Автор Все 8 задания задачи с прикладным содержанием из сборника Ященко И.В ЕГЭ 2023 математика 11 класс профильный уровень с ответами и решением производная и первообразная, 36 тренировочных вариантов заданий. Видео решение задания опубликовано в файле.
Задание 8 ЕГЭ математика профильный уровень 2023
zadanie_8_ege2023_profil_matЗадания и ответы
1. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон 𝑝𝑉 𝑘 = 1,3122 · 107 Па · м 4 , где 𝑝 – давление газа (в Па), 𝑉 — объём газа (в м3 ), 𝑘 = 4 3 . Найдите, какой объём 𝑉 (в м3 ) будет занимать газ при давлении 𝑝, равном 1,25 · 106 Па.
Ответ: 5, 832
2. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон 𝑝𝑉 𝑘 = 81 · 104 Па · м 4 , где 𝑝 – давление газа (в Па), 𝑉 – объём газа (в м3 ), 𝑘 = 4 3 . Найдите, какой объём 𝑉 (в м3 ) будет занимать газ при давлении 𝑝, равном 6,25 · 105 Па.
Ответ: 0, 216
3. Наблюдатель находится на высоте ℎ, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле 𝑙 = √︂ 𝑅ℎ 500 , где 𝑅 = 6400 км – радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 25,6 километра? Ответ дайте в метрах.
Ответ: 51,2
4. Наблюдатель находится на высоте ℎ, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле 𝑙 = √︂ 𝑅ℎ 500 , где 𝑅 = 6400 км – радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 60 километров? Ответ дайте в метрах.
Ответ: 281,25
5. Двигаясь со скоростью 𝑣 = 4 м/с, трактор тащит сани с силой 𝐹 = 90 кН, направленной под острым углом 𝛼 к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле 𝑁 = 𝐹 𝑣 cos 𝛼. Найдите, при каком угле 𝛼 (в градусах) эта мощность будет равна 180 кВт (︂ кВт – это кН · м с )︂ .
Ответ: 60
6. Мяч бросили под острым углом 𝛼 к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле 𝑡 = 2𝑣0 sin 𝛼 𝑔 . При каком значении угла 𝛼 (в градусах) время полёта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью 𝑣0 = 30 м/с. Считайте, что ускорение свободного падения 𝑔 = 10 м/с2 .
Ответ: 30
7. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону ℎ(𝑡) = 1,4 + 11𝑡 − 5𝑡 2 , где ℎ – высота в метрах, 𝑡 – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 7 метров?
Ответ: 0,6
8. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону ℎ(𝑡) = 1 + 11𝑡 − 5𝑡 2 , где ℎ – высота в метрах, 𝑡 – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?
Ответ: 1,8
9. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 744 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле 𝑣 = 𝑐 · 𝑓 − 𝑓0 𝑓 + 𝑓0 , где 𝑐 = 1500 м/с — скорость звука в воде, 𝑓0 — частота испускаемых импульсов, 𝑓 – частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 12 м/с.
Ответ: 756
10. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 217 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле 𝑣 = 𝑐 · 𝑓 − 𝑓0 𝑓 + 𝑓0 , где 𝑐 = 1500 м/с — скорость звука в воде, 𝑓0 — частота испускаемых импульсов, 𝑓 – частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 12 м/с.
Ответ: 220,5
11. При температуре 0 ∘𝐶 рельс имеет длину 𝑙0 = 10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону 𝑙(𝑡 ∘ ) = 𝑙0(1 +𝛼·𝑡 ∘ ), где 𝛼 = 1,2 · 10−5 ( ∘𝐶) −1 – коэффициент теплового расширения, 𝑡 ∘ – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.
Ответ: 50
12. При температуре 0 ∘𝐶 рельс имеет длину 𝑙0 = 15 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону 𝑙(𝑡 ∘ ) = 𝑙0(1 +𝛼·𝑡 ∘ ), где 𝛼 = 1,2 · 10−5 ( ∘𝐶) −1 – коэффициент теплового расширения, 𝑡 ∘ – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7,2 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.
Ответ: 40
13. Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне 𝑇п = 20 ∘𝐶, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора вода 𝑚 = 0,5 кг/с. Проходя по трубе расстояние 𝑥, вода охлаждается от начальной температуры 𝑇в = 72 ∘𝐶 до температуры 𝑇, причем 𝑥 = 𝛼 𝑐𝑚 𝛾 log2 𝑇в − 𝑇п 𝑇 − 𝑇п , где 𝑐 = 4200 Вт · с кг · ∘𝐶 – теплоемкость воды, 𝛾 = 63 Вт м · ∘𝐶 – коэффициент теплообмена, а 𝛼 = 1,5 – постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 100 м.
