Автор Ответы и решения для заданий олимпиады по математике для 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 класса пригласительного школьного этапа 2023-2024 всероссийской олимпиады школьников ВСОШ, которая прошла 18-19 мая 2023 года на платформе сайта «Сириус Курсы».
Пригласительный этап 2023 олимпиада по математике 3 класс Сириус
1.Маша выкладывает цифры из спичек, как показано на рисунке:
У девочки получилось неверное арифметическое равенство. Уберите две спички так, чтобы оно стало верным. Чтобы выбрать спичку, просто нажмите на неё.
Ответ: посмотреть
1.1.Маша выкладывает цифры из спичек, как показано на рисунке:
У девочки получилось неверное арифметическое равенство. Уберите две спички так, чтобы оно стало верным. Чтобы выбрать спичку, просто нажмите на неё.
Ответ: посмотреть
1.3. Гоша выкладывает цифры из спичек, как показано на рисунке:
У мальчика получилось неверное арифметическое равенство. Уберите две спички так, чтобы оно стало верным. Чтобы выбрать спичку, просто нажмите на неё.
Ответ: посмотреть
1.4. Маша выкладывает цифры из спичек, как показано на рисунке:
У девочки получилось неверное арифметическое равенство. Уберите две спички так, чтобы оно стало верным. Чтобы выбрать спичку, просто нажмите на неё.
Ответ: посмотреть
2.У Пети была пирамидка из семи разноцветных кубиков. Петя снимал по одному кубику сверху и построил две пирамидки из трёх и из четырёх кубиков, как показано на рисунке.
Как изначально могли стоять кубики? Выберите все возможные варианты.
Ответ: посмотреть
2.1. У Пети была пирамидка из семи разноцветных кубиков. Петя снимал по одному кубику сверху и построил две пирамидки из трёх и из четырёх кубиков, как показано на рисунке.
Как изначально могли стоять кубики? Выберите все возможные варианты.
Ответ: посмотреть
2.2. У Пети была пирамидка из семи разноцветных кубиков. Петя снимал по одному кубику сверху и построил две пирамидки из трёх и из четырёх кубиков, как показано на рисунке.
Как изначально могли стоять кубики? Выберите все возможные варианты.
Ответ: посмотреть
2.3. У Пети была пирамидка из семи разноцветных кубиков. Петя снимал по одному кубику сверху и построил две пирамидки из трёх и из четырёх кубиков, как показано на рисунке.
Как изначально могли стоять кубики? Выберите все возможные варианты.
Ответ: посмотреть
3.У гнома Бинго есть пять носков, показанных на рисунке. Бинго может пойти гулять только в тех носках, которые имеют два общих цвета. Кошка стащила у Бинго один носок, и теперь гном не может найти подходящую пару для прогулки. Какой носок стащила кошка?
Ответ: посмотреть
3.1. У гнома Бинго есть пять носков, показанных на рисунке. Бинго может пойти гулять только в тех носках, которые имеют два общих цвета. Кошка стащила у Бинго один носок, и теперь гном не может найти подходящую пару для прогулки. Какой носок стащила кошка?
Ответ: посмотреть
3.2. У гнома Бинго есть пять носков, показанных на рисунке. Бинго может пойти гулять только в тех носках, которые имеют два общих цвета. Кошка стащила у Бинго один носок, и теперь гном не может найти подходящую пару для прогулки. Какой носок стащила кошка?
Ответ: посмотреть
3.3. У гнома Бинго есть пять носков, показанных на рисунке. Бинго может пойти гулять только в тех носках, которые имеют два общих цвета. Кошка стащила у Бинго один носок, и теперь гном не может найти подходящую пару для прогулки. Какой носок стащила кошка?
Ответ: посмотреть
4.Юный фотограф Васечка фотографировал изображения фруктов в зеркале, а потом потерял одну фотографию. Вот что осталось:
Фотографии какого фрукта теперь нет у Васечки?
Ответ: посмотреть
4.1. Юный фотограф Васечка фотографировал изображения фруктов в зеркале, а потом потерял одну фотографию. Вот что осталось:
Фотографии какого фрукта теперь нет у Васечки?
Ответ: посмотреть
4.2.Юный фотограф Васечка фотографировал изображения фруктов в зеркале, а потом потерял одну фотографию. Вот что осталось:
Фотографии какого фрукта теперь нет у Васечки?
Ответ: посмотреть
4.5. Юный фотограф Васечка фотографировал изображения фруктов в зеркале, а потом потерял одну фотографию. Вот что осталось:
Фотографии какого фрукта теперь нет у Васечки?
Ответ: посмотреть
5.Винтик хочет распилить замысловатую деталь (как на рисунке) двумя прямыми разрезами на несколько частей.Сколько частей у него может получиться?
Примечание. Разрез — прямая, а не отрезок.5 6 7 8 9 10
Ответ: посмотреть
5.1. Кот Леопольд испёк на свой день рождения прямоугольный торт. Но мыши сгрызли часть, и получился торт такой же формы, как на рисунке. Леопольд ждёт гостей и хочет двумя прямыми разрезами разделить получившийся торт на несколько частей.Сколько частей у него может получиться?
Примечание. Разрез — прямая, а не отрезок.5 6 7 8 9 10
Ответ: посмотреть
5.2. Кот Леопольд испёк на свой день рождения прямоугольный торт. Но мыши сгрызли часть, и получился торт такой же формы, как на рисунке. Леопольд ждёт гостей и хочет двумя прямыми разрезами разделить получившийся торт на несколько частей. Сколько частей у него может получиться?
Примечание. Разрез — прямая, а не отрезок.5 6 7 8 9 10
Ответ: посмотреть
5.3. Винтик хочет распилить замысловатую деталь (как на рисунке) двумя прямыми разрезами на несколько частей.На сколько частей он сможет распилить?
Примечание. Разрез — прямая, а не отрезок.
7 8 9 10 11 12
6.На верёвке сушились перчатки на левую и правую руки. На одну из перчаток на левую руку села бабочка, а на одну из перчаток на правую руку (правее бабочки) приземлилась стрекоза. Петя сосчитал, что справа от бабочки висит ровно 3 пары перчаток (и больше ничего лишнего), а слева от стрекозы — ровно 4 пары перчаток (и больше ничего лишнего). Сколько всего могло висеть перчаток на верёвке, если все левые перчатки абсолютно одинаковые и все правые тоже абсолютно одинаковые? Выберите все верные варианты.
9 10 11 12 14 15 17
Ответ: посмотреть
6.1. На верёвке сушились перчатки на левую и правую руки. На одну из перчаток на левую руку села бабочка, а на одну из перчаток на правую руку (левее бабочки) приземлилась стрекоза. Петя сосчитал, что слева от бабочки висит ровно 6 пар перчаток (и больше ничего лишнего), а справа от стрекозы — ровно 3 пары перчаток (и больше ничего лишнего). Сколько всего могло висеть перчаток на верёвке, если все левые перчатки абсолютно одинаковые и все правые тоже абсолютно одинаковые? Выберите все верные варианты.10 12 13 14 15 17 18
Ответ: посмотреть
6.2. На верёвке сушились перчатки на левую и правую руки. На одну из перчаток на левую руку села бабочка, а на одну из перчаток на правую руку (правее бабочки) приземлилась стрекоза. Петя сосчитал, что справа от бабочки висит ровно 5 пар перчаток (и больше ничего лишнего), а слева от стрекозы —— ровно 4 пары перчаток (и больше ничего лишнего). Сколько всего могло висеть перчаток на верёвке, если все левые перчатки абсолютно одинаковые и все правые тоже абсолютно одинаковые? Выберите все верные варианты.10 12 13 14 15 17 18
Ответ: посмотреть
7.Винни-Пух, Пятачок и Кролик тянули жребий (три палочки разной длины).
- Пятачок сказал: «У меня самая длинная палочка!».
- Винни-Пух сказал: «А у меня длиннее, чем у Пятачка!».
Кому какая палочка досталась, если все сказали неправду?
| Винни-Пух | Самая короткая |
| Кролик | Средняя |
| Пятачок | Самая длинная |
Ответ: посмотреть
7.1. Ваня, Саша и Маша тянули жребий (три палочки разной длины).
- Ваня сказал: «У Саши самая длинная палочка!».
- Саша сказал: «Нет, у меня короче, чем у Вани!».
Кому какая палочка досталась, если все сказали неправду?
| Маша | Самая короткая |
| Саша | Средняя |
| Ваня | Самая длинная |
Ответ: посмотреть
7.2. Гарри, Рон и Невилл тянули жребий (три палочки разной длины).
- Рон сказал: «У меня самая короткая палочка!».
- Невилл сказал: «А у меня короче, чем у Рона!».
Кому какая палочка досталась, если все сказали неправду?
| Гарри | Самая короткая |
| Рон | Средняя |
| Невилл | Самая длинная |
Ответ: посмотреть
7.3. Ёжик, Крош и Нюша сорвали три яблока разного размера.
- Крош сказал: «У Ёжика самое большое яблоко!».
- Ёжик сказал: «Нет, у меня меньше, чем у Нюши!».
Кому какое яблоко досталось, если все сказали неправду?
| Ежик | Самая короткая |
| Крош | Средняя |
| Нюша | Самая длинная |
Ответ: посмотреть
8.Когда в Москве полдень, в Омске 3 часа дня (15:00). Поезд вышел из Москвы 20 апреля в 8 вечера (20:00) и прибыл в Омск 22 апреля в 9 часов утра. Когда этот же поезд приедет в Москву, если отправится из Омска 23 апреля в 10 часов утра? Время везде местное. Путь поезда в обе стороны занимает одинаковое время.
20 апреля 21 апреля 22 апреля 23 апреля 24 апреля 25 апреля 26 апреля в —:—
Ответ: посмотреть
8.1. Когда в Москве полдень, в Красноярске 4 часа дня (16:00). Поезд вышел из Москвы в 7 утра в понедельник и прибыл в Красноярск в среду в 9 часов вечера (в 21:00). Когда этот же поезд приедет в Москву, если отправится из Красноярска в четверг в 9 часов утра? Время везде местное. Путь поезда в обе стороны занимает одинаковое время.В понедельник вторник среду четверг пятницу субботу воскресенье в —:—
Ответ: посмотреть
8.2. Когда в Москве полдень, в Иркутске 5 часов дня (17:00). Поезд вышел из Иркутска в понедельник в 10 утра (10:00) и прибыл в Москву в четверг в 3 часа дня (15:00). Когда этот же поезд приедет в Иркутск, если отправится обратно из Москвы в пятницу в 8 часов утра? Время везде местное. Путь поезда в обе стороны занимает одинаковое время.В понедельник вторник среду четверг пятницу субботу воскресенье в —:—
Ответ: посмотреть
Пригласительный этап 2023 олимпиада по математике 4 класс Сириус
1.У гнома Бинго есть шесть носков, показанных на рисунке. Бинго может пойти гулять только в тех носках, которые имеют два общих цвета. Кошка стащила у Бинго два носка, и теперь он не может найти подходящую пару для прогулки. Какие носки стащила кошка?
Ответ: посмотреть
1.1.У гнома Бинго есть шесть носков, показанных на рисунке. Бинго может пойти гулять только в тех носках, которые имеют два общих цвета. Кошка стащила у Бинго два носка, и теперь он не может найти подходящую пару для прогулки. Какие носки стащила кошка?
Ответ: посмотреть
1.2.У гнома Бинго есть шесть носков, показанных на рисунке. Бинго может пойти гулять только в тех носках, которые имеют два общих цвета. Кошка стащила у Бинго два носка, и теперь он не может найти подходящую пару для прогулки. Какие носки стащила кошка?
Ответ: посмотреть
2.Саша с Колей играли в «Морской бой» на поле 10×10 клеток. В игре у каждого 44 однопалубных корабля (□), 3 двухпалубных (□□), 2 трёхпалубных (□□□) и 1 четырёхпалубный (□□□□). Корабли расставляются каждым игроком на своём поле так, чтобы они не соприкасались даже углами. Называя по очереди клетки поля, игрокам нужно определить, где находятся корабли соперника. На рисунке синим цветом показаны некоторые корабли Саши, которые обнаружил Коля. Крестиками отмечены клетки, которые Коля уже называл, но кораблей там не оказалось. Какую клетку нужно назвать Коле, чтобы гарантировано попасть в Сашин корабль, положение которого ещё неизвестно? Нажмите на эту клетку.
Ответ: посмотреть
2.1. Саша с Колей играли в «Морской бой» на поле 10×10 клеток. В игре у каждого 4 однопалубных корабля (□), 3 двухпалубных (□□), 2 трёхпалубных (□□□) и 1 четырёхпалубный (□□□□). Корабли расставляются каждым игроком на своём поле так, чтобы они не соприкасались даже углами. Называя по очереди клетки поля, игрокам нужно определить, где находятся корабли соперника. На рисунке синим цветом показаны некоторые корабли Саши, которые обнаружил Коля. Крестиками отмечены клетки, которые Коля уже называл, но кораблей там не оказалось. Какую клетку нужно назвать Коле, чтобы гарантировано попасть в Сашин корабль, положение которого ещё неизвестно? Нажмите на эту клетку.
Ответ: посмотреть
2.2. Саша с Колей играли в «Морской бой» на поле 10×10 клеток. В игре у каждого 4 однопалубных корабля (□), 3 двухпалубных (□□), 2 трёхпалубных (□□□) и 1 четырёхпалубный (□□□□). Корабли расставляются каждым игроком на своём поле так, чтобы они не соприкасались даже углами. Называя по очереди клетки поля, игрокам нужно определить, где находятся корабли соперника. На рисунке синим цветом показаны некоторые корабли Саши, которые обнаружил Коля. Крестиками отмечены клетки, которые Коля уже называл, но кораблей там не оказалось. Какую клетку нужно назвать Коле, чтобы гарантировано попасть в Сашин корабль, положение которого ещё неизвестно? Нажмите на эту клетку.
Ответ: посмотреть
2.3. Саша с Колей играли в «Морской бой» на поле 10×10 клеток. В игре у каждого 4 однопалубных корабля (□), 3 двухпалубных (□□), 2 трёхпалубных (□□□) и 1 четырёхпалубный (□□□□). Корабли расставляются каждым игроком на своём поле так, чтобы они не соприкасались даже углами. Называя по очереди клетки поля, игрокам нужно определить, где находятся корабли соперника. На рисунке синим цветом показаны некоторые корабли Саши, которые обнаружил Коля. Крестиками отмечены клетки, которые Коля уже называл, но кораблей там не оказалось. Какую клетку нужно назвать Коле, чтобы гарантировано попасть в Сашин корабль, положение которого ещё неизвестно? Нажмите на эту клетку.
Ответ: посмотреть
3.Бабушка вышивает имена своих внуков на их полотенцах. Имя «АННА» она вышила за 20 минут, а имя «ЛИНА» — за 16 минут. На одинаковые буквы она тратит одинаковое время, на разные — возможно, разное. За какое время она вышьет имя «ЛИЛИ»?
Ответ выразите в минутах.
Ответ: посмотреть
3.1. Бабушка вышивает имена своих внуков на их полотенцах. Имя «ЛАНА» она вышила за 15 минут, а имя «АЛЛА» — за 12 минут. На одинаковые буквы она тратит одинаковое время, на разные — возможно, разное. За какое время она вышьет имя «НАНА»?
Ответ выразите в минутах.
Ответ: посмотреть
3.2. Машенька подписывает красивыми буквами подарки на Новый год. «МАМА» она написала за 12 минут, а имя «МИЛА» — за 8 минут. На одинаковые буквы она тратит одинаковое время, на разные — возможно, разное. За какое время она надпишет имя «ЛИЛИ»?
Ответ выразите в минутах.
3.3. Петя учит своего кота читать и для этого делает ему таблички со словами, выжигая их. Слово «МАМА» он выжег за 20 минут, а слово «МИСКА» —— за 35 минут. На одинаковые буквы он тратит одинаковое время, на разные —— возможно, разное. За какое время он выжжет «КИС КИС»?
Ответ выразите в минутах.
4.На острове рыцарей, которые всегда говорят правду, и лжецов, которые всегда лгут, построили пятиэтажное здание. На каждом этаже поселился один жилец. Однажды каждый из них сделал одно и то же заявление:«Ниже меня живёт больше лжецов, чем рыцарей выше меня!»Сколько рыцарей может жить в этом здании?
Ответ: посмотреть
4.1.На острове рыцарей, которые всегда говорят правду, и лжецов, которые всегда лгут, построили шестиэтажное здание. На каждом этаже поселился один жилец. Однажды каждый из них сделал одно и то же заявление:«Выше меня живёт меньше лжецов, чем рыцарей ниже меня!»Сколько лжецов может жить в этом здании?
Ответ: посмотреть
5.В верном равенстве заменили одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные цифры — разными буквами. Получилось П + О + Б + Е + Д + И + Ш + Ь = АА. Чему может быть равно А?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Ответ: посмотреть
5.1. В верном равенстве заменили одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные цифры −− разными буквами. Получилось С + У + П + Е + Р + К + Л + А + Д == АА.Чему может быть равно А?1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Ответ: посмотреть
5.2.В верном равенстве заменили одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные цифры —— разными буквами. Получилось Г + Р + А + Д + У + С + Н + И + К == ИИ. Чему может быть равно И?1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Ответ: посмотреть
6.Лист бумаги сложили гармошкой, как показано на рисунке, а затем ещё пополам по пунктирной линии. После чего разрезали всю получившуюся квадратную стопку по диагонали.
Сколько кусочков бумаги получилось после этого?
Ответ: посмотреть
6.1. Лист бумаги сложили гармошкой, как показано на рисунке, а затем ещё пополам по пунктирной линии. После чего разрезали всю получившуюся квадратную стопку по диагонали.
Сколько кусочков бумаги получилось после этого?
Ответ: посмотреть
7.На планете Мон-Каламари в ходу датарии, фланы и пеггаты. При этом 1 датарий можно поменять на 1 флан или на 1 пеггат, 1 флан — на 2 датария, а 1 пеггат — на 4 датария. Никакие другие обмены не разрешены. Мерай, имея изначально 1 датарий, совершил 20 обменов, и теперь у него 25 датариев (и никаких других денег). Сколько раз он менял фланы на датарии?
Ответ: посмотреть
7.1 На Туманной планете в ходу сантики, кубрики и тугрики. При этом 1 сантик можно поменять на 1 кубрик или на 1 тугрик, 1 кубрик − на 3 сантика, а 1 тугрик −− на 4 сантика. Никакие другие обмены не разрешены. Весельчак У, имея изначально 11 сантик, совершил 20 обменов, и теперь у него 25 сантиков (и никаких других денег). Сколько раз он менял кубрики на сантики?
Ответ: посмотреть
7.2. В городе Абра-Кодабра в ходу фунтики, тубрики и сантики. При этом 1 1 фунтик можно поменять на 1 тубрик или на 1 сантик, 1 тубрик — на 5 фунтиков, а 1 сантик — на 2 фунтика. Никакие другие обмены не разрешены. Лунтик, имея изначально 1 фунтик, совершил 24 обмена, и теперь у него 40 фунтиков (и никаких других денег). Сколько раз он менял тубрики на фунтики?
Ответ: посмотреть
7.3.В автомате есть жетоны, фантики и марки. Автомат может поменять 1 жетон на 1 фантик или 1 марку, а также 1 марку на 2 жетона или 1 фантик на 3 жетона. Никакие другие обмены автомат совершать не может. Незнайка, имея изначально 1 жетон, совершил 30 обменов, и теперь у него 20 жетонов (и больше ни фантиков, ни марок). Сколько раз он менял фантики на жетоны?
Ответ: посмотреть
8.Ослик Иа-Иа думает, что его часы отстают на 20 минут, но на самом деле они спешат на 15 минут. Он договорился с Пятачком о встрече на полянке в 10:00, а потом понял, что у него есть ещё дела и он выйдет на 30 мин позже, чем планировал. Во сколько на самом деле Иа-Иа придёт на встречу?
Ответ запишите в формате ЧЧ:ММ.
Ответ: посмотреть
8.1. Хемуль думает, что его часы спешат на 10 минут, но на самом деле они отстают на 15 минут. Он договорился со Снусмумриком о встрече на берегу реки в 14:00, а потом решил прийти раньше на 5 минут. Во сколько на самом деле Хемуль придёт на встречу?
Ответ запишите в формате ЧЧ:ММ.
Ответ: посмотреть
8.2. Доктор Ватсон думает, что его часы отстают на 5 минут, но на самом деле они спешат на 13 минут. Он договорился с Шерлоком Холмсом о встрече в 16:00, а потом позвонил и сказал, что не успевает и опоздает на 20 минут. Во сколько на самом деле Ватсон придёт на встречу?
Ответ запишите в формате ЧЧ:ММ.
Ответ: посмотреть
8.3. Почтальон Печкин думает, что его часы отстают на 10 минут, но на самом деле они спешат на 20 минут. Он договорился с Дядей Фёдором о встрече на почте в 12:00, а потом позвонил и сказал, что не успевает и опоздает на 17 минут. Во сколько на самом деле Печкин придёт на встречу?
Ответ запишите в формате ЧЧ:ММ.
Ответ: посмотреть
Пригласительный этап 2023 олимпиада по математике 5 класс Сириус
1.Фигура разделена на 7 равных квадратов и несколько прямоугольников. Периметр прямоугольника А равен 112 см.
Чему равен периметр прямоугольника Б? Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ: Смотреть
1.1.Фигура разделена на 7 равных квадратов и несколько прямоугольников. Периметр прямоугольника А равен 126 см.Чему равен периметр прямоугольника Б? Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ: Смотреть
1.2. Фигура разделена на 7 равных квадратов и несколько прямоугольников. Периметр прямоугольника А равен 116 см.Чему равен периметр прямоугольника Б? Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ: Смотреть
2.На стене висит раскраска в виде треугольника из кружочков.Сколькими способами можно раскрасить её так, чтобы в итоге в ней было 4 синих, 1 зелёный и 1 красный кружочек? Поворачивать картинку нельзя.
Ответ: Смотреть
2.1.На стене висит раскраска в виде ромбиков.Сколькими способами можно раскрасить её так, чтобы в итоге в ней было 4 синих, 1 жёлтый и 1 коричневый ромбик? Поворачивать картинку не
Ответ: Смотреть
2.2. На стене висит раскраска в виде квадратиков.Сколькими способами можно раскрасить её так, чтобы в итоге в ней было 4 жёлтых, 1 зелёный и 1 синий квадратик? Поворачивать картинку нельзя.
Ответ: Смотреть
2.3. На стене висит раскраска в виде треугольничков.Сколькими способами можно раскрасить её так, чтобы в итоге в ней было 4 зелёных, 1 красный и 1 синий треугольник? Поворачивать картинку нельзя.
Ответ: Смотреть
3.Шнур разделили на 19 равных частей и сложили змейкой. После этого сделали разрез по пунктирной линии. Шнур распался на 20 кусков: самый длинный из них — 10 метров, самый короткий — 2 метра.
Чему была равна длина шнура до того, как его разрезали? Ответ выразите в метрах.
Ответ: Смотреть
4.На рисунке изображены 8 костяшек домино, на последней из которых стёрлись точки.
Известно, что все костяшки можно поместить в квадрат 4×4 так, что во всех строках количество точек будет одинаково (одна костяшка занимает 2 клетки). Какое максимальное количество точек могло быть на стёртой половинке?
0 1 2 3 4 5 6
Ответ: Смотреть
4.1. На рисунке изображены 8 костяшек домино, на последней из которых стёрлись точки.Известно, что все костяшки можно поместить в квадрат 4×4 так, что во всех строках количество точек будет одинаково (одна костяшка занимает 2 клетки). Какое минимальное количество точек могло быть на стёртой половинке?
0 1 2 3 4 5 6
Ответ: Смотреть
4.2. На рисунке изображены 8 костяшек домино, на последней из которых стёрлись точки.
Известно, что все костяшки можно поместить в квадрат 4×4 так, что во всех строках количество точек будет одинаково (одна костяшка занимает 2 клетки). Какое минимальное количество точек могло быть на стёртой половинке?
0 1 2 3 4 5 6
Ответ: Смотреть
4.3. На рисунке изображены 8 костяшек домино, на последней из которых стёрлись точки.
Известно, что все костяшки можно поместить в квадрат 4×4 так, что во всех строках количество точек будет одинаково (одна костяшка занимает 2 клетки). Какое минимальное количество точек могло быть на стёртой половинке?
0 1 2 3 4 5 6
Ответ: Смотреть
5.Из 125 кубиков сахара был выложен куб 5×5×5. Пончик выбрал все кубики, имеющие чётное число соседей, и съел их (соседними считаются те кубики, которые имеют общую грань). Сколько всего кубиков съел Пончик?
Ответ: Смотреть
5.1. Из 216 кубиков сахара был выложен куб 6×6×6. Пончик выбрал все кубики, имеющие чётное число соседей, и съел их (соседними считаются те кубики, которые имеют общую грань). Сколько всего кубиков съел Пончик?
Ответ: Смотреть
6.Катя записала десятизначное число, у которого все цифры различны. Затем каждую цифру девочка заменила на количество соседних цифр в числе, которые меньше неё. Какие из приведённых ниже последовательностей могли получиться в результате?
0111111120 0111111201 0201111201 1201201020
Ответ: Смотреть
6.1.Катя записала десятизначное число, у которого все цифры различны. Затем каждую цифру девочка заменила на количество соседних цифр в числе, которые меньше неё. Какие из приведённых ниже последовательностей могли получиться в результате?
0120201120 0210120111 1101101021 1111011111
Ответ: Смотреть
7.В выражении ОЛ * ИМ * П * ИА * ДА требуется поставить вместо звёздочек два знака плюс и два знака минус, а буквы заменить цифрами по правилу ребуса (одинаковые буквы —— одинаковыми цифрами, а разные —— разными). Какое наибольшее значение выражения можно получить таким образом? Первая цифра в двузначном числе должна быть отлична от нуля.
Ответ: Смотреть
7.1. В выражении К * АР * ТИ * НН * АЯ требуется поставить вместо звёздочек два знака плюс и два знака минус, а буквы заменить цифрами по правилу ребуса (одинаковые буквы —— одинаковыми цифрами, а разные —— разными). Какое наибольшее значение выражения можно получить таким образом? Первая цифра в двузначном числе должна быть отлична от нуля.
7.2. В выражении КР * ОС * СВ * ОР * Д требуется поставить вместо звёздочек два знака плюс и два знака минус, а буквы заменить цифрами по правилу ребуса (одинаковые буквы —— одинаковыми цифрами, а разные —— разными). Какое наибольшее значение выражения можно получить таким образом? Первая цифра в двузначном числе должна быть отлична от нуля.
8.Какие из приведённых четырёх фигур можно разрезать по линиям сетки на две части, из которых получится сложить квадрат 5×5? Фигурки можно поворачивать и переворачивать.
Ответ: Смотреть
8.1. Какие из приведённых четырёх фигур можно разрезать по линиям сетки на две части, из которых получится сложить квадрат 5×55×5? Фигурки можно поворачивать и переворачивать.
Ответ: Смотреть
8.2. Какие из приведённых четырёх фигур можно разрезать по линиям сетки на две части, из которых получится сложить квадрат 5×55×5? Фигурки можно поворачивать и переворачивать.
Пригласительный этап 2023 олимпиада по математике 6 класс Сириус
1.В коробке лежат конфеты трёх видов: шоколадные, леденцы и мармеладные. Всего 140 конфет. Если не считать мармеладные, то в коробке 110 конфет. Если не считать шоколадные, то получится количество, на 30 большее, чем количество всех конфет без леденцов. Сколько конфет каждого вида в коробке?
| Шоколадные | Леденцы | Мармеладные |
Ответ: Смотреть
1.1. В коробке лежат конфеты трёх видов: шоколадные, леденцы и мармеладные. Всего 120 конфет. Если не считать мармеладные, то в коробке 100 конфет. Если не считать шоколадные, то получится количество, на 40 большее, чем количество всех конфет без леденцов. Сколько конфет каждого вида в коробке?
| Шоколадные | Леденцы | Мармеладные |
Ответ: Смотреть
1.2. В коробке лежат конфеты трёх видов: шоколадные, леденцы и мармеладные. Всего 110 конфет. Если не считать мармеладные, то в коробке 100 конфет. Если не считать шоколадные, то получится количество, на 20 большее, чем количество всех конфет без леденцов. Сколько конфет каждого вида в коробке?
| Шоколадные | Леденцы | Мармеладные |
Ответ: Смотреть
1.3. В коробке лежат конфеты трёх видов: шоколадные, леденцы и мармеладные. Всего 130 конфет. Если не считать мармеладные, то в коробке 120 конфет. Если не считать шоколадные, то получится количество, на 20 большее, чем количество всех конфет без леденцов. Сколько конфет каждого вида в коробке?
| Шоколадные | Леденцы | Мармеладные |
Ответ: Смотреть
2.Учительница хотела записать на доске пример на вычисление:
2,05+2,15+2,25+2,4+2,5+2,6 + 2,75+2,85+2,95=?,но случайно забыла написать одну запятую. После этого Коля вышел к доске и, верно выполнив все действия, получил в результате целое число. Какое?
Ответ: Смотреть
2.1. Учительница хотела записать на доске пример на вычисление: 1,05+1,15+1,25+1,4+1,5+1,6 + 1,75+1,85+1,95=? , но случайно забыла написать одну запятую. После этого Коля вышел к доске и, верно выполнив все действия, получил в результате целое число. Какое?
Ответ: Смотреть
2.2. Учительница хотела записать на доске пример на вычисление:
3,05+3,15+3,25+3,4+3,5+3,6+ 3,75+3,85+3,95=? ,но случайно забыла написать одну запятую. После этого Коля вышел к доске и, верно выполнив все действия, получил в результате целое число. Какое?
Ответ: Смотреть
2.3.Учительница хотела записать на доске пример на вычисление: 4,05+4,15+4,25+4,4+4,5+4,6 + 4,75+4,85+4,95=? , но случайно забыла написать одну запятую. После этого Коля вышел к доске и, верно выполнив все действия, получил в результате целое число. Какое?
Ответ: Смотреть
3.На острове живут рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. Перед товарищеским матчем собрались 30 островитян в футболках, на которых написаны номера — произвольные натуральные числа.Каждый из них сказал:«У меня футболка с нечётным номером».После этого они обменялись футболками, и каждый сказал:«У меня футболка с чётным номером».Сколько рыцарей участвовало в обмене?
Ответ: Смотреть
3.1. На острове живут рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. Перед товарищеским матчем собрались 40 островитян в футболках, на которых написаны номера — произвольные натуральные числа.Каждый из них сказал:«У меня футболка с нечётным номером».После этого они обменялись футболками, и каждый сказал:«У меня футболка с чётным номером».Сколько рыцарей участвовало в обмене?
Ответ: Смотреть
3.2.На острове живут рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. Перед товарищеским матчем собрались 60 островитян в футболках, на которых написаны номера — произвольные натуральные числа.Каждый из них сказал:«У меня футболка с нечётным номером».После этого они обменялись футболками, и каждый сказал:«У меня футболка с чётным номером».Сколько рыцарей участвовало в обмене?
Ответ: Смотреть
3.3.На острове живут рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. Перед товарищеским матчем собрались 50 островитян в футболках, на которых написаны номера — произвольные натуральные числа.Каждый из них сказал:«У меня футболка с нечётным номером».После этого они обменялись футболками, и каждый сказал:«У меня футболка с чётным номером».Сколько рыцарей участвовало в обмене?
Ответ: Смотреть
4.Заяц и Волк бегут по кругу длиной 260 метров в одном направлении со скоростями 5 м/c и 3 м/с. Оказалось, что расстояние между ними ровно такое же, как было 50 секунд назад (расстояние измеряется по наименьшей из двух дуг). Каким может быть это расстояние?
40 метров 50 метров 60 метров 70 метров 80 метров 90 метров
Ответ: Смотреть
4.1. Заяц и Волк бегут по кругу длиной 280 метров в одном направлении со скоростями 5 м/c и 3 м/с. Оказалось, что расстояние между ними ровно такое же, как было 50 секунд назад (расстояние измеряется по наименьшей из двух дуг). Каким может быть это расстояние?
40 метров 50 метров 60 метров 70 метров 80 метров 90 метров
Ответ: Смотреть
4.2.Заяц и Волк бегут по кругу длиной 260 метров в одном направлении со скоростями 5 м/c и 3 м/с. Оказалось, что расстояние между ними ровно такое же, как было 40 секунд назад (расстояние измеряется по наименьшей из двух дуг). Каким может быть это расстояние?
40 метров 50 метров 60 метров 70 метров 80 метров 90 метров
Ответ: Смотреть
4.3.Заяц и Волк бегут по кругу длиной 200 метров в одном направлении со скоростями 5 м/c и 3 м/с. Оказалось, что расстояние между ними ровно такое же, как было 40 секунд назад (расстояние измеряется по наименьшей из двух дуг). Каким может быть это расстояние?
40 метров 50 метров 60 метров 70 метров 80 метров 90 метров
Ответ: Смотреть
5.Сколько существует способов поставить 3 ладьи на доске, изображённой на рисунке, так, чтобы они не били друг друга? Ладья бьёт все клетки в горизонтали и в вертикали, в которой она стоит, ладья не может бить через вырезанные клетки по горизонтали.
Ответ: Смотреть
5.1. Сколько существует способов поставить 3 ладьи на доске, изображённой на рисунке, так, чтобы они не били друг друга? Ладья бьёт все клетки в горизонтали и в вертикали, в которой она стоит, ладья не может бить через вырезанные клетки по горизонтали.
Ответ: Смотреть
5.2.Сколько существует способов поставить 3 ладьи на доске, изображённой на рисунке, так, чтобы они не били друг друга? Ладья бьёт все клетки в горизонтали и в вертикали, в которой она стоит, ладья не может бить через вырезанные клетки по горизонтали.
Ответ: Смотреть
5.3.Сколько существует способов поставить 3 ладьи на доске, изображённой на рисунке, так, чтобы они не били друг друга? Ладья бьёт все клетки в горизонтали и в вертикали, в которой она стоит, ладья не может бить через вырезанные клетки по горизонтали.
Ответ: Смотреть
6.На рисунке изображён шестиугольник, составленный из одинаковых равносторонних треугольников, площадь каждого из которых равна 5.
Найдите площадь закрашенной части.
Ответ: Смотреть
6.1. На рисунке изображён шестиугольник, составленный из одинаковых равносторонних треугольников, площадь каждого из которых равна 3.
Найдите площадь закрашенной части.
Ответ: Смотреть
6.2. На рисунке изображён шестиугольник, составленный из одинаковых равносторонних треугольников, площадь каждого из которых равна 2.Найдите площадь закрашенной части.
Ответ: Смотреть
6.3. На рисунке изображён шестиугольник, составленный из одинаковых равносторонних треугольников, площадь каждого из которых равна 10.
Найдите площадь закрашенной части.
Ответ: Смотреть
7.На столе лежат 13 монет по 2 и 5 рублей (каждый из номиналов присутствует). Некоторые из них перевёрнуты номиналом (решкой) вверх, а некоторые — орлом вверх. Если каждую монету, лежащую на столе, перевернуть, то сумма видимых номиналов станет в 3 раза больше, чем была изначально. Сколько пятирублёвых монет может лежать на столе? Укажите все возможные варианты.
Ответ: Смотреть
7.1. На столе лежат 14 монет по 2 и 5 рублей (каждый из номиналов присутствует). Некоторые из них перевёрнуты номиналом (решкой) вверх, а некоторые — орлом вверх. Если каждую монету, лежащую на столе, перевернуть, то сумма видимых номиналов станет в 3 раза больше, чем была изначально. Сколько двухрублёвых монет может лежать на столе? Укажите все возможные варианты.
Ответ: Смотреть
8.Поле для игры в «Морской бой» представляет собой прямоугольник 1×248. Петя расставляет на этом поле одноклеточные детекторы, после чего Вася размещает двухпалубный корабль (прямоугольник 1×2). Детектор срабатывает, если клетка, на которую он поставлен, находится под кораблём. Какое минимальное количество детекторов должен поставить Петя, чтобы по их показаниям однозначно определить положение Васиного корабля?
Ответ: Смотреть
8.1.Поле для игры в «Морской бой» представляет собой прямоугольник 1×233. Петя расставляет на этом поле одноклеточные детекторы, после чего Вася размещает двухпалубный корабль (прямоугольник 1×2). Детектор срабатывает, если клетка, на которую он поставлен, находится под кораблём. Какое минимальное количество детекторов должен поставить Петя, чтобы по их показаниям однозначно определить положение Васиного корабля?
Ответ: Смотреть
8.2. Поле для игры в «Морской бой» представляет собой прямоугольник 1×221. Петя расставляет на этом поле одноклеточные детекторы, после чего Вася размещает двухпалубный корабль (прямоугольник 1×2). Детектор срабатывает, если клетка, на которую он поставлен, находится под кораблём. Какое минимальное количество детекторов должен поставить Петя, чтобы по их показаниям однозначно определить положение Васиного корабля?
Ответ: Смотреть
Пригласительный этап 2023 олимпиада по математике 7 класс Сириус
1.Пусть A, B, C, D, E, F, G, H — различные цифры от 0 до 7 — удовлетворяют равенству
ABC+DE=FGHНайдите DE, если ABC=147.
Запись ABC означает трёхзначное число, состоящее из цифр A,B,C, аналогично устроены числа FGH и DE
Ответ: Смотреть
2.На рисунке изображены лучи OA, OB, OC, OD, OE, OF такие, что:
OB— биссектриса угла AOC;OE— биссектриса угла DOF;∠AOF=142∘, ∠COD=42∘. Сколько градусов составляет угол BOE?
Ответ: Смотреть
3.Петя вписал все натуральные числа от 1 до 16 в клетки таблицы 4×4 так, что любые два числа, отличающиеся на 1, оказались в соседних по стороне клетках. Затем он стёр некоторые числа. Выберите все картинки, которые могли получиться:
Ответ: Смотреть
4.Братья Лёша и Саша решили добраться из дома до скейт‑парка. Они вышли одновременно, но Лёша пошёл пешком со скейтом в руках, а Саша поехал на скейте. Известно, что Саша едет на скейте в 3 раза быстрее, чем Лёша идёт пешком со скейтом. Через некоторое время они одновременно поменяли способ передвижения: Лёша поехал на скейте, а Саша пошёл пешком. При этом скорость движения каждого из них изменилась в 2 раза: у Лёши увеличилась, а у Саши уменьшилась. Оказалось, что до скейт‑парка они добрались одновременно. Сколько метров проехал на скейте Саша, если расстояние от дома до скейт‑парка составляет 2400 метров?
Ответ: Смотреть
5.Точки A, B, C, D, E, F на рисунке удовлетворяют следующим условиям:
Точки A,C,F лежат на одной прямой.AB=DE=FC.∠ABC=∠DEC=∠FCE.∠BAC=∠EDC=∠CFE.AF=21,CE=13.Найдите длину отрезка BD.
Ответ: Смотреть
6.В ряд стоит 10 коробок. В этих коробках лежат шарики двух цветов: красного и синего. В некоторых коробках все шарики могут быть одноцветными; пустых коробок нет. Известно, что в каждой следующей коробке (в порядке слева направо) шариков не меньше, чем в предыдущей. Также известно, что нет двух коробок с одинаковым набором красных и синих шариков. Сколько синих и сколько красных шариков лежит в самой правой коробке, если суммарно во всех коробках 10 красных и 14 синих шариков?
| Красные | Синие |
Ответ: Смотреть
7.Восьмизначное натуральное число N назовём интересным, если:
- Оно состоит из ненулевых цифр.
- Оно делится на 4.
- Любое число, получаемое из числа N с помощью перестановки цифр, делится на 4.
Сколько существует интересных чисел?
Ответ: Смотреть
8.Действительные числа a,b,c таковы, что
Найдите значение выражения abc/ac+bc+ca
Ответ: Смотреть
Пригласительный этап 2023 олимпиада по математике 8 класс Сириус
№ 1 Дима и Серёжа собирали ягоды с куста малины, на котором росло 900 ягод. Серёжа при сборе чередовал действия: одну ягоду он клал в корзину, а следующую ел. Дима тоже чередовал: две ягоды он клал в корзину, а одну следующую ел. Известно, что Серёжа срывает ягоды в 2 раза быстрее Димы. В какой-то момент ребята собрали всю малину с куста. Кто из них в итоге положил в корзину больше ягод?Дима Серёжа Ребята положили поровну Чему будет равна разница? Если вы считаете, что ребята положили в корзину поровну ягод, то в ответ запишите 0.
Ответ: Смотреть
№ 1.2 Дима и Серёжа собирали ягоды с куста малины, на котором росло 450 ягод. Серёжа при сборе чередовал действия: одну ягоду он клал в корзину, а следующую ел. Дима тоже чередовал: две ягоды он клал в корзину, а одну следующую ел. Известно, что Серёжа срывает ягоды в 2 раза быстрее Димы. В какой-то момент ребята собрали всю малину с куста. Кто из них в итоге положил в корзину больше ягод? ДимаСерёжа Ребята положили поровну Чему будет равна разница? Если вы считаете, что ребята положили в корзину поровну ягод, то в ответ запишите 0.
Ответ: Смотреть
№ 2 Дана трапеция ABCD (AD∥BC). Оказалось, что ∠ABD=∠BCD.
Найдите длину отрезка BD, если BC=3 и AD=81.
Ответ: Смотреть
№ 2.2 Дана трапеция ABCD (AD∥BC). Оказалось, что ∠ABD=∠BCD.
Найдите длину отрезка BD, если BC=49 и AD=64.
Ответ: Смотреть
№ 2.3 Дана трапеция ABCD (AD∥BC). Оказалось, что ∠ABD=∠BCD.
Найдите длину отрезка BD, если BC=49 и AD=81.
Ответ: Смотреть
№ 3 В качестве домашнего упражнения Тане задали придумать 10 примеров вида ∗+∗=∗, где вместо ∗ нужно вставлять различные натуральные числа (т. е. всего должно использоваться 30 различных чисел). Таня очень любит простые числа, поэтому решила использовать их как можно больше, и чтобы при этом получались правильные примеры. Какое наибольшее количество простых чисел может использовать Таня?
Ответ: Смотреть
№ 3.2 В качестве домашнего упражнения Тане задали придумать 40 примеров вида ∗+∗=∗, где вместо ∗ нужно вставлять различные натуральные числа (т. е. всего должно использоваться 120 различных чисел). Таня очень любит простые числа, поэтому решила использовать их как можно больше, и чтобы при этом получались правильные примеры. Какое наибольшее количество простых чисел может использовать Таня?
Ответ: Смотреть
№ 3.2 В качестве домашнего упражнения Тане задали придумать 30 примеров вида ∗+∗=∗, где вместо ∗ нужно вставлять различные натуральные числа (т. е. всего должно использоваться 90 различных чисел). Таня очень любит простые числа, поэтому решила использовать их как можно больше, и чтобы при этом получались правильные примеры. Какое наибольшее количество простых чисел может использовать Таня?
Ответ: Смотреть
№ 3.3 В качестве домашнего упражнения Тане задали придумать 20 примеров вида ∗+∗=∗, где вместо ∗ нужно вставлять различные натуральные числа (т. е. всего должно использоваться 60 различных чисел). Таня очень любит простые числа, поэтому решила использовать их как можно больше, и чтобы при этом получались правильные примеры. Какое наибольшее количество простых чисел может использовать Таня?
Ответ: Смотреть
№ 4 Прямоугольник разрезали на шесть меньших прямоугольников, площади пяти из них обозначены на рисунке. Найдите площадь оставшегося прямоугольника.
Ответ: Смотреть
№ 4.2 Прямоугольник разрезали на шесть меньших прямоугольников, площади пяти из них обозначены на рисунке. Найдите площадь оставшегося прямоугольника.
Ответ: Смотреть
№ 4.2 Прямоугольник разрезали на шесть меньших прямоугольников, площади пяти из них обозначены на рисунке. Найдите площадь оставшегося прямоугольника.
Ответ: Смотреть
№ 5 В клетках таблицы 16×16 расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице?Примечание. Неугловыми называются клетки, находящиеся не в углу таблицы. Их ровно 252.
Ответ: Смотреть
№ 5.2 В клетках таблицы 12×12 расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице?Примечание. Неугловыми называются клетки, находящиеся не в углу таблицы. Их ровно 140.
Ответ: Смотреть
№ 5.3 В клетках таблицы 18×18 расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице?Примечание. Неугловыми называются клетки, находящиеся не в углу таблицы. Их ровно 320.
Ответ: Смотреть
№ 5.4 В клетках таблицы 14×14 расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице?Примечание. Неугловыми называются клетки, находящиеся не в углу таблицы. Их ровно 192.
Ответ: Смотреть
№ 6 Чётные натуральные числа a и b таковы, что НОД(a,b) + НОК(a,b) =226.Сколько различных значений может принимать НОК(a,b)?
Ответ: Смотреть
№ 6.1 Чётные натуральные числа a и b таковы, что НОД(a,b) + НОК(a,b) =225.Сколько различных значений может принимать НОК(a,b)?
Ответ: Смотреть
№ 6.2 Чётные натуральные числа a и b таковы, что НОД(a,b) + НОК(a,b) =223.Сколько различных значений может принимать НОК(a,b)?
Ответ: Смотреть
№ 6.2 Чётные натуральные числа a и b таковы, что НОД(a,b) + НОК(a,b) =224.Сколько различных значений может принимать НОК(a,b)?
Ответ: Смотреть
№ 7 Дана трапеция ABCD (BC∥AD). Точка H на стороне AB такова, что ∠DHA=90∘. Известно, что CH=CD=13 и AD=23.
Найдите длину отрезка BC.
Ответ: Смотреть
№ 7.2 Дана трапеция ABCD (BC∥AD). Точка H на стороне AB такова, что ∠DHA=90∘. Известно, что CH=CD=13 и AD=19.
Найдите длину отрезка BC.
Ответ: Смотреть
№ 7.3 Дана трапеция ABCD (BC∥AD). Точка H на стороне AB такова, что ∠DHA=90∘. Известно, что CH=CD=13 и AD=21.
Найдите длину отрезка BC.
Ответ: Смотреть
№ 8 Различные положительные числа a,b,c таковы, что
Найдите a+b+c.
Ответ: Смотреть
№ 8.2 Различные положительные числа a,b,c таковы, что
Найдите a+b+c.
Ответ: Смотреть
№ 8.2 Различные положительные числа a,b,c таковы, что
Найдите a+b+c.
Ответ: Смотреть
Пригласительный этап 2023 олимпиада по математике 9 класс Сириус
№ 1 Улитка ползёт по прямой. В первый день она проползает 1 м вперёд и 1/2 м назад. Во второй день она проползает 1/2 м вперёд и на 1/3 м назад. В третий день она проползает 1/3 м вперёд и 1/4 м назад и так далее. На каком расстоянии от точки старта она окажется в конце 74‑го дня?Ответ выразите в метрах.
Ответ: Смотреть
№ 1.2 Улитка ползёт по прямой. В первый день она проползает 1 м вперёд и 1/2 м назад. Во второй день она проползает 1/2 м вперёд и на 1/3 м назад. В третий день она проползает 1/3 м вперёд и 1/4 м назад и так далее. На каком расстоянии от точки старта она окажется в конце 96‑го дня?Ответ выразите в метрах.
Ответ: Смотреть
№ 1.3 Улитка ползёт по прямой. В первый день она проползает 1 м вперёд и 1/2 м назад. Во второй день она проползает 1/2 м вперёд и на 1/3 м назад. В третий день она проползает 1/3 м вперёд и 1/4 м назад и так далее. На каком расстоянии от точки старта она окажется в конце 44‑го дня?Ответ выразите в метрах.
Ответ: Смотреть
№ 2 Ненулевые числа a, b, c, d, e, f таковы, что среди произведений acd, ace, bde, bdf и bef ровно одно положительное. Какое?acdacebdebdfbef
Ответ: Смотреть
№ 2.2 Ненулевые числа a, b, c, d, e, f таковы, что среди произведений acd, ace, bdf, bef и def ровно одно положительное. Какое?acdacebdfbefdef
Ответ: Смотреть
№ 2.3 Ненулевые числа a, b, c, d, e, f таковы, что среди произведений abe, ade, bcf, bcd и cdf ровно одно положительное. Какое?abeadebcfbcdcdf
Ответ: Смотреть
№ 2.4 Ненулевые числа a, b, c, d, e, f таковы, что среди произведений abc, aef, adf, bce и def ровно одно положительное. Какое?abcaefadfbcedef
Ответ: Смотреть
№ 3 Числа от 1 до 361 разбиты на две группы: в одной 10 чисел, а в другой — 351.Оказалось, что средние арифметические чисел в двух группах равны. Найдите сумму чисел в группе из 10 чисел.
Ответ: Смотреть
№ 3.2 Числа от 1 до 217 разбиты на две группы: в одной 10 чисел, а в другой —— 207.Оказалось, что средние арифметические чисел в двух группах равны. Найдите сумму чисел в группе из 10 чисел.
Ответ: Смотреть
№ 3.3 Числа от 1 до 269 разбиты на две группы: в одной 100 чисел, а в другой —— 169.Оказалось, что средние арифметические чисел в двух группах равны. Найдите сумму чисел в группе из 100 чисел.
Ответ: Смотреть
№ 4 На рисунке O —— центр окружности, AB∥CD. Найдите градусную меру угла, отмеченного знаком «?».
Ответ: Смотреть
№ 4.1 На рисунке O —— центр окружности, AB∥CD. Найдите градусную меру угла, отмеченного знаком «?».
Ответ: Смотреть
№ 4.2 На рисунке O —— центр окружности, AB∥CD. Найдите градусную меру угла, отмеченного знаком «?».
Ответ: Смотреть
№ 5 На доске записаны числа 1 и 7. За одно действие к обоим числам на доске прибавляется их наибольший общий делитель. Например, если в какой‑то момент на доске будут числа 20 и 50, то они заменятся на числа 30 и 60.Какие числа будут на доске после 100 действий? Ответы укажите в любом порядке.
Ответ: Смотреть
№ 5.2 На доске записаны числа 1 и 9. За одно действие к обоим числам на доске прибавляется их наибольший общий делитель. Например, если в какой‑то момент на доске будут числа 20 и 50, то они заменятся на числа 30 и 60.Какие числа будут на доске после 100 действий? Ответы укажите в любом порядке.
Ответ: Смотреть
№ 5.3 На доске записаны числа 2 и 11. За одно действие к обоим числам на доске прибавляется их наибольший общий делитель. Например, если в какой‑то момент на доске будут числа 20 и 50, то они заменятся на числа 30 и 60.Какие числа будут на доске после 100 действий? Ответы укажите в любом порядке.
Ответ: Смотреть
№ 6 Шесть пиратов — капитан и пять членов его команды — сидят вокруг костра лицом к центру. Им надо поделить сокровище: 90 золотых монет. Капитан предлагает способ дележа (т.е. сколько должен получить каждый пират: каждому достанется целое неотрицательное число монет; разные пираты могут получить разное количество монет). После этого остальные пять пиратов голосуют за предложение капитана.Пират проголосует «за», только если он получит больше монет, чем каждый из двух его соседей. Предложение принимается, если «за» проголосуют хотя бы три из пяти членов команды.Какое наибольшее количество монет может получить капитан при таком способе дележа?
Ответ: Смотреть
№ 6.2 Шесть пиратов — капитан и пять членов его команды — сидят вокруг костра лицом к центру. Им надо поделить сокровище: 180 золотых монет. Капитан предлагает способ дележа (т.е. сколько должен получить каждый пират: каждому достанется целое неотрицательное число монет; разные пираты могут получить разное количество монет). После этого остальные пять пиратов голосуют за предложение капитана.Пират проголосует «за», только если он получит больше монет, чем каждый из двух его соседей. Предложение принимается, если «за» проголосуют хотя бы три из пяти членов команды.Какое наибольшее количество монет может получить капитан при таком способе дележа?
Ответ: Смотреть
№ 6.3 Шесть пиратов — капитан и пять членов его команды — сидят вокруг костра лицом к центру. Им надо поделить сокровище: 150 золотых монет. Капитан предлагает способ дележа (т.е. сколько должен получить каждый пират: каждому достанется целое неотрицательное число монет; разные пираты могут получить разное количество монет). После этого остальные пять пиратов голосуют за предложение капитана.Пират проголосует «за», только если он получит больше монет, чем каждый из двух его соседей. Предложение принимается, если «за» проголосуют хотя бы три из пяти членов команды.Какое наибольшее количество монет может получить капитан при таком способе дележа?
Ответ: Смотреть
№ 6.4 Шесть пиратов — капитан и пять членов его команды — сидят вокруг костра лицом к центру. Им надо поделить сокровище: 120 золотых монет. Капитан предлагает способ дележа (т.е. сколько должен получить каждый пират: каждому достанется целое неотрицательное число монет; разные пираты могут получить разное количество монет). После этого остальные пять пиратов голосуют за предложение капитана.Пират проголосует «за», только если он получит больше монет, чем каждый из двух его соседей. Предложение принимается, если «за» проголосуют хотя бы три из пяти членов команды.Какое наибольшее количество монет может получить капитан при таком способе дележа?
Ответ: Смотреть
№ 7 Уравнение x4−7x−3=0 имеет ровно два действительных корня a и b, a>b.Найдите значение выражения (a−b)/(a4−b4).
Ответ: Смотреть
№ 7.2 Уравнение x4−13x+4=0 имеет ровно два действительных корня a и b, a>b.Найдите значение выражения (a−b)/(a4−b4).
Ответ: Смотреть
№ 8 В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь 1,2,3,…,8 этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то, как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с бо́льшим количеством этажей. Чему равно максимально возможное число домов на одной стороне улицы в Междуграде?
Ответ: Смотреть
№ 8.2 В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь 1,2,3,…,10 этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то, как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с бо́льшим количеством этажей. Чему равно максимально возможное число домов на одной стороне улицы в Междуграде?
Ответ: Смотреть
№ 8 В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь 1,2,3,…,7 этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то, как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с бо́льшим количеством этажей. Чему равно максимально возможное число домов на одной стороне улицы в Междуграде?
Ответ: Смотреть
Пригласительный этап 2023 олимпиада по математике 10 класс Сириус
№ 1 Выберите числа, которые являются контрпримерами к данному утверждению:
«Если сумма цифр натурального числа делится на 27, то и само число делится на 27».27999995436
Ответ: Смотреть
№ 1.2 Выберите числа, которые являются контрпримерами к данному утверждению:
«Если сумма цифр натурального числа делится на 27, то и само число делится на 27».81991818999
Ответ: Смотреть
№ 2.1 Петя выписывает ряд чисел: если текущее число равно x, то следующее равно 1/ (1-х).Первое число в ряду равно 2. Чему равно пятисотое число?
Ответ: Смотреть
№ 2.2 Петя выписывает ряд чисел: если текущее число равно x, то следующее равно 1- 1/х.Первое число в ряду равно 2. Чему равно двухсотое число?
Ответ: Смотреть
№ 2.3 Петя выписывает ряд чисел: если текущее число равно x, то следующее равно 1- 1/х.Первое число в ряду равно 3. Чему равно шестисотое число?
Ответ: Смотреть
№ 2.4 Петя выписывает ряд чисел: если текущее число равно x, то следующее равно 1/ (1-х).Первое число в ряду равно −1. Чему равно трёхсотое число?
Ответ: Смотреть
№ 3.1 Целые неотрицательные числа a, b, c, d таковы, что ab+bc+cd+da=1111.Какое наименьшее значение может иметь сумма a+b+c+d?
Ответ: Смотреть
№ 3.2 Целые неотрицательные числа a, b, c, d таковы, что ab+bc+cd+da=505.Какое наименьшее значение может иметь сумма a+b+c+d?
Ответ: Смотреть
№ 3.3 Целые неотрицательные числа a, b, c, d таковы, что ab+bc+cd+da=303.Какое наименьшее значение может иметь сумма a+b+c+d?
Ответ: Смотреть
№ 3.3 Целые неотрицательные числа a, b, c, d таковы, что ab+bc+cd+da=707.Какое наименьшее значение может иметь сумма a+b+c+d?
Ответ: Смотреть
№ 4.1 Аня и Боря играют в камень‑ножницы‑бумага. В этой игре каждый игрок выбирает одну из фигур: камень, ножницы или бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень. Если игроки выбирают одинаковые фигуры, то партия заканчивается ничьёй.Аня и Боря провели 32 партии. Аня выбирала камень 19 раз, ножницы — 5 раз, бумагу — 8 раз. Боря выбирал камень 2 раза, ножницы — 6 раз, бумагу — 24 раза. Ни в одной партии не было ничьей. Сколько раз мог выиграть Боря? Укажите все возможные ответы.
Ответ: Смотреть
№ 4.2 Аня и Боря играют в камень‑ножницы‑бумага. В этой игре каждый игрок выбирает одну из фигур: камень, ножницы или бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень. Если игроки выбирают одинаковые фигуры, то партия заканчивается ничьёй.Аня и Боря провели 36 партий. Аня выбирала камень 6 раз, ножницы —— 5 раз, бумагу —— 25 раз. Боря выбирал камень 2 раза, ножницы —— 31 раз, бумагу —— 3 раза. Ни в одной партии не было ничьей. Сколько раз могла выиграть Аня? Укажите все возможные ответы.
Ответ: Смотреть
№ 4.3 Аня и Боря играют в камень‑ножницы‑бумага. В этой игре каждый игрок выбирает одну из фигур: камень, ножницы или бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень. Если игроки выбирают одинаковые фигуры, то партия заканчивается ничьёй.Аня и Боря провели 25 партий. Аня выбирала камень 12 раз, ножницы —— 6 раз, бумагу —— 7 раз. Боря выбирал камень 13 раз, ножницы —— 9 раз, бумагу —— 3 раза. Ни в одной партии не было ничьей. Сколько раз могла выиграть Аня? Укажите все возможные ответы.
Ответ: Смотреть
№ 4.4 Аня и Боря играют в камень‑ножницы‑бумага. В этой игре каждый игрок выбирает одну из фигур: камень, ножницы или бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень. Если игроки выбирают одинаковые фигуры, то партия заканчивается ничьёй. Аня и Боря провели 20 партий. Аня выбирала камень 13 раз, ножницы —— 3 раза, бумагу —— 4 раза. Боря выбирал камень 7 раз, ножницы —— 9 раз, бумагу —— 4 раза. Ни в одной партии не было ничьей. Сколько раз мог выиграть Боря? Укажите все возможные ответы.
Ответ: Смотреть
№ 5.1 Среди n углов выпуклого n‑угольника n−1 угол равен 160∘, а оставшийся угол — острый. Для каких n это возможно? Укажите все возможные ответы.
Ответ: Смотреть
№ 5.2 Среди n углов выпуклого n‑угольника n−1 угол равен 150∘, а оставшийся —— меньше 150∘. Для каких n это возможно? Укажите все возможные ответы.
Ответ: Смотреть
№ 5.3 Среди n углов выпуклого n‑угольника n−1 угол равен 145∘, а оставшийся угол меньше 145∘. Для каких n это возможно? Укажите все возможные ответы.
Ответ: Смотреть
№ 5.3 Среди n углов выпуклого n‑угольника n−1 угол равен 140∘, а оставшийся угол меньше 140∘. Для каких n это возможно? Укажите все возможные ответы.
Ответ: Смотреть
№ 6.1 На рисунке две окружности с центрами A и B. Кроме того, точки A, B и C лежат на одной прямой, точки D, B и E также лежат на одной прямой. Найдите градусную меру угла, отмеченного знаком «?».
Ответ: Смотреть
№ 6.2 На рисунке две окружности с центрами A и B. Кроме того, точки A, B и C лежат на одной прямой, точки D, B и E также лежат на одной прямой. Найдите градусную меру угла, отмеченного знаком «?».
Ответ: Смотреть
№ 6.3 На рисунке две окружности с центрами A и B. Кроме того, точки A, B и C лежат на одной прямой, точки D, B и E также лежат на одной прямой. Найдите градусную меру угла, отмеченного знаком «?».
Ответ: Смотреть
№ 6.4 На рисунке две окружности с центрами A и B. Кроме того, точки A, B и C лежат на одной прямой, точки D, B и E также лежат на одной прямой. Найдите градусную меру угла, отмеченного знаком «?».
Ответ: Смотреть
№ 7.1 За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 90 человек: 40 баронов, 30 графов и 20 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа — левый и правый — имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул, но не обязательно графский.
Ответ: Смотреть
№ 7.2 За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 95 человек: 45 баронов, 30 графов и 20 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа —— левый и правый —— имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул, но не обязательно графский.
Ответ: Смотреть
№ 7.3 За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 110 человек: 50 баронов, 40 графов и 20 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа —— левый и правый —— имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул, но не обязательно графский.
Ответ: Смотреть
№ 7.4 За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 55 человек: 25 баронов, 20 графов и 10 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа —— левый и правый —— имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул, но не обязательно графский.
Ответ: Смотреть
№ 8.1 Есть магический клетчатый лист бумаги размера 3000×70, изначально все клетки серые. Маляр встаёт на некоторую клетку и красит её в красный цвет. Каждую секунду маляр делает два шага: на одну клетку влево и на одну клетку вниз, и закрашивает красным цветом ту клетку, на которой он оказался после двух шагов. Если маляр стоит в самом левом столбце и должен сделать шаг влево, то он этим шагом телепортируется в самую правую клетку той же строки; если маляр стоит в нижней строке и должен сделать шаг вниз, то он этим шагом телепортируется в верхнюю клетку того же столбца. Через несколько ходов маляр вернулся на клетку, с которой начинал. Сколько в этот момент красных клеток на листе?На рисунке приведён пример ходов маляра: сначала маляр в клетке 1, потом в клетке 2 и т.п.
Комментарий. Приведём другую, эквивалентную формулировку этой задачи. Из клетчатого листа бумаги 3000×70 склеивается тор, как показано на картинке.
Маляр ходит по тору по диагонали. Через несколько ходов маляр вернулся на клетку, с которой начинал. Сколько в этот момент красных клеток на листе?
Ответ: Смотреть
№ 8.2 Есть магический клетчатый лист бумаги размера 2000×90, изначально все клетки серые. Маляр встаёт на некоторую клетку и красит её в красный цвет. Каждую секунду маляр делает два шага: на одну клетку влево и на одну клетку вниз, и закрашивает красным цветом ту клетку, на которой он оказался после двух шагов. Если маляр стоит в самом левом столбце и должен сделать шаг влево, то он этим шагом телепортируется в самую правую клетку той же строки; если маляр стоит в нижней строке и должен сделать шаг вниз, то он этим шагом телепортируется в верхнюю клетку того же столбца. Через несколько ходов маляр вернулся на клетку, с которой начинал. Сколько в этот момент красных клеток на листе?На рисунке приведён пример ходов маляра: сначала маляр в клетке 1, потом в клетке 2 и т.п.
Комментарий. Приведём другую, эквивалентную формулировку этой задачи. Из клетчатого листа бумаги 2000×90 склеивается тор, как показано на картинке.
Маляр ходит по тору по диагонали. Через несколько ходов маляр вернулся на клетку, с которой начинал. Сколько в этот момент красных клеток на листе?
Ответ: Смотреть
№ 8.3 Есть магический клетчатый лист бумаги размера 5000×70, изначально все клетки серые. Маляр встаёт на некоторую клетку и красит её в красный цвет. Каждую секунду маляр делает два шага: на одну клетку влево и на одну клетку вниз, и закрашивает красным цветом ту клетку, на которой он оказался после двух шагов. Если маляр стоит в самом левом столбце и должен сделать шаг влево, то он этим шагом телепортируется в самую правую клетку той же строки; если маляр стоит в нижней строке и должен сделать шаг вниз, то он этим шагом телепортируется в верхнюю клетку того же столбца. Через несколько ходов маляр вернулся на клетку, с которой начинал. Сколько в этот момент красных клеток на листе?На рисунке приведен пример ходов маляра: сначала маляр в клетке 1, потом в клетке 2 и т.п.
Комментарий. Приведём другую, эквивалентную формулировку этой задачи. Из клетчатого листа бумаги 5000×70 склеивается тор, как показано на картинке.
Маляр ходит по тору по диагонали. Через несколько ходов маляр вернулся на клетку, с которой начинал. Сколько в этот момент красных клеток на листе?
Ответ: Смотреть
№ 8.4 Есть магический клетчатый лист бумаги размера 2000×70, изначально все клетки серые. Маляр встаёт на некоторую клетку и красит её в красный цвет. Каждую секунду маляр делает два шага: на одну клетку влево и на одну клетку вниз, и закрашивает красным цветом ту клетку, на которой он оказался после двух шагов. Если маляр стоит в самом левом столбце и должен сделать шаг влево, то он этим шагом телепортируется в самую правую клетку той же строки; если маляр стоит в нижней строке и должен сделать шаг вниз, то он этим шагом телепортируется в верхнюю клетку того же столбца. Через несколько ходов маляр вернулся на клетку, с которой начинал. Сколько в этот момент красных клеток на листе?На рисунке приведён пример ходов маляра: сначала маляр в клетке 1, потом в клетке 2 и т.п.
Комментарий. Приведём другую, эквивалентную формулировку этой задачи. Из клетчатого листа бумаги 2000×70 склеивается тор, как показано на картинке.
Маляр ходит по тору по диагонали. Через несколько ходов маляр вернулся на клетку, с которой начинал. Сколько в этот момент красных клеток на листе?
Ответ: Смотреть