Автор Тренировочные варианты 7, 8, 9 ЕГЭ 2026 по математике 11 класс профильный уровень от школы Пифагора задания и ответы с решением из открытого банка заданий ОБЗ ФИПИ и экзаменов прошлых лет. Каждый вариант составлен по новой демоверсии ФИПИ.
Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
7 тренировочный вариант ЕГЭ 2026 школа Пифагора
Variant_7_EGE_profil_s_otvetami_20261. Угол 𝐴𝐶𝑂 равен 27°, где 𝑂 − центр окружности. Его сторона 𝐶𝐴 касается окружности. Сторона 𝐶𝑂 пересекает окружность в точке 𝐵 (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги 𝐴𝐵 окружности. Ответ дайте в градусах.
2. Даны векторы 𝑎⃗ (1; 1) и 𝑏⃗⃗ (0; 7). Найдите длину вектора 8𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗.
3. Дано два шара. Радиус первого шара в 13 раз больше радиуса второго. Во сколько раз объём первого шара больше объёма второго?
4. В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
5. В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝐹(𝑥) одной из первообразных некоторой функции 𝑓(𝑥) и отмечены десять точек на оси абсцисс: 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , 𝑥6 , 𝑥7 , 𝑥8 , 𝑥9 , 𝑥10. В скольких из этих точек функция 𝑓(𝑥) положительна?
9. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 494 МГц. Скорость погружения батискафа 𝑣 вычисляется по формуле 𝑣 = 𝑐 ∙ 𝑓−𝑓0 𝑓+𝑓0 , где 𝑐 = 1500 м/с – скорость звука в воде, 𝑓0 – частота испускаемых импульсов, 𝑓 – частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 18 м/с.
10. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑥 . Найдите значение 𝑓(10).
14. В кубе 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 все рёбра равны 5. На его ребре 𝐵𝐵1 отмечена точка 𝐾 так, что 𝐾𝐵 = 3. Через точки 𝐾 и 𝐶1 проведена плоскость 𝛼, параллельная прямой 𝐵𝐷1 . а) Докажите, что 𝐴1𝑃: 𝑃𝐵1 = 1: 2, где 𝑃 − точка пересечения плоскости 𝛼 с ребром 𝐴1𝐵1 . б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью 𝛼.
16. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен. Чему равно 𝑟, если общая сумма выплат составит 435 тыс. рублей?
17. В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑀 и 𝑁 − середины гипотенузы 𝐴𝐵 и катета 𝐵𝐶 соответственно. Биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает прямую 𝑀𝑁 в точке 𝐿. а) Докажите, что треугольники 𝐴𝑀𝐿 и 𝐵𝐿𝐶 подобны. б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos.
19. В каждой клетке квадратной таблицы 5×5 стоит натуральное число, меньшее 6. Вася в каждом столбце находит сумму чисел и из полученных сумм выбирает наименьшую. Петя в каждой строке находит сумму чисел и из полученных сумм выбирает наименьшую. а) Может ли число у Пети получиться в два раза больше, чем число у Васи? б) Может ли число у Пети получиться в пять раз больше, чем число у Васи? в) В какое наибольшее число раз число у Пети может быть больше, чем число у Васи?
Ответы к 7 варианту:
8 вариант ЕГЭ 2026 математика профиль школа Пифагора
Variant_8_EGE_profil_s_otvetami_20261. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐴 равен 56°, углы 𝐵 и 𝐶 − острые, высоты 𝐵𝐷 и 𝐶𝐸 пересекаются в точке 𝑂. Найдите угол 𝐷𝑂𝐸. Ответ дайте в градусах.
2. Даны векторы 𝑎⃗ (0; 3), 𝑏⃗⃗ (−2; 4) и 𝑐⃗ (4;−1). Найдите длину вектора 𝑎⃗ + 2𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗.
3. Шар, объем которого равен 35𝜋, вписан в куб. Найдите объём куба.
4. Вероятность того, что новый тостер прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,82. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
5. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
8. На рисунке изображен график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определенной на интервале (−6; 5). В какой точке отрезка [−5;−1] функция 𝑓(𝑥) принимает наибольшее значение?
9. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону 𝐻(𝑡) = 𝑎𝑡 2 + 𝑏𝑡 +𝐻0 , где 𝐻0 = 3 м – начальный уровень воды, 𝑎 = 1 768 м/мин2 и 𝑏 = − 1 8 м⁄мин − постоянные, 𝑡 − время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.
10. Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
14. Точка 𝑀 − середина ребра 𝐴𝐴1 треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 , в основании которой лежит треугольник 𝐴𝐵𝐶. Плоскость 𝛼 проходит через точки 𝐵 и 𝐵1 перпендикулярно прямой 𝐶1𝑀. а) Докажите, что одна из диагоналей грани 𝐴𝐶𝐶1𝐴1 равна одному из рёбер этой грани. б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до плоскости 𝛼, если плоскость 𝛼 делит ребро 𝐴𝐶 в отношении 1:5, считая от вершины 𝐴, 𝐴𝐶 = 20, 𝐴𝐴1 = 32.
16. В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; – в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – в конце 2030 года долг составит 200 тыс. руб; – в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите 𝑟, если общая сумма выплат после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей.
17. В треугольник 𝐴𝐵𝐶 с углом 𝐴 равным 60° вписана окружность, касающаяся стороны 𝐵𝐶 в точке 𝑀. а) Докажите, что 𝐴𝑀 не больше утроенного радиуса вписанной окружности. б) Найдите синус большего из углов 𝐵𝐴𝑀 и 𝐶𝐴𝑀, если 𝐴𝑀 равно 2,5 радиусам вписанной окружности.
19. Имеется 10 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Ответы к 8 варианту:
9 вариант школа Пифагора
Variant_9_EGE_profil_s_otvetami_20261. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, 𝐴𝐵 = 20, высота 𝐴𝐻 равна 8. Найдите синус угла 𝐵𝐴𝐶.
2. Даны векторы 𝑎⃗ (14;−2) и 𝑏⃗⃗ (5;−8). Найдите скалярное произведение 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗.
3. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 16. Найдите его объём.
4. На конференцию приехали 2 учёных из Дании, 7 из Польши и 3 из Венгрии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвёртым окажется доклад учёного из Венгрии.
5. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,06. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
8. На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 .
9. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой 𝜂 = 𝑇1−𝑇2 𝑇1 ∙ 100%, где 𝑇1 — температура нагревателя (в кельвинах), 𝑇2 — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре нагревателя 𝑇1 КПД этого двигателя будет 25%, если температура холодильника 𝑇2 = 276 К? Ответ дайте в градусах Кельвина.
10. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город B на 12 часов раньше, чем велосипедист приехал в город А, а встретились они через 2 часа 30 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города B в город A велосипедист?
14. На ребре 𝐴𝐴1 прямоугольного параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 взята точка 𝐸 так, что 𝐴1𝐸: 𝐸𝐴 = 3: 1, на ребре 𝐵𝐵1 − точка 𝐹 так, что 𝐵1𝐹: 𝐹𝐵 = 1: 3, а на ребре 𝐵1𝐶1 − точка 𝑇 так, что 𝐵1𝑇: 𝑇𝐶1 = 1: 2. Известно, что 𝐴𝐵 = 4, 𝐴𝐷 = 3, 𝐴𝐴1 = 4. а) Докажите, что плоскость 𝐸𝐹𝑇 проходит через вершину 𝐷1 . б) Найдите угол между плоскостью 𝐸𝐹𝑇 и плоскостью 𝐵𝐵1𝐶1 .
16. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк 𝑥 рублей. Какой должна быть сумма 𝑥, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
17. В прямоугольную трапецию 𝐴𝐵𝐶𝐷 с прямым углом при вершине 𝐴 и острым углом при вершине 𝐷 вписана окружность с центром 𝑂. Прямая 𝐷𝑂 пересекает сторону 𝐴𝐵 в точке 𝑀, а прямая 𝐶𝑂 пересекает сторону 𝐴𝐷 в точке 𝐾. а) Докажите, что ∠𝐴𝑀𝑂 = ∠𝐷𝐾𝑂. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝑂𝑀, если 𝐵𝐶 = 10 и 𝐴𝐷 = 15.
18. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3345. а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трёх членов? в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Ответы к 9 варианту:
