Автор Новые тренировочные варианты 4, 5, 6 ЕГЭ 2026 по математике 11 класс профильный уровень от школы Пифагора задания и ответы с решением из открытого банка заданий ОБЗ ФИПИ и экзаменов прошлых лет. Каждый вариант составлен по новой демоверсии ФИПИ. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
4 тренировочный вариант ЕГЭ 2026 школа Пифагора
Variant_4_ege_2026_profil_mat_11klass1. Основания трапеции равны 2 и 4. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
2. На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора 𝑎⃗ +4𝑏⃗⃗.
3. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 2 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5 раз меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. Результат округлите до тысячных.
5. Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
7. Найдите sin 2𝛼, если cos 𝛼 = 0,6 и 𝜋 < 𝛼 < 2𝜋.
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−9; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции 𝑓(𝑥) равна 0.
9. Водолазный колокол, содержащий 𝑣 = 2 моля воздуха при давлении 𝑝1 = 1,75 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления 𝑝2 . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением 𝐴 = 𝛼𝑣𝑇 log2 𝑝2 𝑝1 , где 𝛼 = 13,3 Дж моль∙К − постоянная, 𝑇 = 300 К – температура воздуха. Найдите, какое давление 𝑝2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 15960 Дж.
10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 384 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображены графики функций видов 𝑓(𝑥) = 𝑎√𝑥 и 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥, пересекающиеся в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = ln(𝑥 +3) 7 − 7𝑥 − 9.
14. Основанием прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 является параллелограмм. На рёбрах 𝐴1𝐵1 , 𝐵1𝐶1 и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑀, 𝐾 и 𝑁 соответственно, причём 𝐵1𝐾:𝐾𝐶1 = 1: 2, а 𝐴𝑀𝐾𝑁 − равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что 𝑁 − середина 𝐵𝐶. б) Найдите площадь трапеции 𝐴𝑀𝐾𝑁, если объём призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 равен 12, а её высота равна 2.
15. Решите неравенство (𝑥 − 7) log𝑥+3 (𝑥 +1) ∙ log3 (𝑥 + 3) 3 ≤ 0.
16. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 400 000 рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите 𝑟, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 330 000 рублей, а во второй год – 121 000 рублей.
17. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑀 и 𝑁 лежат на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно так, что 𝐴𝑀: 𝑀𝐵 = 𝐶𝑁: 𝑁𝐵 = 1: 2. Окружность, вписанная в треугольник 𝐴𝐵𝐶, касается отрезка 𝑀𝑁 в точке 𝐿. а) Докажите, что 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 5𝐴𝐶. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶, если 𝑀𝐿 = 1, 𝐿𝑁 = 3.
18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение √𝑥 4 −𝑥 2 + 𝑎 2 = 𝑥 2 +𝑥 − 𝑎 имеет ровно три различных корня.
19. Даны различные натуральные числа, запись которых содержит цифры 3 и 8, либо только одну из этих цифр. а) Может ли сумма всех чисел быть равной 94? б) Может ли сумма всех чисел быть равной 248? в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 2659?
Ответы:
Видео решение 4 варианта
5 вариант ЕГЭ 2026 школа Пифагора
Variant_5_ege_2026_profil_mat_11klass1. Один угол параллелограмма больше другого на 40°. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
2. На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗. Найдите скалярное произведение 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗.
3. Площадь основания конуса равна 48. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 12, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
4. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии и 6 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать четвёртым будет выступать прыгун из Италии.
5. Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?
6. Найдите корень уравнения lg(𝑥 + 11) = 1.
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определенной на интервале (−19; 3). Найдите количество точек экстремума функции 𝑓(𝑥), принадлежащих отрезку [−17;−4].
9. Мяч бросили под углом 𝛼 к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле 𝑡 = 2𝑣0 sin𝛼 𝑔 . При каком наименьшем значении угла 𝛼 (в градусах) время полёта будет не меньше 2,1 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью 𝑣0 = 21 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения 𝑔 = 10 м/с 2 .
10. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй – 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥. Найдите значение 𝑓(8).
