифра 0, 1 или 2. Назовем строку из цифр 0, 1 и 2 хорошей, если ее можно получить, начав с некоторого кубика и переходя на каждом шагу к соседнему (по грани) кубику. Например, строка 0102 хорошая, если можно из кубика с цифрой 0 попасть в кубик с цифрой 1, из него — в кубик с нулем (возможно, начальный), а из него — в кубик с двойкой. Оказалось, что любая строка длины не более 10 000 — хорошая. Один из кубиков удалили, из-за чего некоторые строки перестали быть хорошими. Докажите, что осталось не менее 2 · 6 1012 − 2 2024 хороших строк длины 2024.
Смотрите на сайте олимпиады:
Олимпиада по математике 7-11 класс районный этап 2023-2024 ВСОШ задания с ответами