Ответ: 33
14. Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне 𝑇п = 15 ∘𝐶, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора вода 𝑚 = 0,5 кг/с. Проходя по трубе расстояние 𝑥, вода охлаждается от начальной температуры 𝑇в = 79 ∘𝐶 до температуры 𝑇, причем 𝑥 = 𝛼 𝑐𝑚 𝛾 log2 𝑇в − 𝑇п 𝑇 − 𝑇п , где 𝑐 = 4200 Вт · с кг · ∘𝐶 – теплоемкость воды, 𝛾 = 63 Вт м · ∘𝐶 – коэффициент теплообмена, а 𝛼 = 1,3 – постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 130 м.
Ответ: 23
15. Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость 𝑣 меняется по закону 𝑣 = 𝑣0 cos 2𝜋𝑡 𝑇 , где 𝑡 – время с момента начала колебаний, 𝑇 = 2 с — период колебаний, 𝑣0 = 1,6 м/с. Кинетическая энергия 𝐸 (в джоулях) груза вычисляется по формуле 𝐸 = 𝑚𝑣2 2 , где 𝑚 – масса груза в килограммах, 𝑣 – скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 56 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Ответ: 0, 32
16. Груз массой 0,58 кг колеблется на пружине. Его скорость 𝑣 меняется по закону 𝑣 = 𝑣0 cos 2𝜋𝑡 𝑇 , где 𝑡 – время с момента начала колебаний, 𝑇 = 2 с — период колебаний, 𝑣0 = 2 м/с. Кинетическая энергия 𝐸 (в джоулях) груза вычисляется по формуле 𝐸 = 𝑚𝑣2 2 , где 𝑚 – масса груза в килограммах, 𝑣 – скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 50 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Ответ: 1,16
17. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте ℎ м над землeй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле 𝑙 = √︂ 𝑅ℎ 500 , где 𝑅 = 6400 км – радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 24 километров. К пляжу ведeт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 32 километров?
Ответ: 175
18. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте ℎ м над землeй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле 𝑙 = √︂ 𝑅ℎ 500 , где 𝑅 = 6400 км – радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4 километров. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 24 км?
Ответ: 43,75
19. Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле 𝐴(𝜔) = 𝐴0𝜔 2 𝑝 |𝜔2 𝑝 − 𝜔2 | , где 𝜔 – частота вынуждающей силы (в с−1 ), 𝐴0 – постоянный параметр, 𝜔𝑝 = 354 с −1 – резонансная частота. Найдите максимальную частоту 𝜔, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину 𝐴0 не более чем на 12,5%. Ответ дайте в с−1 .
Ответ: 115
20. Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле 𝐴(𝜔) = 𝐴0𝜔 2 𝑝 |𝜔2 𝑝 − 𝜔2 | , где 𝜔 – частота вынуждающей силы (в с−1 ), 𝐴0 – постоянный параметр, 𝜔𝑝 = 330 с −1 – резонансная частота. Найдите максимальную частоту 𝜔, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину 𝐴0 не более чем на 80%. Ответ дайте в с−1 .
Ответ: 220
21. Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением 𝑎 км/ч2 . Скорость вычисляется по формуле 𝑣 = √ 2𝑙𝑎, где 𝑙 — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,8 км, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч2 .
22. Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением 𝑎 = 6500 км/ч2 . Скорость вычисляется по формуле 𝑣 = √ 2𝑙𝑎, где 𝑙 – пройденный автомобилем путь. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 130 км/ч.
23. Небольшой мячик бросают под острым углом 𝛼 к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой 𝐻 = 𝑣 2 0 4𝑔 (1 − cos 2𝛼), где 𝑣0 = 12 м/с — начальная скорость мячика, а 𝑔 — ускорение свободного падения (считайте 𝑔 = 10 м/с2 ). При каком наименьшем значении угла 𝛼 мячик пролетит над стеной высотой 4,4 м на расстоянии 1 м? Ответ дайте в градусах.
24. Мяч бросили под острым углом 𝛼 к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле 𝑡 = 2𝑣0 sin 𝛼 𝑔 . При каком значении угла 𝛼 (в градусах) время полёта составит 1,4 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью 𝑣0 = 14 м/с2 . Считайте, что ускорение свободного падения 𝑔 = 10 м/с2 .
25. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением 𝑝1𝑉 1,4 1 = 𝑝2𝑉 1,4 2 , где 𝑝1 и 𝑝2 – давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, 𝑉1 и 𝑉2 – объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 192 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.
26. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием 𝑓 = 60 см. Расстояние 𝑑1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 95 до 115 см, а расстояние 𝑑2 от линзы до экрана – в пределах от 140 до 160 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение 1 𝑑1 + 1 𝑑2 = 1 𝑓 . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.
27. Независимое агентство намерено ввести рейтинг 𝑅 новостных изданий на основе показателей информативности 𝐼𝑛, оперативности 𝑂𝑝 и объективности 𝑇 𝑟 публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от −1 до 1. Составители рейтинга считают, что информативность публикаций ценится вчетверо, а объективность – вдвое дороже, чем оперативность, то есть 𝑅 = 4𝐼𝑛 + 𝑂𝑝 + 2𝑇 𝑟 𝐴 . Найдите, каким должно быть число 𝐴, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило рейтинг 1.
28. Независимое агентство намерено ввести рейтинг 𝑅 новостных изданий на основе показателей информативности 𝐼𝑛, оперативности 𝑂𝑝 и объективности 𝑇 𝑟 публикаций, а также качества 𝑄 сайта. Каждый отдельный показатель – целое число от 0 до 4. Составители рейтинга считают, что информативность публикаций ценится вдвое, а объективность — втрое дороже, чем оперативность и качество сайта, то есть 𝑅 = 2𝐼𝑛 + 𝑂𝑝 + 3𝑇 𝑟 + 𝑄 𝐴 . Найдите, каким должно быть число 𝐴, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило рейтинг 1.
29. Водолазный колокол, содержащий 𝑣 = 5 моль воздуха объёмом 𝑉1 = 26 л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма 𝑉2 (в л). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле 𝐴 = 𝛼𝜈𝑇 log2 𝑉1 𝑉2 , где 𝛼 = 8,5 Дж моль · K – постоянная, Т = 300К – температура воздуха. Найдите, какой объём 𝑉2 будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 25500 Дж. Ответ дайте в литрах.
30. Водолазный колокол, содержащий 𝑣 = 2 моль воздуха объёмом 𝑝1 = 2,4 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления 𝑝2 в атмосферах . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле 𝐴 = 𝛼𝜈𝑇 log2 𝑝2 𝑝1 , где 𝛼 = 13,5 Дж моль · K – постоянная, Т = 300К – температура воздуха. Найдите, какое давление 𝑝2 будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 16200 Дж. Ответ дайте в атмосферах.
31. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону 𝜑 = 𝑤𝑡 + 𝛽𝑡2 2 , где 𝑡 — время в минутах, 𝑤 = 60∘/мин – начальная угловая скорость вращения катушки, а 𝛽 = 6∘/мин2 – угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки 𝜑 достигнет 3375∘ . Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.
32. В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора С = 5 · 10−6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением 𝑅 = 6 · 106 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе 𝑈0 = 34 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения 𝑈 (кВ) за время, определяемое выражением 𝑡 = 𝛼𝑅𝐶 log2 𝑈0 𝑈 (c), где 𝛼 = 1,7 – постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошла 51 с. Ответ дайте в киловольтах.
33. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой 𝑓0 = 292 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка 𝑓 больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону 𝑓(𝑣) = 𝑓0 1 − 𝑣 𝑐 (Гц), где 𝑐 – скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а 𝑐 = 300 м/с. Ответ выразите в м/с.
34. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала 𝑓0 = 130 Гц и определяется следующим выражением: 𝑓 = 𝑓0 𝑐 + 𝜈 𝑐 − 𝑣 (Гц), где 𝑐 – скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а 𝑢𝜈 = 15 м/с и 𝑣 = 9 м/с — скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике 𝑓 будет не менее 135 Гц?
35. Рейтинг 𝑅 интернет-магазина вычисляется по формуле 𝑅 = 𝑟пок − 𝑟пок − 𝑟экс (𝐾 + 1)𝑚 , где 𝑚 = 0,02𝐾 𝑟пок + 0,1 , 𝑟пок — средняя оценка магазина покупателями, 𝑟экс — оценка магазина, данная экспертами, 𝐾 — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 15, их средняя оценка равна 0,3, а оценка экспертов равна 0,38.
36. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон 𝑝𝑉 𝑘 = 7,776 · 106 Па · м 4 , где 𝑝 — давление в газе в паскалях, 𝑉 — объем газа в кубических метрах, 𝑘 = 4 3 . Найдите, какой объем 𝑉 (в куб. м) будет занимать газ при давлении 𝑝, равном 3,75 · 106 Па.