Автор Заключительный этап 2025 всероссийской олимпиады школьников по математике задания, ответы и решения для 9, 10, 11 класса. Данная олимпиада прошла у финалистов 21-27 апреля 2025 года. Индивидуальные результаты участников заключительного этапа вы можете посмотреть на официальном сайте ВСОШ.
Сборник содержит материалы для проведения заключительного этапа LI Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задания подготовлены Центральной предметно-методической комиссией по математике Всероссийской олимпиады школьников.
Задания и решения заключительного этапа 2025
vos-zakl-mat-2025-olimpiada9.1 На прямоугольном листе бумаги провели несколько отрезков, параллельных его сторонам. Эти отрезки разбили лист на несколько прямоугольников, внутри которых нет проведённых линий. Петя хочет провести в каждом из прямоугольников р биения одну диагональ, разбив его на два треугольника, и окрасить каждый треугольник либо в чёрный, либо в белый цвет. Верно ли, что он обязательно сможет это сделать так, чтобы никакие два одноцветных треугольника не имели общего отрезка границы?
9.2 Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Е. Точки касания описанных окружностей треугольниk0B АВЕ и CDE сих общими внешними касательными лежат Ha окружности ш. Точки касания описанных окружностей треугольников ADE и ВСЕ их общими внешними касательными лежат на окружности . Докажите, что центры окружностей w и y совпадают.
9.4 Шахматного короля поставили на клетку доски 8 х 8 и сделали им 64 хода так, что он побывал на всех клетках и вернулся B исходную клетку. В каждый момент времени вычислялось расстояние от центра клетки, в которой находился король, до центра всей доски. Назовём сделанный ход приятным, если в результате хода это расстояние стало меньше, чем было до хода. Найдите наибольшее возможное количество приятных ходов. (Шахматный король за один ход передвигается на клетку, соседнюю по стороне или по углу.)
10.7 В программу соревнования входит 25 видов спорта, в каждом из которых определяется один победитель, получающий золотую медаль. В соревновании участвуют 25 спортсменов, каждый — во всех 25 видах спорта. Имеется 25 экспертов, каждый из которых должен сделать прогноз, сколько золотых медалей получит каждый спортсмен, при этом в его прогнозе количества медалей должны являться целыми неотрицательными числами с суммой 25. Эксперта признают компетентным, если он верно угадает количество золотых медалей хотя бы у одного спортсмена. При каком наибольшем & эксперты могут сделать такие прогнозы, что хотя бы & из них будут признаны компетентными независимо от исхода соревнования.
11.4 Дано натуральное число N. Куб со стороной 2N + 1 сложен из (2N + 1)3 единичных кубиков, каждый из которых — либо чёрный, либо белый. Оказалось, что среди любых 8 кубиков, имеющих общую вершину и образующих куб 2 х 2 х 2, не более 4 чёрных кубиков. Какое наибольшее количество чёрных кубиков могло быть использовано?
11.5 Дано натуральное число п. Натуральные числа 1, 2,…,п выписывают на доске в строчку в некотором порядке. У каждых двух стоящих рядом чисел вычисляют их НОД (наибольший общий делитель) и записывают этот НОД на листке. Какое наибольшее количество различных чисел может быть среди всех п — 1 выписанных на листке чисел?
11.6. По кругу выписаны 100 единиц. Петя и Вася играют в игру, каждый делает по 1010 ходов. Петя каждым своим ходом выбирает 9 стоящих подряд чисел и уменьшает каждое из них на 2. Вася каждым своим ходом выбирает 10 стоящих подряд чисел и увеличивает каждое 13 них на 1. Ребята ходят по очереди, начинает Петя. Докажите, что Вася сможет действовать Tak, чтобы после каждого его хода среди 100 выписанных чисел было не менее пяти положительных, как бы ни играл Петя.
Смотрите на сайте: