Автор Все 36 вариантов задания 15 ОГЭ-2027 из тренировочных вариантов Ященко: медианы, подобие, площадь, синус и косинус в треугольнике. Условия, решения, ответы.
Тренажёр ОГЭ 2027 по математике 9 класс задание 15
zadanie-15-mat-9-klass-oge-2027Задание 15 открывает геометрическую часть ОГЭ, и вся она посвящена треугольнику. Задачи короткие, в одну-две строки, но каждая проверяет конкретный факт: как делятся медианы, чему равна средняя линия, как относятся площади подобных треугольников, где у угла противолежащий катет. Знаете факт, и задача решается за минуту. Не знаете, и никакие вычисления не помогут.
Ниже разобраны все 36 вариантов задания 15 из тренировочных вариантов Ященко к ОГЭ 2027. Задачи сгруппированы по темам: перед каждой группой коротко напомнено правило, которое в ней работает, а затем идут условия, решения и ответы. Сводная таблица ответов в порядке вариантов находится в конце статьи.
Чтобы найти свою задачу, нажмите Ctrl+F и введите номер варианта или кусок условия, например «AN = 30» или «12√6».
Разбор предыдущего задания, про прогрессии, лежит отдельно: задание 14 ОГЭ 2027 с решениями.
Какие темы встречаются в 36 вариантах
| Тема | Варианты |
|---|---|
| Медианы треугольника | 1, 2, 13, 14 |
| Синус, косинус и тангенс острого угла | 3, 4, 5, 6, 27, 28, 35, 36 |
| Подобные треугольники | 7, 8, 33, 34 |
| Прямоугольный треугольник: высота, медиана, теорема Пифагора | 9, 10, 15, 16, 23, 24 |
| Площадь треугольника | 11, 12, 17, 18, 21, 22 |
| Теорема синусов и теорема косинусов | 19, 20 |
| Углы треугольника | 25, 26 |
| Средняя линия треугольника | 29, 30 |
| Равносторонний треугольник | 31, 32 |
Больше всего задач на тригонометрию в прямоугольном треугольнике: восемь вариантов из 36. С неё и стоит начинать подготовку, если времени мало.
Медианы треугольника: варианты 1, 2, 13, 14
Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. Длинная часть всегда у вершины, короткая у стороны.
Вариант 1. Медианы AN = 30 и CM = 36 пересекаются в точке O, найдите OM
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 30, CM = 36. Найдите OM.
Решение. M и N — середины сторон, значит, AN и CM медианы, а O — точка их пересечения. Отрезок OM прилегает к стороне AB, это короткая часть медианы CM, одна треть её длины: 36 : 3 = 12.
Длина AN = 30 для ответа не нужна. Такие лишние данные в задании 15 встречаются постоянно, пугаться их не стоит.
Ответ: 12.
Вариант 2. Медианы AN = 42 и CM = 48 пересекаются в точке O, найдите OC
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 42, CM = 48. Найдите OC.
Решение. Теперь спрашивают отрезок от вершины C до точки пересечения, это длинная часть медианы, две трети: 48 · 2/3 = 32.
Ответ: 32.
Вариант 13. AC = 24, BM = 10, BM — медиана, найдите AM
В треугольнике ABC известно, что AC = 24, BM = 10, BM — медиана. Найдите AM.
Решение. Медиана BM проведена к стороне AC, значит, M её середина. AM = 24 : 2 = 12. Длина самой медианы здесь ни при чём.
Ответ: 12.
Вариант 14. AC = 28, BM = 18, BM — медиана, найдите AM
В треугольнике ABC известно, что AC = 28, BM = 18, BM — медиана. Найдите AM.
Решение. AM = 28 : 2 = 14.
Ответ: 14.
Синус, косинус и тангенс: варианты 3, 4, 5, 6, 27, 28, 35, 36
В прямоугольном треугольнике для острого угла:
- синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе;
- косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе;
- тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Синус и косинус одного угла связаны основным тригонометрическим тождеством: sin²A + cos²A = 1.
Почти все ошибки в этой теме из-за того, что катеты путают местами. Поэтому, прежде чем делить, найдите на чертеже угол и посмотрите, какой катет лежит напротив него.
Вариант 3. Синус острого угла A равен √15/8 (корень из 15 на 8), найдите cos A
Синус острого угла A треугольника ABC равен √15/8. Найдите cos A.
Решение. По основному тригонометрическому тождеству cos²A = 1 − sin²A = 1 − 15/64 = 49/64. Угол острый, поэтому косинус положительный: cos A = 7/8 = 0,875.
Слово «острого» в условии стоит не случайно: у тупого угла косинус отрицательный, и ответ был бы −0,875.
Ответ: 0,875.
Вариант 4. Косинус острого угла A равен 0,96, найдите sin A
Косинус острого угла A треугольника ABC равен 0,96. Найдите sin A.
Решение. sin²A = 1 − 0,96² = 1 − 0,9216 = 0,0784, sin A = 0,28.
Без возведения в квадрат десятичной дроби можно обойтись: 0,96 = 24/25, а числа 7, 24, 25 образуют пифагорову тройку. Значит, sin A = 7/25 = 0,28.
Ответ: 0,28.
Вариант 5. Угол C равен 90°, BC = 10, AC = 4, найдите tg A
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 10, AC = 4. Найдите tg A.
Решение. Напротив угла A лежит катет BC, рядом с ним катет AC. tg A = BC / AC = 10 / 4 = 2,5.
Ответ: 2,5.
Вариант 6. Угол C равен 90°, BC = 5, AC = 8, найдите tg A
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 5, AC = 8. Найдите tg A.
Решение. tg A = BC / AC = 5 / 8 = 0,625.
Ответ: 0,625.
Вариант 27. Угол C равен 90°, AC = 9, AB = 30, найдите sin B
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 9, AB = 30. Найдите sin B.
Решение. Чертёж тот же, что к варианту 5, только угол теперь B. Напротив него лежит катет AC, гипотенуза AB. sin B = 9 / 30 = 0,3.
Кто по привычке возьмёт катет BC, будет искать его по теореме Пифагора и получит совсем другой ответ.
Ответ: 0,3.
Вариант 28. Угол C равен 90°, tg B = 8/5, BC = 20, найдите AC
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 8/5, BC = 20. Найдите AC.
Решение. Для угла B противолежащий катет AC, прилежащий BC. tg B = AC / BC, откуда AC = BC · tg B = 20 · 8/5 = 32.
Ответ: 32.
Вариант 35. Угол C равен 90°, BC = 14, AB = 20, найдите cos B
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 14, AB = 20. Найдите cos B.
Решение. Катет BC выходит из вершины B, он прилежащий. cos B = BC / AB = 14 / 20 = 0,7.
Ответ: 0,7.
Вариант 36. Угол C равен 90°, sin B = 3/14, AB = 56, найдите AC
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 3/14, AB = 56. Найдите AC.
Решение. sin B = AC / AB, поэтому AC = AB · sin B = 56 · 3/14 = 12.
Ответ: 12.
Подобные треугольники: варианты 7, 8, 33, 34
Если прямая параллельна стороне AC и пересекает две другие стороны в точках M и N, то она отсекает треугольник MBN, подобный треугольнику ABC. Угол B у них общий, а остальные углы равны как соответственные. Коэффициент подобия равен отношению параллельных сторон: k = AC / MN.
Стороны подобных треугольников относятся как k, а площади как k². На этом k² чаще всего и теряют балл.
Вариант 7. MN ∥ AC, AC = 32, MN = 15, площадь MBN равна 45, найдите площадь ABC
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC = 32, MN = 15. Площадь треугольника MBN равна 45. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение. Треугольники ABC и MBN подобны с коэффициентом k = 32/15. Площадь большого треугольника в k² раз больше:
S(ABC) = 45 · (32/15)² = 45 · 1024/225 = 1024/5 = 204,8.
Ответ: 204,8.
Вариант 8. MN ∥ AC, AC = 42, MN = 20, площадь MBN равна 120, найдите площадь ABC
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC = 42, MN = 20. Площадь треугольника MBN равна 120. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение. k = 42/20 = 2,1, k² = 4,41. S(ABC) = 120 · 4,41 = 529,2.
Ответ: 529,2.
Вариант 33. MN ∥ AC, AB = 42, AC = 45, MN = 24, найдите AM
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB = 42, AC = 45, MN = 24. Найдите AM.
Решение. Из подобия BM / AB = MN / AC = 24/45 = 8/15. Значит, BM = 42 · 8/15 = 22,4. Но спрашивают не BM, а AM, то есть оставшийся кусок стороны: AM = 42 − 22,4 = 19,6.
Ответ: 19,6.
Вариант 34. MN ∥ AC, AB = 25, AC = 30, MN = 12, найдите AM
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB = 25, AC = 30, MN = 12. Найдите AM.
Решение. BM / 25 = 12 / 30, BM = 10. AM = 25 − 10 = 15.
Ответ: 15.
Прямоугольный треугольник: варианты 9, 10, 15, 16, 23, 24
Здесь работают три факта. Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, равна среднему геометрическому отрезков гипотенузы: CH² = AH · BH. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. И теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Вариант 9. Высота CH на гипотенузу AB, AH = 3,2, BH = 5, найдите CH
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH = 3,2, BH = 5. Найдите CH.
Решение. CH² = AH · BH = 3,2 · 5 = 16, CH = 4.
Формула следует из подобия треугольников ACH и CBH, и, если она забылась, её можно вывести прямо на экзамене: AH / CH = CH / BH.
Ответ: 4.
Вариант 10. Высота CH на гипотенузу AB, AH = 4,5, BH = 8, найдите CH
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH = 4,5, BH = 8. Найдите CH.
Решение. CH² = 4,5 · 8 = 36, CH = 6.
Ответ: 6.
Вариант 15. Угол C равен 90°, M — середина AB, AB = 26, AC = 24, найдите CM
В треугольнике ABC угол C равен 90°, M — середина стороны AB, AB = 26, AC = 24. Найдите CM.
Решение. AB — гипотенуза, CM — медиана к ней. Медиана к гипотенузе равна её половине: CM = 26 : 2 = 13.
Объясняется это просто: середина гипотенузы — центр описанной окружности, поэтому до всех трёх вершин от неё одно и то же расстояние. Катет AC = 24 здесь лишний.
Ответ: 13.
Вариант 16. Угол C равен 90°, M — середина AB, AB = 50, AC = 30, найдите CM
В треугольнике ABC угол C равен 90°, M — середина стороны AB, AB = 50, AC = 30. Найдите CM.
Решение. CM = AB : 2 = 25.
Ответ: 25.
Вариант 23. Угол A равен 90°, AB = 20, AC = 21, найдите BC
В прямоугольном треугольнике ABC угол A равен 90°, AB = 20, AC = 21. Найдите BC.
Решение. Прямой угол здесь при вершине A, а не C, так что гипотенуза BC, а AB и AC катеты. BC² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841, BC = 29.
Ответ: 29.
Вариант 24. Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24, найдите гипотенузу
Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение. Гипотенуза равна √(10² + 24²) = √(100 + 576) = √676 = 26. Если помнить тройку 5, 12, 13, считать не нужно: здесь она просто умножена на 2.
Ответ: 26.
Площадь треугольника: варианты 11, 12, 17, 18, 21, 22
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне: S = ½ · a · h. У прямоугольного треугольника один катет служит высотой к другому, поэтому площадь равна половине произведения катетов.
Вариант 11. Сторона треугольника 17, высота к ней 14, найдите площадь
Сторона треугольника равна 17, а высота, проведённая к этой стороне, равна 14. Найдите площадь этого треугольника.
Решение. S = ½ · 17 · 14 = 119.
Ответ: 119.
Вариант 12. Сторона треугольника 15, высота к ней 22, найдите площадь
Сторона треугольника равна 15, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь этого треугольника.
Решение. S = ½ · 15 · 22 = 165.
Ответ: 165.
Вариант 17. AD = 6, DC = 19, площадь ABC равна 150, найдите площадь BCD
На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 6, DC = 19. Площадь треугольника ABC равна 150. Найдите площадь треугольника BCD.