12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = (𝑥 2 − 9𝑥 + 9) ∙ 𝑒 𝑥+27 .
13. а) Решите уравнение cos2𝑥 +sin 𝑥 = √2 sin (𝑥 + 𝜋 4 ). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
14. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 все рёбра равны 4. Точка 𝑀 − середина ребра 𝐴𝐴1 . а) Докажите, что прямые 𝑀𝐵 и 𝐵1𝐶 перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми 𝑀𝐵 и 𝐵1𝐶.
16. 15 января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 0,59 млн рублей?
17. В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝑀 лежит на катете 𝐴𝐶, а точка 𝑁 лежит на продолжении катета 𝐵𝐶 за точку 𝐶, причём 𝐶𝑀 = 𝐵𝐶 и 𝐶𝑁 = 𝐴𝐶. Отрезки 𝐶𝑃 и 𝐶𝑄 −биссектрисы треугольников 𝐴𝐶𝐵 и 𝑁𝐶𝑀 соответственно. а) Докажите, что 𝐶𝑃 и 𝐶𝑄 перпендикулярны. б) Найдите 𝑃𝑄, если 𝐵𝐶 = 3, а 𝐴𝐶 = 5.
18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение 2 𝑥 −𝑎 = √4 𝑥 − 𝑎 имеет единственный корень.
19. Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое – трёхзначное и оба кратны 45. а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205? б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?
Ответы:
Видео решение 5 варианта
6 вариант ЕГЭ 2026 школа Пифагора
Variant_6_ege_2026_profil_mat_11klass1. Угол между стороной и диагональю ромба равен 54°. Найдите острый угол ромба.
2. Даны векторы 𝑎⃗ (3; 4) и 𝑏⃗⃗ (−4;−3). Найдите косинус угла между ними.
3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐷, 𝐴1 , 𝐵1 , 𝐶1 , 𝐷1 , 𝐸1 , 𝐹1 правильной шестиугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1 , площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 2.
4. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,93. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,49. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20.
5. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−4; 13). Определите количество точек, в которых касательная к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) параллельна прямой 𝑦 = 14.
9. Зависимость объёма спроса 𝑞 (единиц в месяц) на продукцию предприятия монополиста от цены 𝑝 (тыс. руб.) задаётся формулой 𝑞 = 190 −10𝑝. Выручка предприятия за месяц 𝑟 (в тыс. руб.) вычисляется по формуле 𝑟(𝑝) = 𝑞 ∙ 𝑝. Определите наибольшую цену 𝑝, при которой месячная выручка 𝑟(𝑝) составит не менее 700 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
10. Первый насос наполняет бак за 1 час, второй — за 1 час 30 минут, а третий — за 1 час 48 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, где числа 𝑎, 𝑏 и 𝑐 − целые. Найдите значение 𝑓(−12).
12. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 𝑥 5 + 20𝑥 3 − 65𝑥 на отрезке [−4; 0].
13. а) Решите уравнение 14cos2𝑥 + sin 2𝑥 = 6. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
14. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известно, что 𝐴𝐵 = 3, 𝐴𝐷 = 4 и 𝐴𝐴1 = 6. Через точки 𝐵1 и 𝐷 параллельно прямой 𝐴𝐶 проведена плоскость, пересекающая ребро 𝐶𝐶1 в точке 𝐾. а) Докажите, что 𝐾 − середина 𝐶𝐶1 . б) Найдите расстояние от точки 𝐵 до плоскости сечения.
16. 15-го августа 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 1200 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – 15-го числа 10-го месяца долг составит 400 тысяч рублей; – к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
17. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке 𝐿. Прямая, проходящая через точку 𝐿 и середину 𝑁 гипотенузы 𝐴𝐵, пересекает катет 𝐵𝐶 в точке 𝑀. а) Докажите, что ∠𝐵𝑀𝐿 = ∠𝐵𝐴𝐶. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если 𝐴𝐵 = 20 и 𝐶𝑀 = 3√5.
19. На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 6. а) Может ли их сумма составлять 198? б) Может ли их сумма составлять 270? в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 1518?
Видео решение 6 варианта
Ответы:
