Автор Готовая презентация по математике 6 класс для урока на тему «Умножение смешанных чисел» параграф по новому учебника Виленкина правило, примеры, ошибки учеников, план урока и задания с ответами.
Умножение смешанных чисел презентация по математике 6 класс Виленкин
Умножение смешанных чисел — тема, на которой шестиклассники ошибаются очень уверенно. Видят пример 2 1/3 · 3 1/2, перемножают целые части, потом дробные — и записывают 6 1/6. Правильный ответ — 8 1/6, и разницу почти в две единицы ребёнок обычно даже не замечает. Поэтому правило здесь мало продиктовать: его нужно показать, разобрать на примерах и сразу отработать.
На этой странице можно бесплатно скачать презентацию на тему «Умножение смешанных чисел» для урока математики в 6 классе по учебнику Н. Я. Виленкина. А ниже собрано всё, что пригодится при подготовке: где тема стоит в учебнике, правило и алгоритм, пошаговые примеры, частые ошибки учеников, план урока и подборка заданий с ответами.
Где тема «Умножение смешанных чисел» находится в учебнике Виленкина
В учебнике Виленкина для 6 класса умножение смешанных чисел не вынесено в отдельный пункт. Правило дано внутри пункта 13 «Умножение дробей» в параграфе «Умножение и деление обыкновенных дробей». Порядок такой: сначала ученики умножают дробь на натуральное число, затем дробь на дробь и только потом — смешанные числа. Логика понятная: смешанное число записывают неправильной дробью, и новая задача сводится к уже знакомой.
К смешанным числам учебник возвращается ещё несколько раз, поэтому полезно видеть всю цепочку:
| Где в курсе | Что это даёт для темы |
|---|---|
| 5 класс, «Смешанные числа» | Перевод смешанного числа в неправильную дробь и выделение целой части |
| 6 класс, п. 12 «Сложение и вычитание смешанных чисел» | Свежая практика работы со смешанными числами перед умножением |
| п. 13 «Умножение дробей» | Правила умножения дроби на натуральное число, дроби на дробь и смешанных чисел |
| п. 14 «Нахождение дроби от числа» | Первое применение: найти 3/4 от 5 1/3 |
| п. 15 «Применение распределительного свойства умножения» | Быстрый способ умножить смешанное число на натуральное без перевода в неправильную дробь |
| п. 16–17 «Взаимно обратные числа», «Деление» | Деление смешанных чисел по той же схеме: сначала неправильные дроби |
Номера пунктов приведены по классическому изданию учебника. Нумерация упражнений в изданиях разных лет и разных издательств («Мнемозина», «Просвещение») не совпадает, поэтому при планировании удобнее ориентироваться на название пункта, а номера заданий сверять со своим экземпляром.
Что повторить перед уроком
Тема держится на трёх навыках. Если хотя бы один из них «проседает», ошибки на уроке почти гарантированы, поэтому начинать стоит с короткой актуализации знаний.
- Перевод смешанного числа в неправильную дробь. Целую часть умножаем на знаменатель, прибавляем числитель, знаменатель оставляем прежним: 3 2/5 = (3 · 5 + 2)/5 = 17/5.
- Выделение целой части из неправильной дроби. Делим числитель на знаменатель с остатком: 23/4 = 5 3/4.
- Сокращение и умножение дробей. Именно сокращение до умножения избавляет от громоздких вычислений вроде 180/20.
Для разминки хватит пяти-шести устных заданий:
- запишите в виде неправильной дроби: 2 3/4; 5 1/6; 1 7/8;
- выделите целую часть: 17/5; 23/4;
- вычислите: 2/3 · 9/10.
Ответы: 11/4; 31/6; 15/8; 3 2/5; 5 3/4; 3/5.
Правило умножения смешанных чисел
Чтобы умножить смешанные числа, нужно записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.
