Автор Региональный этап 2022 олимпиады по математике 9, 10, 11 класс официальные ответы, задания и разбор задач всероссийской математической олимпиады школьников ВСОШ, официальная дата проведения олимпиады: с 4 по 5 февраля 2022 года.
Задания олимпиады: 8 класс, 9 класс, 10 класс, 11 класс
Ответы и решения: 8 класс, 9-11 класс 1 день, 2 день
Региональный этап 2022 олимпиады по математике 9 10 11 класс задания и ответы 1 дня:
Задания и решения 2 дня:
Интересные задания с олимпиады:
1)Как без остатка разрезать клетчатый квадрат размером 8х8 клеточек на 10 клетчатых прямоугольников, чтобы все прямоугольники имели различные площади? Все разрезы должны проходить по границам клеточек.
2)Учитель придумал ребус, заменив в примере a+b = c на сложение двух натуральных чисел цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными (например, если a = 23, а b = 528, то c = 551, и получился, с точностью до выбора букв, ребус АБ+ВАГ = ВВД). Оказалось, что по получившемуся ребусу однозначно восстанавливается исходный пример. Найдите наименьшее возможное значение суммы c.
3)В треугольнике ABC проведены биссектрисы BK и CL. На отрезке BK отмечена точка N так, что LN ∥ AC. Оказалось, что NK = LN. Найдите величину угла ABC.
4)Числа 1, 2, …, 1000 разбили на два множества по 500 чисел: красные k1, k2, …, k500 и синие s1, s2, …, s500. Докажите, что количество таких пар m и n, у которых разность km–sn дает остаток 7 при делении на 100, равно количеству таких пар m и n, у которых разность sn–km дает остаток 7 при делении на 100. Здесь рассматриваются все возможные разности, в том числе и отрицательные. Напомним, что остатком от деления целого числа a на 100 называется разность между числом a и ближайшим числом, не большим a и делящимся на 100. Например, остаток от деления числа 2022 на 100 равен 2022–2000 = 22, а остаток от деления числа –11 на 100 равен –11–(–100) = 89.
5)При каком наибольшем n существует выпуклый n-угольник, у которого длины диагоналей принимают не больше двух различных значений?
6)Сумма остатков от деления трёх последовательных натуральных чисел на 2022 ⎯ простое число. Докажите, что одно из чисел делится на 2022.
7)Существует ли треугольник, у которого длины не совпадающих между собой медианы и высоты, проведенных из одной его вершины, соответственно равны длинам двух сторон этого треугольника?
8)Будем называть натуральное число красивым, если в его десятичной записи поровну цифр 0, 1, 2, а других цифр нет (во избежание недоразумений напомним, что десятичная запись числа не может начинаться с нуля). Может ли произведение двух красивых чисел быть красивым?
9)Петя и Вася написали на доске по 100 различных натуральных чисел. Петя поделил все свои числа на Васины с остатком и выписал все 10000 получившихся остатков себе в тетрадь. Вася поделил все свои числа на Петины с остатком и выписал все 10000 получившихся остатков себе в тетрадь. Оказалось, что наборы выписанных Васей и Петей остатков совпадают. Докажите, что тогда и наборы их исходных чисел совпадают.
10)В вершины правильного 100-угольника поставили 100 фишек, на которых написаны номера 1, 2, …, 100, именно в таком порядке по часовой стрелке. За ход разрешается обменять местами некоторые две фишки, стоящие в соседних вершинах, если номера этих фишек отличаются не более чем на k. При каком наименьшем k серией таких ходов можно добиться расположения, в котором каждая фишка сдвинута на одну позицию по часовой стрелке по отношению к своему начальному положению?
11)Однажды на перемене Вася выписал на листке десять натуральных чисел. Все написанные числа попарно различны. Известно, что из этих десяти чисел можно выбрать три числа, делящихся на 5. Также известно, что из написанных десяти чисел можно выбрать четыре числа, делящихся на 4. Может ли сумма всех написанных на доске чисел быть меньше 75?
12)На доске девять раз (друг под другом) написали некоторое натуральное число N . Петя к каждому из 9 чисел приписал слева или справа одну ненулевую цифру; при этом все приписанные цифры различны. Какое наибольшее количество простых чисел могло оказаться среди 9 полученных чисел?
13)В компании некоторые пары людей дружат (если A дружит с B , то и B дружит с A ). Оказалось, что среди каждых 100 человек в компании количество пар дружащих людей нечётно. Найдите наибольшее возможное количество человек в такой компании.
14)В вершинах правильного 100-угольника поставили 100 фишек, на которых нанесены номера 1, 2,…100, именно в таком порядке по часовой стрелке. За один ход разрешается поменять местами некоторые две фишки, стоящие в соседних вершинах, при условии, что номера этих фишек различаются не более чем на k . При каком наименьшем k серией таких ходов можно добиться расположения, в котором каждая фишка передвинута на одну позицию по часовой стрелке (по отношению к своему начальному положению)?
15)На доске написаны три последовательных нечётных числа. Может ли сумма остатков от деления этих трёх чисел на 2022 равняться некоторому простому числу?
Смотрите также на нашем сайте олимпиады:
Региональный этап 2020 по математике задания, ответы и результаты олимпиады
Региональный этап 2021 ВОШ олимпиады по математике 8, 9, 10, 11 класс задания и ответы