Автор Все задачи с реального экзамена ЕГЭ 2023 по математике 11 класс профильный уровень задания с ответами и решением уравнения, неравенства, стереометрия, планиметрия, экономика, параметры, числа и их свойства.
Уравнения задачи с ЕГЭ 2023 по математике
uravnenia-ege-2023-mat-profilНеравенства задачи с ЕГЭ 2023 по математике
neravenstva-ege-2023-mat-profilСтереометрия задачи с ЕГЭ 2023 по математике
Stereometria-ege-2023-mat-profilПланиметрия
Planimetria-ege-2023-mat-profilЭкономика
Ekonomika-ege-2023-mat-profilПараметры
Parametry-ege-2023-mat-profilЧисла и их свойства
Chisla_i_ikh_svoystva-ege-2023-mat-profilЧисла и их свойства
Задание 1 Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным. a) Можно ли получить из число 128 число 29? б) Можно ли получить из число 128 число 31? в) Какое наименьшее число можно было получить из числа 128?
Задание 2 Трехзначное число, все цифры которого ненулевые, разделили на произведение его цифр. a) Могло ли в результате деления получиться частное, равное 8? б) Могло ли в результате деления получиться частное, равное 222? в) Какое наибольшее частное можно было получить в результате деления?
Задание 3 Дана правильная несократимая дробь 𝑎 𝑏 . За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель на два числителя, т.е. получить несократимую дробь (𝑎+𝑏) (𝑏+2𝑎) . a) Можно ли из дроби 2 3 получить дробь 29 41 . б) Можно ли из некоторой дроби получить дробь 6 7 за 2 хода. в) Дробь 𝑐 𝑑 больше 7 10 . Найдите минимальную дробь 𝑐 𝑑 , которую нельзя получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода.
Задание 4 Для чисел 𝐴 и 𝐵, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили 𝑆 – сумму произведений соответствующих цифр. Например. для числа 𝐴 = 123 и 𝐵 = 579 получается сумма 𝑆 = 15 + 27 + 39 = 46. a) Существуют ли трёхзначные числа 𝐴 и 𝐵, для которых 𝑆 = 100? б) Существуют ли пятизначные числа 𝐴 и 𝐵, для которых 𝑆 = 400? B) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой для некоторых четырёхзначных чисел 𝐴 и 𝐵?
Задание 5 В игре число 𝑎 = 4 и число 𝑏 = 5, за ход можно сделать (𝑎 − 1; 𝑏 + 2) или (𝑎 + 2; 𝑏 − 1). (новые числа a и b всегда положительные) а) Можно ли получить число 200 за 100 ходов? б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму равную 300 в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает 200.
Задание 6 В классе больше 10, но не больше 26 человек, доля девочек не более 46%. а) Может ли в классе быть 9 девочек? б) Может ли в классе быть 55% девочек, если придёт ещё одна? в) Какова максимальная доля девочек, если в класс придёт одна девочка? (max. доля ∈ Z)
Задание 7 На доске написано трёхзначное число 𝐴. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число 𝐵, затем Коля записывает число 𝐴 и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число 𝐶. а) Может ли быть верным уравнение 𝐴 = 𝐵 · 𝐶, если 𝐴 > 140? б) Может ли быть верным уравнение 𝐴 = 𝐵 · 𝐶, если 440 ⩽ 𝐴 < 500? в) Найдите наибольшее число 𝐴 до 900, для которого выполняется 𝐴 = 𝐵 · 𝐶.
Задание 8 Дано квадратное уравнение 𝑥 2 − 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 с натуральными коэффициентами 𝑝 и 𝑞 и с натуральными корнями 𝑥1 и 𝑥2 а) Найти все значения 𝑝, если 𝑞 = 5. б) Может ли быть 𝑝 < 10, если 𝑞 > 30? в) Найти наименьшее значение 𝑝, если 𝑞 > 30.
Экономика
Задание 1 В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 65 500 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Задание 2 Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года 𝑡 становится равной 𝑡 2 тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.). В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 20% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль к концу 30 года была максимальной?
Задание 3 В июле 2025 взяли кредит на 10 лет на 800 тыс. руб. – в январе начисляется 𝑟% по кредиту. – с февраля по июнь в 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг уменьшается равномерно на какую то сумму. – в конце 2030 года долг составляет 200 тыс. руб. – с февраля по июнь в 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг уменьшается равномерно на другую сумму. – к 2035 году кредит должен быть выплачен. Найдите 𝑟. если общая сумма выплат составила 1480 тыс. руб.
Задание 4 В июле 2025 взяли кредит на 10 лет на 700 тыс. руб. – каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь в 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг уменьшается равномерно на какую то сумму. – в конце 2030 года долг составляет 200 тыс. руб. – с февраля по июнь в 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг уменьшается равномерно на другую сумму. – к 2035 году кредит должен быть выплачен. Какая выплата была в 2026 году, если общая сумма выплат составила 1420 тыс руб?
Задание 5 В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – в июле каждого из годов с 2026 по 2030 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года; – в июле каждого из годов с 2031 по 2035 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года, отличную от суммы, на которую долг убывал в первые пять лет. Известно, что в конце 2030 года долг составил 800 тысяч рублей. Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей.
Задание 6 Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на 𝑥 млн рублей, где 𝑥 – целое число. Найдите наименьшее значение 𝑥, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей.
Планиметрия
Задание 1 Точка 𝐵 лежит на отрезке 𝐴𝐶. Прямая, проходящая через точку 𝐴, касается окружности с диаметром 𝐵𝐶 в точке 𝑀 и второй раз пересекает окружность с диаметром 𝐴𝐵 в точке 𝐾. Продолжение отрезка 𝑀𝐵 пересекает окружность с диаметром 𝐴𝐵 в точке 𝐷. а) Докажите, что прямые 𝐴𝐷 и 𝑀𝐶 параллельны. б) Найдите площадь треугольника 𝐷𝐵𝐶, если 𝐴𝐾 = 5 и 𝐾𝑀 = 25.
Задание 2 Окружность касается одной из сторон прямого угла 𝐷 в точке 𝐸 и пересекает другую сторону угла в точках 𝐴 и 𝐵. Точка 𝐴 лежит на отрезке 𝐵𝐷, а 𝐴𝐶 – диаметр этой окружности. а) Докажите, что 𝐷𝐸 = 1 2 𝐵𝐶. б) Найдите расстояние от точки 𝐸 до прямой 𝐴𝐶, если 𝐴𝐷 = 2, 𝐴𝐵 = 6.
Задание 3 𝐴𝐵𝐶 равносторонний треугольник. На стороне 𝐴𝐶 выбрана точка 𝑀, серединный перпендикуляр к отрезку 𝐵𝑀 пересекает сторону 𝐴𝐵 в точке 𝐸, а сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾. а) Доказать что угол 𝐴𝐸𝑀 равен углу 𝐶𝑀𝐾. б) Найти отношение площадей треугольников 𝐴𝐸𝑀 и 𝐶𝑀𝐾, если 𝐴𝑀 : 𝐶𝑀 = 1 : 4.
Задание 4 Дана равнобедренная трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶. Биссектрисы углов 𝐵𝐴𝐷 и 𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂. Точки 𝑀 и 𝑁 отмечены на боковых сторонах 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Известно, что 𝐴𝑀 = 𝑀𝑂, 𝐶𝑁 = 𝑁𝑂. а) Докажите, что точки 𝑀, 𝑁 и 𝑂 лежат на одной прямой. б) Найдите 𝐴𝑀 : 𝑀𝐵, если известно, что 𝐴𝑂 = 𝑂𝐶 и 𝐵𝐶 : 𝐴𝐷 = 1 : 7.
Задание 5 Дан ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямая, перпендикулярная стороне 𝐴𝐷, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝑀, диагональ 𝐵𝐷 — в точке 𝑁, причем 𝐴𝑀 : 𝑀𝐶 = 1 : 2, 𝐵𝑁 : 𝑁𝐷 = 1 : 3. а) Докажите, что cos ∠𝐵𝐴𝐷 = 0,2. б) Найдите площадь ромба, если 𝑀𝑁 = 5.
Задание 6 Касательная к окружности, вписанной в квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐷 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. а) Докажите, что периметр треугольника 𝐴𝑀𝑁 равен стороне квадрата. б) Прямая 𝑀𝑁 пересекает прямую 𝐶𝐷 в точке 𝑃. Найдите в каком отношении делит сторону 𝐵𝐶 прямая, проходящая через 𝑃 и центр окружности, если 𝐴𝑀 : 𝑀𝐵 = 1 : 3
Стереометрия
Задание 1 Дан тетраэдр 𝐴𝐵𝐶𝐷. Точки 𝐾, 𝐿, 𝑀 и 𝑁 лежат на ребрах 𝐴𝐶, 𝐴𝐷, 𝐷𝐵 и ВС соответственно, так, что четырехугольник 𝐾𝐿𝑀𝑁 квадрат со стороной 2. 𝐴𝐾 : 𝐾𝐶 = = 2 : 3. а) Докажите, что 𝐵𝑀 : 𝑀𝐷 = 2 : 3. 6) Найдите расстояние от точки 𝐶 до плоскости 𝐾𝐿𝑀𝑁, если объем тетраэдра равен 25.
Задание 2 Все боковые стороны четырехугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 равны 𝐴𝐷 стороне основания 𝐴𝐵𝐶𝐷. Стороны 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐶𝐷 вдвое меньше стороны 𝐴𝐷. а) Докажите, что высота пирамиды, опущенная из вершины 𝑆, проходит через середину 𝐴𝐷. б) В каком отношении, считая от точки 𝑆, плоскость 𝐵𝑁𝑀 делит высоту пирамиды, если 𝑁 – середина 𝑆𝐶, в точка М делит ребро 𝑆𝐷 в отношении 1 : 3, считая от точки 𝑆.
Задание 3 Дана прямая призма 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1. 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник с основанием 𝐴𝐵. На 𝐴𝐵 отмечена точка 𝑃 такая, что 𝐴𝑃 : 𝑃 𝐵 = 3 : 1. Точка 𝑄 делит пополам ребро В1С1. Точка 𝑀 делит пополам ребро 𝐵𝐶. Через точку 𝑀 проведена плоскость 𝛼, перпендикулярная Р𝑄. а) Докажите, что прямая 𝐴𝐵 параллельна плоскости 𝛼. 6) Найдите отношение, в котором плоскость 𝛼 делит 𝑃 𝑄, если 𝐴𝐴1 = 5, 𝐴𝐵 = 12, cos ∠𝐴𝐵𝐶 = 3 5 .
Задание 4 Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями 𝐴𝐷 = 5 и 𝐵𝐶 = 4. 𝑀 — точка, которая делит сторону 𝐴1𝐷1 в отношении 1 : 4, 𝐾 — середина 𝐷𝐷1. а) Доказать, что 𝑀𝐶𝐾 ‖ 𝐵𝐷. 6) Найти тангенс угла между плоскостью 𝑀𝐾𝐶 и плоскостью основания, если ∠𝐵𝐴𝐶 = = 60∘ , а ∠𝐶𝐾𝑀 = 90∘ .
Задание 5 Основанием прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 является параллелограмм. На рёбрах 𝐴1𝐵1, 𝐵1𝐶1 и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑀, 𝐾 и 𝑁 соответственно, причем 𝐵𝐾 : 𝐾𝐶1 = 1 : 2, а 𝐴𝑀𝐾𝑁 – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что 𝑁 — середина 𝐵𝐶. 6) Найдите площадь трапеции 𝐴𝑀𝐾𝑁, если объем призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 равен 12, а её высота равна 2.
Задание 6 У тетраэдра 𝐴𝐵𝐶𝐷 грани 𝐴𝐵𝐷 и 𝐴𝐶𝐷 перпендикулярны и являются правильными треугольниками со стороной 10. На рёбрах 𝐴𝐵, 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 взяли точки 𝐾, 𝐿 и 𝑀 соответственно так, что 𝐵𝐾 = 2, 𝐴𝐿 = 4 и 𝐷𝑀 = 3. а) Докажите, что плоскость 𝐾𝐿𝑀 перпендикулярна ребру 𝐶𝐷. 6) Найдите длину отрезка, образованного пересечением плоскости 𝐾𝐿𝑀 с гранью 𝐴𝐵𝐶.
Задание 7 В основании четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 лежит квадрат. Плоскость 𝛼 пересекает рёбра 𝑆𝐴, 𝑆𝐵, 𝑆𝐶, 𝑆𝐷 в точках 𝐿, 𝐾, М и 𝑁 соответственно, причём 𝑆𝐾 : 𝐾𝐵 = 3 : 1, а точки 𝐿 и 𝑀 — середины рёбер ЅА и 𝑆𝐷. а) Докажите, что четырёхугольник 𝐾𝐿𝑀𝑁 является трапецией, длины оснований которой относятся как 2 : 3. 6) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостями 𝐴𝐵𝐶 и 𝛼 равен 30∘ , а площадь сечения пирамиды плоскостью 𝛼 равна 10√ 2, а площадь основания пирамиды равна 32.
Задание 8 Дана пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷, в основании которой лежит прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Сечение пирамиды — трапеция 𝐾𝐿𝑀𝑁, причём точки 𝐾, 𝐿, 𝑀 и 𝑁 лежат на рёбрах 𝑆𝐵, 𝑆𝐴, 𝑆𝐷 и 𝑆𝐶 соответственно. Известно, что основания этой трапеции 𝐾𝐿 = 4, 𝑀𝑁 = 3, а 𝑆𝐾 : 𝐾𝐵 = 2 : 1. а) Докажите, что точки 𝑀 и 𝑁 — середины рёбер 𝑆𝐷 и 𝑆𝐶. 6) Пусть 𝐻 – точка пересечения диагоналей прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, а 𝑆𝐻 — высота пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷. Найдите 𝑆𝐻, если известно, что площадь прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 48, а площадь трапеции 𝐾𝐿𝑀𝑁 равна 24.
Другие тренировочные варианты ЕГЭ по математике
Варианты МА2300101-МА2300110 статград математика 10-11 класс ЕГЭ 2024 с ответами