Тот же принцип работает, когда смешанное число умножают на обыкновенную дробь или на натуральное число: смешанное число сначала превращают в неправильную дробь.
Алгоритм для учеников
- Запишите каждое смешанное число в виде неправильной дроби.
- Запишите произведение под одной чертой: числители перемножаются в числителе, знаменатели — в знаменателе.
- Сократите, если это возможно, — до того как перемножать.
- Выполните умножение.
- Если получилась неправильная дробь, выделите целую часть.
Третий шаг стоит проговаривать отдельно. Ученик, который сначала перемножает, а потом сокращает, получает те же ответы, но тратит больше времени и чаще ошибается в счёте.
Пример 1. Смешанное число на смешанное число
2 1/3 · 1 1/2 = 7/3 · 3/2 = (7 · 3)/(3 · 2) = 7/2 = 3 1/2
Тройки сокращаются ещё до умножения — хороший повод показать, зачем нужен третий шаг алгоритма.
Пример 2. Ответ — натуральное число
3 3/4 · 2 2/5 = 15/4 · 12/5 = (15 · 12)/(4 · 5) = (3 · 3)/(1 · 1) = 9
Сокращаем 15 и 5 на 5, 12 и 4 на 4. Ученики часто удивляются, что из двух «некрасивых» смешанных чисел получилось целое, и этим удивлением удобно пользоваться: оно хорошо мотивирует сокращать заранее.
Пример 3. Смешанное число на обыкновенную дробь
5 1/3 · 3/8 = 16/3 · 3/8 = (16 · 3)/(3 · 8) = 2
Пример 4. Смешанное число на натуральное число
4 2/7 · 14 = 30/7 · 14 = (30 · 14)/7 = 30 · 2 = 60
У этого примера есть второе, более короткое решение — о нём в следующем разделе.
Пример 5. Ответ — смешанное число
1 2/3 · 2 1/5 = 5/3 · 11/5 = 11/3 = 3 2/3
Два способа умножить смешанное число на натуральное
В пункте «Применение распределительного свойства умножения» учебник показывает, что смешанное число можно и не переводить в неправильную дробь. Смешанное число — это сумма целой и дробной частей, а сумму можно умножать на число почленно:
4 2/7 · 14 = (4 + 2/7) · 14 = 4 · 14 + 2/7 · 14 = 56 + 4 = 60
Ещё один пример:
6 1/4 · 8 = 6 · 8 + 1/4 · 8 = 48 + 2 = 50
Когда какой способ удобнее. Распределительное свойство особенно выгодно, когда натуральный множитель делится на знаменатель дробной части: тогда всё считается устно. Если не делится, оба способа примерно равны по трудоёмкости:
- через неправильную дробь: 2 3/5 · 4 = 13/5 · 4 = 52/5 = 10 2/5;
- через распределительное свойство: 2 3/5 · 4 = 8 + 12/5 = 8 + 2 2/5 = 10 2/5.
Покажите классу оба решения рядом и спросите, какое удобнее. Так ученики видят, что способ решения — это выбор, а не обязанность, и начинают смотреть на числа, прежде чем считать.
Почему нельзя перемножать целые и дробные части отдельно
Самая частая ошибка темы — «умножить целое на целое, дробь на дробь». Запрет без объяснения работает плохо, а наглядное объяснение запоминается надолго. Лучше всего здесь подходит модель площади.
Нарисуйте прямоугольник со сторонами 2 1/3 и 3 1/2. Разбейте каждую сторону на целую и дробную части — прямоугольник распадётся на четыре части:
| Часть прямоугольника | Площадь |
|---|---|
| 2 × 3 | 6 |
| 2 × 1/2 | 1 |
| 1/3 × 3 | 1 |
| 1/3 × 1/2 | 1/6 |
| Весь прямоугольник | 8 1/6 |
Ученик, который перемножил отдельно целые и отдельно дробные части, учёл только первую и последнюю части и «потерял» две средние. Отсюда и неверный ответ 6 1/6. Проверка по правилу: 2 1/3 · 3 1/2 = 7/3 · 7/2 = 49/6 = 8 1/6.
Этот рисунок стоит оставить на доске или на отдельном слайде до конца урока: к нему удобно возвращаться, когда кто-то снова пытается «сэкономить» шаг.
Типичные ошибки учеников и как их предупредить
| Ошибка | Как выглядит | Как правильно |
|---|---|---|
| Целые и дробные части перемножают отдельно | 2 1/3 · 3 1/2 = 6 1/6 | 7/3 · 7/2 = 49/6 = 8 1/6 |
| Неверно переводят в неправильную дробь | 3 2/5 = 6/5 или 3 2/5 = 15/5 | 3 2/5 = (3 · 5 + 2)/5 = 17/5 |
| При умножении на натуральное число умножают и числитель, и знаменатель | 2/9 · 3 = 6/27 | 2/9 · 3 = 6/9 = 2/3 |
| Сокращают числитель с числителем | 4/9 · 6/5: «сократили» 4 и 6, получили 2/15 | Сокращаем 6 и 9 на 3: (4 · 2)/(3 · 5) = 8/15 |
| В распределительном свойстве забывают умножить целую часть | 4 2/7 · 14 = 4 + 4 = 8 | 4 · 14 + 2/7 · 14 = 56 + 4 = 60 |
| Сначала перемножают большие числа, потом сокращают | 15/4 · 12/5 = 180/20 = … | Сократить до умножения: 3 · 3 = 9 |
| Оставляют ответ неправильной дробью | 49/6 | 8 1/6 — в 6 классе ответ принято записывать с выделенной целой частью |
Несколько приёмов, которые помогают на практике:
- Проговаривание первого шага. Пусть ученик у доски начинает решение вслух со слов «сначала записываю смешанные числа неправильными дробями». Через пару уроков это становится привычкой.
- Прикидка результата. Перед вычислением полезно оценить ответ: 2 1/3 · 3 1/2 точно больше, чем 2 1/3 · 3 = 7. Значит, 6 1/6 быть не может — ошибку ученик ловит сам.
- Проверка разными способами. Пример на умножение смешанного числа на натуральное решите и через неправильную дробь, и через распределительное свойство. Ответы совпали — значит, оба решения верны.
Как провести урок с презентацией: план урока по ФГОС
Ниже — примерный план урока изучения нового материала на 45 минут. Его легко подогнать под свой класс: в сильном классе сократить актуализацию, в слабом — добавить разбор примеров.
| Этап урока | Время | Что происходит |
|---|---|---|
| Организационный момент и мотивация | 2 мин | Тема и цель урока. Вопрос классу: «Складывать и вычитать смешанные числа мы умеем. А умножать?» |
| Актуализация знаний | 5–7 мин | Устный счёт: перевод в неправильную дробь, выделение целой части, умножение дробей |
| Проблемная ситуация | 3 мин | Задача: участок прямоугольной формы имеет размеры 3 1/2 м и 2 2/7 м. Найдите его площадь. Формулу площади ученики знают, а как перемножить такие числа — пока нет |
| Открытие нового знания | 8–10 мин | Вывод правила, алгоритм, разбор примеров, модель площади |
| Первичное закрепление | 8–10 мин | Работа по учебнику с комментированием у доски |
| Самостоятельная работа | 8–10 мин | Два варианта, самопроверка по слайду с ответами |
| Рефлексия и домашнее задание | 2–3 мин | Что получилось, где были трудности; задание из учебника по пункту «Умножение дробей» |
Ответ к проблемной задаче: 3 1/2 · 2 2/7 = 7/2 · 16/7 = 8 (м²). Приятно, что ответ получается целым: ученики сразу видят, что правило «работает».
Если на тему выделено два урока, второй удобно посвятить распределительному свойству, текстовым задачам и рациональным вычислениям — задания для этого есть в следующем разделе.
Задания по теме «Умножение смешанных чисел» с ответами
Задания подобраны так, чтобы большинство ответов получались целыми или «красивыми» числами. Это экономит время урока и сразу сигнализирует ученику: если вышло что-то вроде 137/48, стоит перепроверить решение.
Тренировочные примеры
Вычислите:
- 1 1/2 · 1 1/3
- 2 1/4 · 1 1/9
- 3 1/3 · 2 7/10
- 1 5/6 · 2 2/11
- 4 1/2 · 2 2/3
- 2 2/5 · 1 7/8
- 7 1/2 · 4
- 5/6 · 3 3/5
Текстовые задачи
- Велосипедист едет со скоростью 12 1/2 км/ч. Какой путь он проедет за 2 2/5 ч?
- Масса одного метра трубы — 3 3/4 кг. Какова масса куска такой трубы длиной 2 2/3 м?
- Длина прямоугольного параллелепипеда — 1 1/2 дм, ширина — 2 2/3 дм, высота — 3/4 дм. Найдите его объём.
- В магазин привезли 5 1/3 ц яблок. В первый день продали 3/4 всех яблок. Сколько центнеров яблок продали в первый день?
Задания повышенной сложности
- Вычислите удобным способом: 2 3/7 · 5 1/3 + 2 3/7 · 2 2/3.
- Сравните, не выполняя умножения: 3 1/2 · 4/5 и 3 1/2; 2 1/3 · 1 1/4 и 2 1/3.
- Вычислите: (1 1/2)².
- Какое число нужно вписать в окошко, чтобы равенство было верным: 1 1/3 · □ = 2?
Самостоятельная работа (два варианта)
| № | Вариант 1 | Вариант 2 |
|---|---|---|
| 1 | 1 1/2 · 2 2/3 | 2 1/2 · 1 3/5 |
| 2 | 3 1/3 · 9 | 2 2/5 · 10 |
| 3 | 2 1/4 · 4/9 | 3 1/3 · 3/10 |
| 4 | 1 3/5 · 1 7/8 | 1 1/6 · 2 4/7 |
| 5 | Найдите площадь прямоугольника со сторонами 2 1/4 дм и 1 1/3 дм | Пешеход шёл 1 1/3 ч со скоростью 4 1/2 км/ч. Какой путь он прошёл? |
Ответы
- Тренировочные примеры: 1) 2; 2) 2 1/2; 3) 9; 4) 4; 5) 12; 6) 4 1/2; 7) 30; 8) 3.
- Текстовые задачи: 1) 30 км; 2) 10 кг; 3) 3 дм³; 4) 4 ц.
- Повышенная сложность: 1) 2 3/7 · (5 1/3 + 2 2/3) = 2 3/7 · 8 = 19 3/7; 2) первое произведение меньше 3 1/2, потому что умножаем на правильную дробь; второе больше 2 1/3, потому что умножаем на число больше единицы; 3) 2 1/4; 4) 1 1/2.
- Самостоятельная работа: вариант 1 — 4; 30; 1; 3; 3 дм². Вариант 2 — 4; 24; 1; 3; 6 км.
Что внутри презентации
Презентация «Умножение смешанных чисел» построена по логике урока, поэтому её можно показывать подряд, не перескакивая между слайдами. Внутри:
- титульный слайд с темой и целями урока;
- устный счёт для актуализации знаний;
- повторение перевода смешанного числа в неправильную дробь и выделения целой части;
- правило умножения смешанных чисел и алгоритм действий;
- пошаговый разбор примеров;
- задания для закрепления;
- слайды для самопроверки;
- рефлексия и домашнее задание.
Главное преимущество презентации перед записью на доске — время и наглядность. Решение появляется по шагам, а не целиком, и учитель управляет темпом: можно остановиться на переводе в неправильную дробь, дать классу досчитать самостоятельно и только потом показать ответ.