Решение. У треугольников ABD, BCD и ABC общая высота из вершины B. Значит, их площади относятся так же, как основания. AC = 6 + 19 = 25, и на долю BCD приходится 19 частей из 25:
S(BCD) = 150 · 19/25 = 114.
Ответ: 114.
Вариант 18. AD = 8, DC = 28, площадь ABC равна 450, найдите площадь ABD
На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 8, DC = 28. Площадь треугольника ABC равна 450. Найдите площадь треугольника ABD.
Решение. AC = 8 + 28 = 36. Теперь нужен треугольник ABD с основанием AD: S(ABD) = 450 · 8/36 = 100.
Ответ: 100.
Вариант 21. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 14, найдите площадь
Два катета прямоугольного треугольника равны 6 и 14. Найдите площадь этого треугольника.
Решение. S = ½ · 6 · 14 = 42.
Ответ: 42.
Вариант 22. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 20, найдите площадь
Два катета прямоугольного треугольника равны 8 и 20. Найдите площадь этого треугольника.
Решение. S = ½ · 8 · 20 = 80.
Ответ: 80.
Теорема синусов и теорема косинусов: варианты 19 и 20
Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, a / sin A = b / sin B = c / sin C. Теорема косинусов: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними.
Вариант 19. Угол A равен 45°, угол B равен 60°, BC = 12√6 (12 корней из 6), найдите AC
В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 60°, BC = 12√6. Найдите AC.
Решение. Сторона BC лежит напротив угла A, сторона AC напротив угла B. По теореме синусов BC / sin A = AC / sin B, откуда
AC = BC · sin B / sin A = 12√6 · (√3/2) : (√2/2) = 12√6 · √3 / √2 = 12 · √9 = 36.
Корни пугают только на первый взгляд: √6 · √3 / √2 = √(6 · 3 / 2) = √9 = 3.
Ответ: 36.
Вариант 20. AB = 5, BC = 9, AC = 8, найдите косинус угла BAC
В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 9, AC = 8. Найдите cos ∠BAC.
Решение. Угол BAC — это угол при вершине A, напротив него лежит сторона BC. По теореме косинусов:
BC² = AB² + AC² − 2 · AB · AC · cos A, 81 = 25 + 64 − 80 · cos A, 80 · cos A = 8, cos A = 0,1.
Ответ: 0,1.
Углы треугольника: варианты 25 и 26
Сумма углов треугольника равна 180°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Вариант 25. Два угла треугольника равны 26° и 95°, найдите третий угол
В треугольнике два угла равны 26° и 95°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Решение. 180° − 26° − 95° = 59°.
Ответ: 59.
Вариант 26. AB = BC, угол ABC равен 124°, найдите угол BCA
В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 124°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.
Решение. Раз AB = BC, треугольник равнобедренный с основанием AC, и углы при основании, A и C, равны. Угол 124° при вершине B, поэтому на два других угла остаётся 180° − 124° = 56°, по 28° на каждый.
Ответ: 28.
Средняя линия треугольника: варианты 29 и 30
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией. Он параллелен третьей стороне и равен её половине.
Вариант 29. AB = 30, BC = 38, AC = 52, M и N — середины AB и BC, найдите MN
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 30, сторона BC равна 38, сторона AC равна 52. Найдите MN.
Решение. MN соединяет середины сторон AB и BC, это средняя линия. Она равна половине третьей стороны, AC: 52 : 2 = 26. Стороны AB и BC даны для отвлечения.
Ответ: 26.
Вариант 30. AB = 24, BC = 36, AC = 46, M и N — середины AB и BC, найдите MN
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 24, сторона BC равна 36, сторона AC равна 46. Найдите MN.
Решение. MN = AC : 2 = 46 : 2 = 23.
Ответ: 23.
Равносторонний треугольник: варианты 31 и 32
В равностороннем треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают. Их длина равна a√3/2, где a — сторона. Формула получается из теоремы Пифагора, если высота делит треугольник на два прямоугольных с гипотенузой a и катетом a/2.
Вариант 31. Сторона равностороннего треугольника равна 14√3 (14 корней из 3), найдите биссектрису
Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите биссектрису этого треугольника.
Решение. Биссектриса совпадает с высотой: 14√3 · √3 / 2 = 14 · 3 / 2 = 21.
Ответ: 21.
Вариант 32. Медиана равностороннего треугольника равна 18√3 (18 корней из 3), найдите сторону
Медиана равностороннего треугольника равна 18√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение. Медиана равна a√3/2, поэтому a√3/2 = 18√3. Корни сокращаются, a/2 = 18, a = 36.
Ответ: 36.
Ответы на все 36 вариантов задания 15
| Вариант | Ответ | Вариант | Ответ | Вариант | Ответ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 12 | 13 | 12 | 25 | 59 |
| 2 | 32 | 14 | 14 | 26 | 28 |
| 3 | 0,875 | 15 | 13 | 27 | 0,3 |
| 4 | 0,28 | 16 | 25 | 28 | 32 |
| 5 | 2,5 | 17 | 114 | 29 | 26 |
| 6 | 0,625 | 18 | 100 | 30 | 23 |
| 7 | 204,8 | 19 | 36 | 31 | 21 |
| 8 | 529,2 | 20 | 0,1 | 32 | 36 |
| 9 | 4 | 21 | 42 | 33 | 19,6 |
| 10 | 6 | 22 | 80 | 34 | 15 |
| 11 | 119 | 23 | 29 | 35 | 0,7 |
| 12 | 165 | 24 | 26 | 36 | 12 |
Где чаще всего теряют балл в задании 15
Путают противолежащий и прилежащий катет
Это ошибка номер один в задачах на синус, косинус и тангенс. Помогает простая привычка: перед вычислением провести на чертеже пальцем от угла через треугольник. Сторона, в которую вы упёрлись, и есть противолежащий катет.
Умножают на коэффициент подобия вместо его квадрата
Отношение площадей подобных треугольников равно k², а не k. В вариантах 7 и 8 ошибка в этом месте даёт 96 и 252 вместо правильных 204,8 и 529,2.
Отвечают не на тот отрезок
В вариантах 33 и 34 считают BM и сразу записывают его в ответ, хотя спрашивали AM. В варианте 2 берут треть медианы вместо двух третей. Прежде чем переносить число в бланк, найдите искомый отрезок на чертеже.
Считают прямой угол всегда при вершине C
В большинстве задач так и есть, но в варианте 23 прямой угол при вершине A. Тогда гипотенуза BC, и теорема Пифагора записывается по-другому.
Пытаются использовать все данные
В вариантах 1, 13, 15 и 29 одно или два числа в условии не нужны. Иногда ученик решает, что их обязательно надо использовать, и строит лишние вычисления. В задании 15 это нормально: проверяется знание факта, а не умение задействовать все данные.
Вопросы о задании 15 ОГЭ по математике
Сколько баллов даёт задание 15?
Один. Задание 15 относится к первой части, ответ краткий: в бланк записывается одно число, десятичная дробь через запятую.
Изменится ли задание 15 в ОГЭ 2027 года?
По проектам демоверсии и кодификатора ФИПИ на 2027 год структура экзамена и формулировки заданий остаются прежними. Задание 15, как и раньше, будет про треугольники.
Какие формулы для задания 15 есть в справочных материалах?
В справочных материалах к экзамену есть основное тригонометрическое тождество, значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°, теоремы синусов и косинусов, формула площади треугольника через сторону и высоту. Но свойства медиан, медианы к гипотенузе и подобных треугольников лучше знать наизусть: на них построена половина вариантов.
Обязательно ли рисовать чертёж?
К большинству задач чертёж уже дан. Если его нет, как в вариантах 3, 4, 24 или 25, набросок от руки всё равно полезен: на нём сразу видно, какой катет напротив какого угла.
Сколько времени закладывать на задание 15?
Обычно 1–3 минуты. Если решение не находится, скорее всего, вы не узнали факт, на котором построена задача. Сверьтесь с таблицей тем в начале статьи и перечитайте правило из нужного раздела.
Смотрите для ОГЭ 2027 по математике 9 класс
30 октября Пробник ОГЭ 2027 по математике 9 класс 2 варианта с ответами ФИПИ