Автор Тренировочная зимняя олимпиада по математике для 7, 8, 9, 10, 11 класса задания и ответы для подготовки к региональному этапу всероссийской олимпиады школьников ВСОШ по математике 2023-2024 учебный год.
Скачать задания для 7-8 класса
Задания и ответы для 7-8 класса
Eyler_pervaya_trenirovochnaya_olimpiada_20241. Двигаясь из пункта А в пункт Б со скоростью 70 км/ч, автобус попал под дождевую тучу, которая двигалась вдоль трассы в ту же сторону, что и этот автобус (и медленнее его). Встречный автобус, ехавший из Б в А с той же скоростью, пробыл под дождем в три раза меньше, чем первый автобус. С какой скоростью двигалась туча?
2. По кругу сидят 75 Дедов Морозов и 75 Снегурочек. Для каждого Деда Мороза оказалось, что среди 12 следующих за ним по часовой стрелке людей Дедов Морозов столько же, сколько и среди 12 предыдущих людей. Могло ли так оказаться, что для каждой Снегурочки аналогичные количества Дедов Морозов отличаются ровно на 1?
3. Дано 6 простых чисел 𝑝1 , 𝑝2 , …, 𝑝6 таких, что 𝑝𝑖+1 = 2𝑝𝑖 + 1. Может ли сумма попарных произведений этих чисел быть степенью простого числа?
4. Точка 𝑀 — середина стороны 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 выбраны точки 𝑋 и 𝑌 соответственно так, что ∠𝑋𝑀𝑌 = 90∘ . Докажите, что 𝐴𝑀 − 𝑀𝑋 > 𝐶𝑌 − 𝑌𝑋.
5. На занятии кружка было выдано 𝑘 задач. Оказалось, что при любом разбиении всех участников кружка на две (непустые) группы найдется такой набор задач, что любой член одной из групп решил четное число из этих задач, а любой член другой группы — нечетное. Какое наибольшее число участников могло быть в этом кружке?
Задания и ответы для 9 класса
9_klass_pervaya_trenirovochnaya_olimpiada_20241. Каждое из натуральных чисел от 1 до 56 включительно покрасили в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный. Докажите, что найдутся 4 чётных одноцветных числа такие, что если их все уменьшить на 1, то получатся 4 нечётных одноцветных числа.
2. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝑀 — середина стороны 𝐴𝐵, точка 𝐻 — основание высоты из 𝐴 на 𝐵𝐶. Известно, что 𝐵𝐻 = 2𝐶𝐻. Точка 𝑃 на описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 такова, что 𝐴𝑃 ∥ 𝐵𝐶. Докажите, что 𝑃𝑀 ∥ 𝐴𝐻.
3. Положительные числа 𝑥, 𝑦, 𝑧 таковы, что 1 𝑥 + 𝑦 + 1 𝑦 + 𝑧 + 1 𝑧 + 𝑥 = 1. Докажите, что 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑥𝑦𝑧 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 ⩾ 4.
4. Для натурального 𝑛 рассмотрим числа 𝑛!+1, 𝑛!+2, …, 𝑛!+𝑛. Докажите, что у каждого из них найдётся простой делитель, на который не делится ни одно из остальных чисел.
5. В государстве 100 городов, между некоторыми парами из них курсирует экспресс (в обе стороны). Всего экспрессов 1000, и для любого из них цены билетов «туда» и обратно» равны. Известно, что из каждого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками) не более, чем за 1000 тугриков. Путешественник хочет объехать все города (возможно, побывав в некоторых из них несколько раз) и вернуться в исходный город. Какое наименьшее количество тугриков ему надо иметь, чтобы гарантированно осуществить задуманное?
Задания и ответы для 10 класса
10_klass_pervaya_trenirovochnaya_olimpiada_20241. В секцию по шахматам ходит 17 человек. В течение месяца каждый из них организовывал один мини-турнир, на который приглашал несколько (хотя бы одного, но не всех) участников секции. Все пришедшие на турнир, в том числе и организатор, играли в один круг (каждый с каждым ровно один раз). Могло ли так получиться, что для некоторого натурального 𝑛, после всех 17 мини-турниров, любые два человека из секции сыграли ровно 𝑛 партий между собой?
2. Между каждыми двумя из четырёх городов 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝐷 проложена железная дорога. Стоимость проезда между любыми двумя городами фиксирована, но может зависеть от направления (например стоимость проезда от города 𝐴 до города 𝐵 может отличаться от стоимости проезда от 𝐵 до 𝐴). Известно, что любой прямой переезд между городами дешевле, чем проезжать через другой город или города. Суммарная стоимость всех четырёх переездов по маршруту 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 𝐷 → 𝐴 равна 1000 рублей. Докажите, что суммарная стоимость четырёх переездов в обратном направлении 𝐴 → 𝐷 → 𝐶 → 𝐵 → 𝐴 не превосходит 3000 рублей.
3. Для натурального 𝑛 рассмотрим числа 𝑛!+1, 𝑛!+2, …, 𝑛!+𝑛. Докажите, что у каждого из них найдётся простой делитель, на который не делится ни одно из остальных чисел.
4. В каждой клетке таблицы 100 × 100 написано натуральное число. За одну операцию разрешается все 100 чисел в некоторой строке или некотором столбце увеличить на 1. Известно, что за несколько таких операций возможно получить таблицу, в каждой клетке которой будет записано число делящееся на 101. Докажите, что тогда таблицу, в каждой клетке которой будет написано число делящееся на 101, можно получить не более, чем за 10000 операций.
5. Диагонали четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, вписанного в окружность 𝛺, перпендикулярны. Точка 𝑀 — середина диагонали 𝐵𝐷. Прямая 𝐴𝑀 повторно пересекает 𝛺 в точке 𝐸. Точки 𝑋, 𝑌 и 𝑍 симметричны точке 𝑀 относительно прямых 𝐶𝐷, 𝐶𝐴 и 𝐶𝐵 соответственно. Докажите, что середины отрезков 𝐵𝑋, 𝐸𝑌, 𝐷𝑍 и 𝐶𝑀 лежат на одной окружности.
Задания и ответы для 11 класса
11_klass_pervaya_trenirovochnaya_olimpiada_20241. Между каждыми двумя из трёх городов 𝐴, 𝐵 и 𝐶 проложена железная дорога. Стоимость проезда между любыми двумя городами фиксирована, но может зависеть от направления (например стоимость проезда от города 𝐴 до города 𝐵 может отличаться от стоимости проезда от 𝐵 до 𝐴). Известно, что любой прямой переезд между городами дешевле, чем проезжать через другой город или города. Суммарная стоимость всех трёх переездов по маршруту 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 𝐴 равна 1000 рублей. Докажите, что суммарная стоимость трёх переездов в обратном направлении 𝐴 → 𝐶 → 𝐵 → 𝐴 не превосходит 2000 рублей.
2. Положительные числа 𝑥, 𝑦, 𝑧 таковы, что 1 𝑥 + 𝑦 + 1 𝑦 + 𝑧 + 1 𝑧 + 𝑥 = 1. Докажите, что 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑥𝑦𝑧 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 ⩾ 4.
3. В ряд стоят 35 школьников (все они смотрят в одну сторону). Каждый из них посчитал сумму количества мальчиков слева от него и количество девочек справа от него. Среди получившихся 35 чисел ровно 5 встретились нечётное число раз. Найдите сумму этих 5 чисел.
4. Диагонали четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, вписанного в окружность 𝛺, перпендикулярны. Точка 𝑀 — середина диагонали 𝐵𝐷. Прямая 𝐴𝑀 повторно пересекает 𝛺 в точке 𝐸. Точки 𝑋, 𝑌 и 𝑍 симметричны точке 𝑀 относительно прямых 𝐶𝐷, 𝐶𝐴 и 𝐶𝐵 соответственно. Докажите, что середины отрезков 𝐵𝑋, 𝐸𝑌, 𝐷𝑍 и 𝐶𝑀 лежат на одной окружности.
5. В каждой клетке бесконечной клетчатой плоскости написано натуральное число. Докажите, что можно закрасить несколько клеток так, чтобы • каждая закрашенная клетка граничила ровно с двумя другими закрашенными; • с помощью переходов из закрашенной клетки в соседнюю по стороне закрашенную клетку, можно было бы добраться из любой закрашенной в любую другую; • сумма чисел в закрашенных клетках делилась бы на 2024.
Региональный этап 2023 по математике 9, 10, 11 класс задания и ответы
Региональный этап 2023 по математике 9, 10, 11 класс задания и ответы олимпиады