Как адаптировать презентацию под свой класс
- Слабый класс. Добавьте больше примеров на перевод смешанного числа в неправильную дробь и разрешите на первом уроке пользоваться карточкой с алгоритмом. Начинайте с примеров, где сокращение очевидно.
- Сильный класс. Сделайте упор на распределительное свойство, рациональные вычисления и задачи с тремя множителями, например на объём параллелепипеда.
- Дистанционный урок. Демонстрируйте презентацию через общий экран и делайте паузу перед слайдом с ответом: ученики пишут свой результат в чат, затем сверяются.
- Повторение перед контрольной. Используйте разбор ошибок и самостоятельную работу: этого обычно достаточно, чтобы освежить тему за 15–20 минут.
- Раздаточный материал. Слайды с заданиями можно распечатать и раздать как карточки для работы в парах.
Что изучают после умножения смешанных чисел
Умение уверенно умножать смешанные числа понадобится уже на следующих уроках. В пункте «Нахождение дроби от числа» ученики будут находить, например, 3/4 от 5 1/3. Затем — распределительное свойство умножения, взаимно обратные числа (обратное к 2 1/2 число ищут, тоже переводя его в неправильную дробь), деление дробей и дробные выражения. Если умножение смешанных чисел «встало» хорошо, деление смешанных чисел проходит заметно легче: схема та же, меняется только последний шаг.
Частые вопросы учителей
В каком пункте учебника Виленкина изучается умножение смешанных чисел?
В пункте «Умножение дробей» (п. 13) параграфа «Умножение и деление обыкновенных дробей». Отдельного пункта под смешанные числа нет: правило идёт после умножения дроби на натуральное число и дроби на дробь. Рациональный способ умножения смешанного числа на натуральное разбирается позже, в пункте «Применение распределительного свойства умножения».
Можно ли умножать целые и дробные части смешанных чисел отдельно?
Нет. При таком умножении теряются два слагаемых, и ответ получается меньше верного: например, 2 1/3 · 3 1/2 даёт 6 1/6 вместо 8 1/6. Наглядно это объясняет модель площади прямоугольника, разобранная выше.
Обязательно ли переводить смешанное число в неправильную дробь при умножении на натуральное число?
Не обязательно. Можно воспользоваться распределительным свойством: 6 1/4 · 8 = 6 · 8 + 1/4 · 8 = 50. Этот способ особенно удобен, когда натуральное число делится на знаменатель дробной части.
Нужно ли в ответе выделять целую часть?
В 6 классе — да, это принятая запись ответа. Ответ 49/6 формально верный, но в тетради его стоит записать как 8 1/6.
Почему при умножении на смешанное число результат увеличивается, а при умножении на правильную дробь — уменьшается?
Любое смешанное число больше единицы, поэтому произведение получается больше второго множителя. Правильная дробь меньше единицы — и произведение получается меньше. Этот факт полезен для прикидки ответа и для заданий на сравнение без вычислений.
Подойдёт ли презентация, если класс учится по другому учебнику?
Да. Правило умножения смешанных чисел одинаково во всех школьных учебниках, отличаются только место темы в программе и номера заданий. Презентацию можно использовать как есть, подобрав упражнения из своего учебника.
Как скачать презентацию?
Нажмите на кнопку «Скачать презентацию бесплатно» в начале или в конце статьи. Презентацию можно показывать на уроке как есть или доработать под свой класс.
Готовая презентация экономит время на подготовку и помогает провести урок так, чтобы правило умножения смешанных чисел не просто прозвучало, а было понято: через алгоритм, пошаговые примеры и разбор типичных ошибок. Материал составлен по учебнику математики для 6 класса Н. Я. Виленкина и подходит для урока изучения нового материала, закрепления и повторения перед контрольной работой.
Смотрите для 6 класса по математике
Сложение и вычитание смешанных чисел контрольная работа по математике 6 класс Виленкин