Автор Всероссийская олимпиада школьников по математике 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса задания, ответы и решения школьного этапа 2023-2024 учебный год для школьников Москвы и Республики Дагестан, дата проведения олимпиады 17-20 октября 2023 года.
Задания и ответы для 4 класса
1. Установите соответствие таким образом, чтобы были выполнены все четыре равенства. Каждой из букв A, B, C, D поставьте в соответствие числа 1, 2, 3, 4. Каждое число можно использовать один раз.
2. По зову дядьки Черномора явились 33 богатыря: каждый либо пешком, либо на коне. Каждый приехавший на коне богатырь взял с собой копьё. Пешком пришли 11 богатырей, а копьё не взяли 3 богатыря. На сколько число пеших богатырей с копьём меньше, чем богатырей, приехавших на коне?
3. Полина вырезала из бумаги три фигурки, изображённые ниже. Каждая из них с одной стороны синяя, а с другой — зелёная. Выберите все прямоугольники, которые могла сложить Полина, используя эти
фигурки.
4. Алёша, Вася и Саша участвовали в школьном соревновании по бегу. До начала соревнования было сделано четыре прогноза: выиграет Вася или Алёша; если Саша займёт второе место, то Вася займёт третье место; если Саша займёт третье место, то Алёша займёт второе место; второе место займёт Вася или Саша. Оказалось, что все прогнозы сбылись. Кто какое место занял?
5. Коля выпивает 3 литра газировки за 20 минут, а Саша выпивает 4 литра газировки за 40 минут. За сколько минут Коля и Саша смогут выпить 1 литр газировки, действуя сообща?
6. В течение учебного полугодия на уроках математики учеников 4 «А» класса вызывали к доске суммарно 84 раза. Все мальчики выходили к доске одинаковое число раз, и все девочки — одинаковое число раз, но на 1 меньше, чем мальчики. Какое наименьшее количество детей могло учиться в этом классе, если известно, что мальчики выходили к доске суммарно столько же раз, сколько и девочки?
7. На длинной полоске ткани сделали две отметки. Если согнуть полоску относительно первой отметки, то расстояние между её концами составит 95 сантиметров; если согнуть полоску ткани относительно второй отметки, то расстояние между её концами составит 83 сантиметра. Определите расстояние между отметками. Ответ выразите в сантиметрах.
8. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собралась компания из 33 островитян, среди которых есть хотя бы один рыцарь и хотя бы один лжец. У каждого из них спросили, сколько всего лжецов в этой компании. 3 человека сказали: «Трое»; 5 человек сказали: «Меньше пяти»; 8 человек сказали: «Меньше восьми»; 17 человек сказали: «Меньше семнадцати». Сколько всего лжецов может быть в этой компании? Укажите все возможные варианты.
Задания и ответы для 5 класса
1. На большой ферме живут 630 кроликов. В один из дней фермер покормил их из расчёта 3 килограмма моркови на 70 кроликов, а надо было — 7 килограммов моркови на 90 кроликов. Сколько ещё моркови понадобится, чтобы правильно накормить кроликов? Ответ выразите в килограммах.
2. Лёня разрезал по линиям сетки прямоугольник 7 × 4 на семь прямоугольников площадью 6, 5, 5, 5, 4, 2, 1. Площадь каждого из первых шести прямоугольников Лёня написал в одной из его клеток, как показано на рисунке. Какой клетке соответствует прямоугольник площади 1?
3. Учитель выписал на доску несколько подряд идущих натуральных чисел, начиная с единицы. Петя заметил, что ровно 17 из них делятся на 3, а Вася заметил, что ровно 3 из них делятся на 13. Сколько чисел выписал на доску учитель?
4. У Ильи есть 16 фигурок солдатиков: лучников и мечников. Если он отдаст брату любые 3 фигурки, то мечников у него останется в любом случае больше, чем лучников. Если же он отдаст брату половину мечников, то лучников у него останется больше, чем мечников. Сколько фигурок лучников у Ильи?
5. Найдите наибольшее восьмизначное число, удовлетворяющее двум условиям: У него любые три подряд идущие цифры различны; У него произведение любых трёх подряд идущих цифр делится на 20.
6. На рисунке изображён прямоугольник, разрезанный на семь квадратов. Найдите периметр этого прямоугольника, если его площадь равна 2268.
7. У Вани есть 234 монеты и доска 7 × 7. Он разложил все монеты в клетки доски так, что в любых четырёх клетках, образующих прямоугольник 1 × 4 или 4 × 1, суммарно оказалось ровно 19 монет (в каких-то клетках могло оказаться несколько монет, а какие-то клетки могли оказаться пустыми). Сколько всего монет может находиться в четвёртом столбце? Укажите все возможные варианты.
8. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собрались на заседание 50 жителей острова, среди которых было k лжецов (k ≥ 4). Все лжецы по очереди сделали заявления: Первый лжец: «Среди нас рыцарей меньше, чем лжецов», Второй лжец: «Среди нас рыцарей столько же, сколько лжецов», Третий лжец: «Среди нас рыцарей на 1 больше, чем лжецов», Четвёртый лжец: «Среди нас рыцарей на 2 больше, чем лжецов», k-й лжец: «Среди нас рыцарей на (k – 2) больше, чем лжецов». Найдите наибольшее возможное значение k.
Задания и ответы для 6 класса
1. В ряд выложены квадраты и треугольники. Треугольника всего два — синий и красный. Оказалось, что справа от синего треугольника находятся красный треугольник и 7 квадратов, а слева от красного треугольника — 12 квадратов. Сколько квадратов между треугольниками, если всего выложено 17 фигур?
2. Футбольный матч закончился 5 : 1. Каждый гол в этом матче был устроен так: один игрок давал голевой пас своему сокоманднику, а тот забивал гол команде соперников. После каждого гола в протокол матча записывали имена двух игроков из одной команды: того, кто забил гол, и того, кто отдал голевой пас. По итогу матча в протоколе оказались записаны имена только четырёх игроков: Андрея, Бориса, Вадима и Дениса. Сколько забил голов и сколько отдал голевых передач Денис, если известно, что его сокомандник Андрей забил ровно 2 гола?
3. В большой кроличьей семье есть дети: кролики и крольчихи. У каждого кролика братьев в 2 раза больше, чем сестёр. А у каждой крольчихи сестёр на 6 меньше, чем братьев. Сколько всего детей в этой семье?
4. У мальчиков Ильи, Максима, Вовы и Лёши есть конфеты: 1, 2 или 3 у каждого. Они заявили следующее: Илья: «У Лёши не 1 конфета». Максим: «Ровно у двоих из нас по 3 конфеты». Вова: «У меня конфет больше, чем у Лёши». Лёша: «Количества конфет у Максима и Вовы отличаются не более чем на 1». Известно, что соврал только один мальчик, и он — единственный, у кого 1 конфета. У кого сколько конфет?
5. Квадрат на рисунке разбит на 11 меньших квадратов: белых и серых. Суммарная площадь серых квадратов равна 102. Чему равна суммарная площадь белых квадратов?
6. По обе стороны дороги стоят столбы так, что расстояние между первым и последним столбами с каждой стороны равно 37 км. С левой стороны стоит 117 столбов, и расстояние между соседними столбами одинаковое. С правой стороны расстояние между соседними столбами тоже одинаковое, но оно на треть больше, чем с левой. Сколько всего столбов стоит справа?
7. На рисунке изображена клетчатая доска. Будем считать, что фишка на этой доске видит другую фишку, если они расположены либо в одной вертикали, либо в одной горизонтали, причём между ними нет границ доски. Сколькими способами можно расставить 5 фишек на этой доске так, чтобы никакие две из них не видели друг друга?
8. Андрей, Боря, Вера, Галя, Денис и Елена решили сыграть в настольную игру. Они разбились на три команды, каждая из которых состоит из мальчика и девочки. Цель игры — получить как можно больше очков. К концу игры все дети суммарно набрали 151 очко, причём в каждой команде девочка набрала на 5 очков больше, чем мальчик. При этом если к числу очков Андрея прибавить число очков Гали, то получится 52, а если прибавить число очков Веры, то получится 48. Известно, что каждый из детей набрал целое число очков. Сколько очков набрала Елена?
Задания и ответы для 7 класса
1. Гоша нашёл в кабинете естествознания 3 гири и весы. После того как он всё взвесил, оказалось, что: Первая гиря в 4 раза тяжелее второй; Третья гиря в 3 раза тяжелее первой; Суммарный вес всех гирь — 340 грамм. Определите вес первой гири. Ответ выразите в граммах.
2. В 7«А» учится 26 детей, которые на всех уроках сидят по двое за партой. Однажды в этом классе провели самостоятельную работу, за которую каждый получил четвёрку или пятёрку. Все ученики заявили следующее: «Все сидящие не за одной партой со мной получили четвёрки.» Оказалось, что правду сказали только те ученики, которые получили пятёрку. Сколько всего четвёрок было выставлено за эту самостоятельную работу?
3. У сладкоежек Пети и Васи были конфеты, у каждого более 1000 конфет. Известно, что у Пети конфет было на 324 больше, чем у Васи. Каждый день они одновременно обменивались конфетами: Петя отдавал треть своих конфет Васе, а Вася отдавал треть своих конфет Пете. У кого из них через 3 дня оказалось больше конфет? Введите в ответе разницу: Количество конфет у Васи — количество конфет у Пети. Если вы считаете, что у мальчиков осталось поровну конфет, в ответ запишите 0.
4. В 10 кружков на картинке расставили целые числа от 1 до 10, каждое по разу. Между некоторыми парами из них нарисовали стрелку или отрезок, руководствуясь следующими правилами: Если одно число делится на другое, то от большего числа нарисовали стрелку к меньшему; Если ни одно число не делится на другое, то между ними нарисовали отрезок. Затем все исходные числа стёрли. Восстановите, где какое число стояло. В ответ запишите в произвольном порядке 5 чисел, которые стояли в пяти серых кружках.
5. По кругу стоят 36 натуральных чисел (не обязательно различных). Известно, что в каждой тройке подряд идущих чисел есть число, большее суммы двух других. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех 36 чисел?
6. На рисунке изображены прямоугольники с одинаковыми периметрами: синие и красные, причём одноцветные прямоугольники равны друг другу. Два отмеченных отрезка равны 8 и 4 соответственно. Найдите длину отрезка, обозначенного знаком «?».
7. На доске в строчку выписаны семь красных целых чисел, среднее арифметическое которых равно 18. Паша собирается записать под каждым красным числом синее целое число, отличающееся от него не более чем на 3 (возможно, равное красному). Сколько различных значений (не обязательно целых) может принимать среднее арифметическое семи синих чисел?
8. У Коли есть 100 монет и доска m × n, где m ≥ n и m > 1. Он разложил все монеты в клетки доски так, что в любых двух соседних по стороне клетках суммарно оказалось ровно 10 монет (в каких-то клетках могло оказаться несколько монет, а какие-то клетки могли оказаться пустыми). Какие значения может принимать m? Укажите все возможные варианты.
Задания и ответы для 8 класса
1. В понедельник у Семёна был день рождения, ему подарили некоторое количество рублей. Он решил не тратить все деньги сразу. Со вторника по субботу он тратил каждый день по 20 % от текущей суммы. Сколько рублей он потратил в четверг, если в пятницу его траты составили 384 рубля?
2. На стороне AB прямоугольника ABCD выбрана точка P, а на стороне CD — точка Q. Известно, что BCP = 17°, AQP = 37°, QAD = 16°. Сколько градусов составляет CPQ?
3. Учитель написал на доске четыре различных целых числа. Отличник Паша перемножил какие-то три из них и получил 37, а отличник Ваня перемножил какие-то три из них и получил 74. Какое наименьшее значение может принимать сумма четырёх чисел на доске?
4. В 10 кружков на картинке расставили целые числа от 0 до 9, каждое по разу. Между некоторыми парами из них нарисовали стрелку или отрезок, руководствуясь следующими правилами: Если числа отличаются хотя бы на 2, то от меньшего числа нарисовали стрелку к большему; Если числа отличаются на 1, то между ними нарисовали отрезок. Затем все исходные числа стёрли. Восстановите, где какое число стояло. В ответ запишите в произвольном порядке 5 чисел, которые стояли в пяти серых кружках.
5. В течение нескольких дней Дима ходил в кафе и каждый раз выбирал там себе комбо-обед. При заказе комбо-обеда нужно выбрать один из нескольких супов, один из нескольких салатов и одно из 13 горячих блюд. За все дни каждый из возможных комбо-обедов Дима либо заказывал 1 раз, либо не заказывал вовсе. <br>Известно, что один вид горячего он заказывал ровно 1 раз, второй вид — ровно 2 раза, …, тринадцатый вид — ровно 13 раз, а каждую возможную комбинацию «суп +салат» он попробовал ровно 1 раз. Известно, что салатов больше, чем супов. Сколько супов предлагается на выбор при заказе комбо-обеда? Сколько салатов предлагается на выбор при заказе комбо-обеда?
6. В большой квадратный зал купили два ковра: прямоугольный и квадратный. Квадратный ковёр положили в угол комнаты, а прямоугольный попробовали положить несколькими способами, как показано на рисунке. Площадь комнаты, накрытая коврами в два слоя, в первых трёх случаях составляла 9 м2 , 15 м2 и 36 м2 соответственно. Чему равна площадь комнаты, накрытая коврами в два слоя, в четвёртом случае? Ответ выразите в квадратных метрах.
7. На острове живут лжецы, которые всегда лгут, и хитрецы, которые могут говорить что угодно. Однажды 30 жителей острова собрались на заседание. Все они по очереди сделали заявления: 1-й человек: «Среди нас менее 1 хитреца»; 2-й человек: «Среди нас менее 2 хитрецов»; 15-й человек: «Среди нас менее 15 хитрецов»; 16-й человек: «Среди нас более 1 хитреца»; 17-й человек: «Среди нас более 2 хитрецов»; 30-й человек: «Среди нас более 15 хитрецов». Какое наибольшее количество лжецов могло быть на этом заседании?
8. За год каждый из восьмиклассников гимназии № 1 получил по алгебре либо 8, либо 10 оценок (все оценки — от 2 до 5). Известно, что у любых двух восьмиклассников средние баллы по алгебре за год различны. Какое наибольшее количество восьмиклассников может быть в этой гимназии? Средний балл — это сумма всех оценок ученика, делённая на их количество.
Задания и ответы для 9 класса
1. Мотоциклист Вася запланировал поездку из пункта А в пункт Б с постоянной скоростью. Первую половину пути он проехал со скоростью v1 — на 15 % меньшей, чем хотел. Затем он увеличил скорость до v2 и приехал в пункт Б точно в тот момент, в какой и планировал. Найдите v2/v1.
2. В пиццерии в каждую пиццу обязательно кладут помидоры и моцареллу. При заказе пиццы надо выбрать одну или несколько начинок: ветчину, грибы, салями или курицу. Также надо выбрать размер пиццы — 25, 30, 35 или 40 сантиметров. Сколько вариантов пиццы можно заказать в пиццерии? Пиццы считаются разными, если они имеют разные размеры или различаются хотя бы одним видом начинки.
3. Рассмотрим 450 чисел, состоящих из одних девяток: 9, 99, 999, …, 450 999…9. Сколько единиц в десятичной записи суммы этих 450 чисел?
4. Петя задумал составное натуральное число N, меньшее 1000.Он выписал на доску все натуральные делители N, не равные 1. Оказалось, что два наименьших числа на доске различаются на 39. Чему может быть равно N? Укажите все возможные варианты.
5. В выпуклом n-угольнике каждый угол составляет целое число градусов. Известно, что два угла этого n-угольника равны 63° и 97°. Какое наибольшее значение может принимать n?
6. Действительное число a таково, что уравнение ax2 + (a + 10)x − 10 − 2a = 0 имеет два действительных корня, отличающихся в 3 раза. Чему может быть равно a? Укажите все возможные варианты.
7. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω. Точка M — середина дуги AD окружности Ω, не содержащей точек B и C. Отрезки BM и CM пересекают отрезок AD в точках P и Q соответственно. Известно, что AP : PQ : QD = 1 : 3 : 2. Вычислите значение выражения: . AC BD AB CD
8. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собралось несколько жителей острова, и каждый из них произнёс по одной фразе: Один сказал: «Среди нас не более 9 рыцарей». Двое сказали: «Среди нас не более 8 рыцарей». Трое сказали: «Среди нас не более 7 рыцарей». Девять человек сказали: «Среди нас не более 1 рыцаря». А все остальные сказали: «Среди нас не более 10 рыцарей». Сколько человек могло сказать последнюю фразу? Укажите все возможные варианты.
Задания и ответы для 10 класса
1. Действительные числа a, b, c, d таковы, что |a − b| = |b − c| = |c − d| = 5. Чему может быть равно значение выражения |a − d|? Укажите все возможные варианты.
2. В окружность вписана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Известно, что BAC = 28° < и ACD = 74°. Сколько градусов составляет ABC?
3. На окружности красным цветом записали четыре различных натуральных числа. На дуге между каждыми двумя соседними красными числами записали синим цветом их произведение. Известно, что сумма всех четырёх синих чисел равна 1133. Найдите сумму всех красных чисел.
4. Школьники Анна, Богдан, Вероника, Герман и Диана собирали грибы. Известно следующее: Всего было собрано 30 грибов; Мальчики собрали грибов суммарно столько же, сколько и девочки; Богдан собрал грибов больше, чем любые два других школьника вместе взятые; Анна собрала грибов столько же, сколько Герман и Диана вместе взятые; Кто-то собрал ровно 8 грибов. Кто сколько грибов собрал?
5. Петя записал на доску два целых числа. Каждую минуту Вася записывал на доску новое число, равное сумме двух каких-то чисел на доске. Спустя пять минут на доске оказались числа 21, 15, 12, 9, 6, 3,−3. Выберите все числа, которые гарантированно были записаны Васей.
6. График функции y = ax2 + bx + c пересекает график функции y = |x − 3| в трёх точках, как изображено на рисунке. Оказалось, что абсцисса самой правой точки пересечения равна 14. Найдите a.
7. Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что ABD = CBD = 47°. Точка K такова, что точка D является серединой отрезка AK. Оказалось, что BC = AB + CK. Сколько градусов составляет BCK?
8. В клетках таблицы 11 × 11 расставили числа от 1 до 121, каждое по разу. В каждой строке все числа идут по возрастанию слева направо, и в каждом столбце все числа идут по возрастанию сверху вниз. Назовём число особым, если оно отличается от каждого своего соседа хотя бы на 2. Какое наибольшее количество особых чисел может быть? Числа являются соседями, если они стоят в соседних по стороне клетках.
Задания и ответы для 11 класса
1. Девять действительных a1, a2, …, a9 образуют арифметическую прогрессию. Известно, что a9 в 3 раза больше среднего арифметического этих девяти чисел. Найдите a1, если известно, что a4 = 6.
2. В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, находилась вода, причём её уровень составлял 30 сантиметров. Всю эту воду перелили в пустой сосуд, имеющий форму правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой вдвое меньше стороны основания треугольной призмы. Чему равен уровень воды теперь? Ответ выразите в сантиметрах.
3. Андрей, Борис и Влад зашли в магазин. Андрей купил 1 мороженое, 2 булочки и 3 шоколадки и заплатил за это 235 рублей. Борис купил 3 порции мороженого, 2 булочки и 1 шоколадку и заплатил за это 205 рублей. Сколько рублей должен будет заплатить Влад, если он купит 6 порций мороженого, 5 булочек и 4 шоколадки?
4. Каждая клетка таблицы 11 × 11 покрашена в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный. Известно, что одноцветные клетки не граничат по стороне, а также что красные и синие клетки не граничат по стороне. Сколько зелёных клеток может быть в таблице? Укажите все возможные варианты.
5. Найдите наибольшее натуральное число, которое в 9 раз больше своего остатка от деления на 1024.
6. Даны окружность ω радиуса 6 и точка C, лежащая вне её. Из точки C провели касательную, касающуюся ω в точке D, и секущую, пересекающую ω в точках A и B. Оказалось, что CD = 8 и AC = 4. Найдите площадь треугольника BCD.
7. В стране 15 городов. Между каждыми двумя из них либо есть дорога, либо её нет. Оказалось, что для любого города A найдутся такие три города, что они между собой попарно не соединены дорогами, но каждый из них соединён дорогой с A. Какое наибольшее количество дорог может быть в этой стране?
8. Три приведённых квадратных трёхчлена имеют одинаковые дискриминанты, большие 0. Все корни этих трёхчленов упорядочили по возрастанию, и получилось 6 различных целых чисел: x1 < x2 < x3 < x4 < x5 < x6. Известно, что x1 = 1, x2 = 11, x3 = 12, x6 = 23. Найдите x4 и x5.