ПОШ олимпиада по математике 2024-2025 задания и ответы 5, 6, 7 класс

Подмосковная олимпиада школьников ПОШ по математике 2024-2025 учебный год задания и ответы с решением для 5, 6, 7 класса для подготовки к 2025-2026 учебному году. Победители и призёры Подмосковной олимпиады школьников получают дипломы, участники второго тура — сертификаты.

Задания олимпиады ПОШ для 5 класса

Задания олимпиады ПОШ для 6 класса

Задания олимпиады ПОШ для 7 класса

5 класс

1. Расставьте в кружочки числа от 1 до 7, используя каждое по одному разу, так, чтобы сумма чисел по линиям равнялась указанным на схеме значениям. Приведите все возможные способы.

Ответ: 2 способа. Решение: Рассмотрим линию из трех кружочков с суммой 6. Единственный набор чисел, подходящий для этой линии, это 1, 2 и 3. Теперь посмотрим на линию с суммой 16. Эту сумму нужно получить из трёх значений. Одно из них — какое-то из чисел 1, 2, 3. Максимальная сумма двух оставшихся — 6 + 7 = 13. Чтобы получить сумму 16, для первого значения подойдёт только цифра 3. Таким образом, в самом нижнем кружочке будет находиться цифра 3.

2. На Пятом Совете Братства пиратские бароны собрались, чтобы разделить добычу: захваченные корабли Ост-Индийской торговой компании. Если раздать корабли поровну пяти баронам, то останется 4 лишних корабля. Если же поровну разделить корабли между шестью баронами, то останется 5 лишних кораблей. Известно также, что пираты захватили наименьшее возможное количество кораблей, которое подходит под условия. Так сколько захваченных кораблей заберёт себе Джек, если обхитрит всех баронов и не оставит им ни одного судна?

Ответ: 29 кораблей.

3. Перед новым учебным годом в Хогвартсе 50 юных волшебников посетили Косую Аллею, где приобрели мантии, волшебные палочки и мётлы. Только один предмет купили 16 волшебников. Волшебников, которые купили мантию и метлу, оказалось в три раза меньше, чем волшебников, которые купили мантию и волшебную палочку, и в четыре раза меньше, чем волшебников, которые купили метлу и волшебную палочку. Определите, сколько волшебников купили все три предмета.

Ответ: 3 волшебника.

4. Известно, что AHA + HAC = 1447. Найдите сумму H + A + C + A, если разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым — одинаковые.

Ответ: 30. Решение: Посмотрим в разряд сотен: A + Н = 14, если перехода из рязряда десятков не было, или A + Н + 1 = 14, если переход был. Первый случай невозможен, поскольку при сложении тех же букв в разряде десятков переход все же произойдет. Значит, A + Н + 1 = 14, откуда A + Н = 13. Тогда чтобы при сложении A + H в разряде десятков получалась цифра 4, должен быть переход через разряд от сложения единиц. То есть, A + C = 17. Следовательно, H + A + C + A = 13 + 17 = 30.

5. Хамелеон рождается, три дня живёт с фиолетовой окраской, утром четвёртого дня становится синим, а к вечеру пятого дня навсегда становится зелёным. В четверг днём в зоопарке было 24 фиолетовых и 17 синих хамелеонов, а в субботу днём — 19 фиолетовых и 12 синих. Сколько синих хамелеонов будет в зоопарке днём во вторник?

Ответ: 7. Решение: Хамелеон бывает синим на четвёртый и пятый день. Значит, во вторник будут синими те хамелеоны, которые родились в пятницу или субботу. Посчитаем их количество. Хамелеоны, которые были синими в четверг, к субботе точно стали зелёными, а 24 фиолетовых до субботы точно не успели стать зелёными, но могли посинеть. В субботу в зоопарке был 19 + 12 = 31 хамелеон. Мы знаем, что 24 из них были в зоопарке ещё в четверг, а остальные 31 − 24 = 7 как раз родились в пятницу или субботу.

6. В ряд выстроились несколько (больше одного) аборигенов, каждый из которых является рыцарем или лжецом. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Каждый из стоящих заявил: «Среди моих соседей ровно один рыцарь». Затем, эти же аборигены перемешались и по-новому встали в ряд. Теперь каждый из них заявил: «Все мои соседи — рыцари». Сколько могло быть рыцарей в ряду? Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.

7. Назовём дату красивой, если она записывается в формате ДД.ММ.ГГГГ, где число года может быть составлено с помощью последовательной записи чисел даты и месяца или же месяца и даты. Найдите количество красивых дат с 01.01.1000 по 01.01.1200. Например, первые две красивые даты будут в 1001 году: 10.01.1001 (ДДММ = ГГГГ) и 01.10.1001 (ММДД = ГГГГ).

8. Казимир разбил прямоугольник на несколько прямоугольников поменьше, как показано на картинке. Затем он посчитал периметры маленьких прямоугольников и подписал полученные значения внутри фигур. Помогите Казимиру найти наибольший возможный периметр внешнего (большого) прямоугольника, если длина стороны, отмеченной красным, должна быть не меньше 2 см.

6 класс

1. Рита хочет заполнить таблицу 4 × 4 символами так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце каждый из них встретился по одному разу. Сколькими способами она может это сделать, если 4 символа должны быть расположены так, как на картинке?

2. У Бабы Кати на грядке растут помидоры. Каждый день она или срывает с куста 5 помидоров и кладет в погреб, или съедает 3 из погреба. Оказалось, что в каждый из 96 подряд идущих дней у нее в погребе было разное количество помидоров не превосходящее 96. Как такое могло получиться?

3. Родители купили на праздник много конфет, после чего услышали такой диалог детей: Полина: «О, как здорово, можно съесть все конфеты за два дня, каждый день съедая одинаковое количество!» Яша: «А я посчитал, что можно съесть все конфеты за два дня, съев во второй день в 2 раза меньше конфет, чем в первый». Рита: «Давайте не будем угощать Лизу, на нас семерых мы конфеты поровну не поделим». Сережа: «Зато конфеты точно разделятся поровну на нас шестерых и на пятерых, кстати, тоже!» Дима: «Я вот недавно проходил в школе квадраты чисел и могу заверить, что ни на 4, ни на 9 данное количество конфет не поделится». Вероника: «Я пересчитала еще раз, Яша или Полина точно правы!» Родители с грустью заметили, что только один ребенок из всех сказал правду. Сколько конфет купили родители, если известно, что каждому ребенку должно было достаться хотя бы по 2 конфеты, но не больше 10?

4. У Миши было 6 одинаковых кубиков, у каждого из которых какие-то две противоположные грани покрашены в зеленый цвет, а остальные — в красный. Миша склеил кубики так, как показано на картинке, причем он склеивал между собой только те грани, которые покрашены в один цвет. Какое наибольшее количество красных граней может быть видно на поверхности этой фигуры?

5. На столе лежат карточки с числами от 1 до 1000. Даня и Женя по очереди берут по 2 карточки со стола так, чтобы эти две карточки в сумме давали 1001. Даня считает, что взятая им пара карточек удачная, если число на одной карточке делится на число на другой. Сколько удачных пар гарантированно сможет взять Даня, если он ходит первым?

6. Денис заполнил клетки фигуры, изображенной справа, использовав все цифры от 1 до 9 по разу так, что сумма цифр в каждой строке и в каждом столбце равна 13. Какое число могло быть записано в клетке, отмеченной знаком вопроса? Укажите все варианты.

7. Арина выписала последовательность-палиндром из 100 букв. Букву «П» она использовала 54 раза, букву «О» — 28 раз, а букву «Ш» — 18 раз. После того как Арина зачеркнула последние 34 буквы, новая последовательность снова оказалось палиндромом. Можно ли узнать какая буква стоит на 33 месте? Палиндром — это последовательность, которая читается слева направо и справа налево одинаково.

8. 2024 ученика встали в хоровод вокруг ёлки, лицом в центр круга. По команде Деда Мороза каждый из них повернулся на 90 градусов вправо или влево. Оказалось, что 678 пар соседей смотрят друг на друга. После этого по команде Снегурочки каждый ученик повернулся на 180 градусов. Сколько теперь в кругу пар соседей, которые смотрят друг на друга?

7 класс

1. Дим Димыч написал в своей тетради некоторую положительную дробь, а затем увеличил ее числитель на 2024. Получившаяся дробь оказалась на 2 больше, чем исходная. Приведите пример дроби, которую Дим Димыч мог записать в своей тетради.

2. Квадрат какой наименьшей площади можно составить из нескольких фигур, показанных на рисунке ниже, так, чтобы фигурок каждого типа было поровну?

3. Квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷 разделен отрезком 𝐸𝐹 на два прямоугольника 𝐴𝐸𝐹 𝐷 и 𝐵𝐶𝐹 𝐸. Длины сторон обоих прямоугольников выражаются натуральными числами. Известно, что площадь прямоугольника 𝐴𝐸𝐹 𝐷 равна 30, и она больше площади прямоугольника 𝐵𝐶𝐹 𝐸. Найдите площадь исходного квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷.

4. Полина разложила 50 различных карт поровну по пяти стопкам и загадала одну из них. Женя может задавать вопросы, ответы на которые только «да» или «нет». Сможет ли Женя за 6 вопросов узнать, какую именно карту загадала Полина? Полина знает расположение всех карт в стопках, а Женя — нет. Жене достаточно указать на загаданную Полиной карту, а не назвать ее в явном виде.

5. В четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 стороны 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 и диагональ 𝐴𝐶 равны. Найдите угол ∠𝐴𝐷𝐵, если известно, что угол ∠𝐴𝐵𝐶 = 70∘ .

6. Оля выписала на доску 153 числа. Посмотрев на выписанные числа, Никита сказал: «Каждое из выписанных чисел имеет имеет общий делитель, больший 1, с одним, тремя, семью или тринадцатью из оставшихся». Докажите, что он ошибся.

7. Аня и Ваня играют в игру на доске 101 × 101. За один ход Аня ставит на доску девятиклеточный крест, а Ваня — пятиклеточный крест (см. рисунок) так, чтобы никакие две фигуры не накладывались, и никакая фигура не выходила за пределы доски. Первой ходит Аня. Тот, у кого нет хода, проигрывает. У кого из ребят есть выигрышная стратегия?

8. На доске написаны числа 7 2 , 8 2 , 9 2 , . . . , 20232 , 20242 . Можно ли к одному из них прибавить 7, к одному из остальных прибавить 8, . . . , к последнему прибавить 2024 так, чтобы все числа оказались простыми?

Смотрите олимпиаду по математике

Школьный этап 2024 олимпиада по математике задания и ответы 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс ВСОШ

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