Автор Тренировочные варианты 31, 32, 33, 34, 35, 36 ФИПИ ЕГЭ 2026 по математике 11 класс профильный уровень от профиматики задания с ответами и решением для подготовки к экзамену. Каждый вариант состоит из 19 заданий банка ФИПИ, Ященко и экзаменов прошлых лет вариант 3-4 дата проведения пробника 8 мая 2026.
31 вариант ЕГЭ 2026 математика 11 класс профиматика
Загрузка...
Перезагрузить документ 
Открыть в новой вкладке 1. Площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна 40, 𝐷𝐸 — средняя линия, параллельная стороне 𝐴𝐵. Найдите площадь трапеции 𝐴𝐵𝐸𝐷.
3. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 128. Найдите объём конуса.
4. В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей: 34 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
5. В коробке 6 синих, 12 красных и 7 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) – производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−4; 10). Найдите промежутки возрастания функции 𝑓(𝑥). В ответе укажите длину наибольшего из них.
9. Водолазный колокол, содержащий 𝜈 = 2 моля воздуха объёмом 𝑉1 = 120 л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма 𝑉2 (в л). Работа 𝐴 (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле 𝐴 = 𝛼𝜈𝑇 log2 𝑉1 𝑉2 , где 𝛼 = 8,7 Дж моль · K – постоянная, 𝑇 = 300 К – температура воздуха. Найдите, какой объём 𝑉2 будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 440 Дж. Ответ дайте в литрах.
10. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 18 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 31 час после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
11. На рисунке изображены графики функций 𝑓(𝑥) = 𝑎 √ 𝑥 и 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏, которые пересекаются в точке 𝐴. Найдите абсциссу точки 𝐴.
12. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = (𝑥 − 14) 𝑒 𝑥−13 на отрезке [12; 14].
14. В основании пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 лежит трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с большим основанием 𝐴𝐷. Диагонали трапеции пересекаются в точке 𝑂. Точки 𝑀 и 𝑁 – середины боковых сторон 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Плоскость 𝛼 проходит через точки 𝑀 и 𝑁 параллельно прямой 𝑆𝑂. a) Докажите, что сечение пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼 является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼, если 𝐴𝐷 = 10, 𝐵𝐶 = 8, 𝑆𝑂 = 8, а прямая 𝑆𝑂 перпендикулярна прямой 𝐴𝐷.
16. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите 𝑟, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 260 000 рублей, а во второй год – 169 000 рублей.
17. Две окружности касаются внутренним образом в точке 𝐴, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда 𝐵𝐶 большей окружности касается меньшей в точке 𝑃. Хорды 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 пересекают меньшую окружность в точках 𝐾 и 𝑀 соответственно. a) Докажите, что прямые 𝐾𝑀 и 𝐵𝐶 параллельны. б) Пусть 𝐿 – точка пересечения отрезков 𝐾𝑀 и 𝐴𝑃. Найдите длину отрезка 𝐴𝐿, если радиус большей окружности равен 34, а 𝐵𝐶 = 32.
19. В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21 %. а) Может ли в этом классе быть 5 девочек? б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка? в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?
32 тренировочный вариант ЕГЭ 2026 математика 11 класс
Загрузка...
1. Площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна 36, 𝐷𝐸 — средняя линия, параллельная стороне 𝐴𝐵. Найдите площадь трапеции 𝐴𝐵𝐸𝐷.
3. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 156. Найдите объём конуса.
4. В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей: 37 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
5. В коробке 7 синих, 3 красных и 5 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−3; 11). Найдите промежутки возрастания функции 𝑓(𝑥). В ответе укажите длину наибольшего из них.
9. Водолазный колокол, содержащий 𝜈 = 4 моля воздуха объёмом 𝑉1 = 72 л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма 𝑉2 (в л). Работа 𝐴 (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле 𝐴 = 𝛼𝜈𝑇 log2 𝑉1 𝑉2 , где 𝛼 = 14,9 Дж моль · K – постоянная, 𝑇 = 300 К – температура воздуха. Найдите, какой объём 𝑉2 будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 35 760 Дж. Ответ дайте в литрах.
10. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 15 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 58 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
11. На рисунке изображены графики функций 𝑓(𝑥) = 𝑎 √ 𝑥 и 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏, которые пересекаются в точке 𝐴. Найдите абсциссу точки 𝐴.
12. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = (𝑥 − 17) 𝑒 𝑥−16 на отрезке [15; 17].
14. В основании пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 лежит трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с большим основанием 𝐴𝐷. Диагонали трапеции пересекаются в точке 𝑂. Точки 𝑀 и 𝑁 – середины боковых сторон 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Плоскость 𝛼 проходит через точки 𝑀 и 𝑁 параллельно прямой 𝑆𝑂. a) Докажите, что сечение пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼 является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼, если 𝐴𝐷 = 7, 𝐵𝐶 = 5, 𝑆𝑂 = 4, а прямая 𝑆𝑂 перпендикулярна прямой 𝐴𝐷.
16. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 250 000 рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите 𝑟, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 150 000 рублей, а во второй год – 180 000 рублей.
17. Две окружности касаются внутренним образом в точке 𝐴, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда 𝐵𝐶 большей окружности касается меньшей в точке 𝑃. Хорды 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 пересекают меньшую окружность в точках 𝐾 и 𝑀 соответственно. a) Докажите, что прямые 𝐾𝑀 и 𝐵𝐶 параллельны. б) Пусть 𝐿 – точка пересечения отрезков 𝐾𝑀 и 𝐴𝑃. Найдите длину отрезка 𝐴𝐿, если радиус большей окружности равен 10, а 𝐵𝐶 = 16.
19. В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 46 %. а) Может ли в этом классе быть 9 девочек? б) Может ли доля девочек составить 55 %, если в этот класс придёт новая девочка? в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?
33 вариант
Загрузка...
1. Стороны параллелограмма равны 15 и 20. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 12. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
3. Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в 9 раз, а радиус основания останется прежним?
4. В сборнике билетов по географии всего 25 билетов, в 17 из них встречается вопрос по разделу «Страны Европы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по разделу «Страны Европы».
5. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,7 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.
6. Найдите корень уравнения log2 (16 + 𝑥) = log2 3.
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−2; 18). Найдите количество точек минимума функции 𝑓(𝑥), принадлежащих отрезку [0; 15].
9. К источнику с ЭДС 𝜀 = 130 В и внутренним сопротивлением 𝑟 = 1 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением 𝑅 (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле 𝑈 = 𝜀𝑅 𝑅 + 𝑟 . При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 120 В? Ответ дайте в омах.
10. Два велосипедиста одновременно отправились в 104-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 5 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображены графики функций 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 13 и 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, которые пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = 𝑥 3 − 300𝑥 + 19.
14. В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 сторона основания 𝐴𝐵 равна 6, а боковое ребро 𝑆𝐴 равно 7. На рёбрах 𝐶𝐷 и 𝑆𝐶 отмечены точки 𝑁 и 𝐾 соответственно, причём 𝐷𝑁 : 𝑁𝐶 = 𝑆𝐾 : 𝐾𝐶 = 1 : 2. Плоскость 𝛼 содержит прямую 𝐾𝑁 и параллельна прямой 𝐵𝐶. а) Докажите, что плоскость 𝛼 параллельна прямой 𝑆𝐴. б) Найдите угол между плоскостями 𝛼 и 𝑆𝐵𝐶.
16. В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1 300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2 580 тыс. рублей. Сколько рублей составит долг в июле 2030 года?
17. В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝑀 лежит на катете 𝐴𝐶, а точка 𝑁 лежит на продолжении катета 𝐵𝐶 за точку 𝐶, причём 𝐶𝑀 = 𝐵𝐶 и 𝐶𝑁 = 𝐴𝐶. а) Отрезки 𝐶𝑃 и 𝐶𝑄 – медианы треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝑁𝐶𝑀 соответственно. Докажите, что прямые 𝐶𝑃 и 𝐶𝑄 перпендикулярны. б) Прямые 𝑀𝑁 и 𝐴𝐵 пересекаются в точке 𝐾, а прямые 𝐵𝑀 и 𝐴𝑁 – в точке 𝐿. Найдите 𝐾𝐿, если 𝐵𝐶 = 1, а 𝐴𝐶 = 5.
19. В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. a) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в 2 раза? б) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1? в) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
34 вариант
Загрузка...
1. Стороны параллелограмма равны 16 и 24. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
3. Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в 13 раз, а радиус основания останется прежним?
4. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по разделу «Геометрия». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по разделу «Геометрия».
5. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,5 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.
6. Найдите корень уравнения log13 (8 + 𝑥) = log13 3.
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−19; 2). Найдите количество точек минимума функции 𝑓(𝑥), принадлежащих отрезку [−17; 1].
10. Два велосипедиста одновременно отправились в 117-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображены графики функций 𝑓(𝑥) = −7𝑥 + 19 и 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, которые пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = 𝑥 3 − 108𝑥 + 14.
13. a) Решите уравнение 2 log2 2 (sin 𝑥) − 5 log2 (sin 𝑥) − 3 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
14. В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 сторона основания 𝐴𝐵 равна 4, а боковое ребро 𝑆𝐴 равно 7. На рёбрах 𝐶𝐷 и 𝑆𝐶 отмечены точки 𝑁 и 𝐾 соответственно, причём 𝐷𝑁 : 𝑁𝐶 = 𝑆𝐾 : 𝐾𝐶 = 1 : 3. Плоскость 𝛼 содержит прямую 𝐾𝑁 и параллельна прямой 𝐵𝐶. а) Докажите, что плоскость 𝛼 параллельна прямой 𝑆𝐴. б) Найдите угол между плоскостями 𝛼 и 𝑆𝐵𝐶.
16. В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1 500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2 300 тыс. рублей. Сколько рублей составит долг в июле 2030 года?
17. В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝑀 лежит на катете 𝐴𝐶, а точка 𝑁 лежит на продолжении катета 𝐵𝐶 за точку 𝐶, причём 𝐶𝑀 = 𝐵𝐶 и 𝐶𝑁 = 𝐴𝐶. Отрезки 𝐶𝑃 и 𝐶𝑄 – биссектрисы треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝑁𝐶𝑀 соответственно. а) Докажите, что прямые 𝐶𝑃 и 𝐶𝑄 перпендикулярны. б) Найдите 𝑃 𝑄, если 𝐵𝐶 = 3, а 𝐴𝐶 = 5.
19. В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 50 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. a) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 2 раза? б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 2 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 2 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 9? в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 2 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 2 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
35 вариант
Загрузка...
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 стороны 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 равны. Внешний угол при вершине 𝐵 равен 127∘ . Найдите угол 𝐶. Ответ дайте в градусах.
3. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 9 √ 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
4. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
5. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем – 0,5. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97?
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечено девять точек: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции 𝑓(𝑥) положительна.
9. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон 𝑝𝑉 𝑘 = 6,4 · 106 Па·м 5 , где 𝑝 – давление в газе в паскалях, 𝑉 – объём газа (в м3 ), 𝑘 = 5 3 . Найдите, какой объём 𝑉 (в м3 ) будет занимать газ при давлении 𝑝, равном 2 · 105 Па.
10. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 13 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
14. На рёбрах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 треугольной пирамиды 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечены точки 𝑀 и 𝑁 соответственно, причём 𝐴𝑀 : 𝑀𝐵 = 𝐶𝑁 : 𝑁𝐵 = 1 : 2. Точки 𝑃 и 𝑄 – середины рёбер 𝐷𝐴 и 𝐷𝐶 соответственно. a) Докажите, что точки 𝑃, 𝑄, 𝑀 и 𝑁 лежат в одной плоскости. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость 𝑃 𝑄𝑀 разбивает пирамиду.
16. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Если ежегодно выплачивать по 777 600 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 1 317 600 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите 𝑟.
17. Пятиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 вписан в окружность. Диагонали 𝐴𝐷 и 𝐵𝐸 пересекаются в точке 𝑀. Известно, что 𝐵𝐶𝐷𝑀 – параллелограмм. а) Докажите, что 𝐵𝐶 = 𝐷𝐸. б) Найдите длину стороны 𝐴𝐵, если известно, что 𝐷𝐸 = 4, 𝐴𝐷 = 7, 𝐵𝐸 = 8 и 𝐴𝐵 > 𝐵𝐶.
19. На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5120. a) Может ли оказаться, что на доске написано число 230? б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 14? в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?
36 вариант
Загрузка...
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 стороны 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 равны. Внешний угол при вершине 𝐵 равен 123∘ . Найдите угол 𝐶. Ответ дайте в градусах.
3. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 7 √ 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
4. В среднем из 900 садовых насосов, поступивших в продажу, 9 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
5. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9, 𝑥10, 𝑥11, 𝑥12. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции 𝑓(𝑥) положительна.
9. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон 𝑝𝑉 𝑘 = 2,56 · 106 Па·м 4 , где 𝑝 – давление в газе в паскалях, 𝑉 – объём газа (в м3 ), 𝑘 = 4 3 . Найдите, какой объём 𝑉 (в м3 ) будет занимать газ при давлении 𝑝, равном 6,25 · 106 Па.
10. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 13 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 6 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
11. На рисунке изображены графики функций 𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑥 и 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥+𝑏, которые пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = (𝑥 + 8) 𝑒 8−𝑥 .
14. На рёбрах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 треугольной пирамиды 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечены точки 𝑀 и 𝑁 соответственно, причём 𝐴𝑀 : 𝑀𝐵 = 𝐶𝑁 : 𝑁𝐵 = 1 : 3. Точки 𝑃 и 𝑄 – середины рёбер 𝐷𝐴 и 𝐷𝐶 соответственно. a) Докажите, что точки 𝑃, 𝑄, 𝑀 и 𝑁 лежат в одной плоскости. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость 𝑃 𝑄𝑀 разбивает пирамиду.
16. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Если ежегодно выплачивать по 65 610 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 117 450 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите 𝑟.
17. Пятиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 вписан в окружность. Диагонали 𝐴𝐷 и 𝐵𝐸 пересекаются в точке 𝑀. Известно, что 𝐵𝐶𝐷𝑀 – параллелограмм. а) Докажите, что 𝐵𝐶 = 𝐷𝐸. б) Найдите длину стороны 𝐴𝐵, если известно, что 𝐷𝐸 = 9, 𝐴𝐷 = 13, 𝐵𝐸 = 15 и 𝐴𝐵 > 𝐵𝐶.
19. На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5100. a) Может ли оказаться, что на доске написано число 250? б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 11? в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?
Ответы к вариантам
profimatika-otveti-mat-08-2026Смотрите другие варианты ЕГЭ 2026 по математике
19 апреля Вариант 29-30 профиматики ЕГЭ 2026 по математике 11 класс профиль ФИПИ