Автор Все 36 вариантов задания 20 ОГЭ-2027 из тренировочных вариантов Ященко: неравенства, уравнения и системы уравнений с полными решениями, критериями оценивания и ответами.
Задание 20 ОГЭ по математике 2027: уравнения, неравенства и системы, 36 вариантов Ященко с решениями
zadanie-20-mat-9-klass-oge-2027Задание 20 открывает вторую часть ОГЭ по математике. Краткого ответа здесь уже недостаточно: решение записывается полностью, и его проверяет эксперт. За обоснованное решение с верным ответом ставят 2 балла.
По сложности задание 20 — самое доступное во второй части. В нём нет хитрых идей, но есть набор ловушек: забытая область допустимых значений, деление на выражение с переменной, потерянная изолированная точка в неравенстве. Именно на них теряют баллы чаще всего.
Ниже разобраны все 36 вариантов задания 20 из тренировочных вариантов Ященко к ОГЭ 2027. Задачи сгруппированы по способу решения: перед каждой группой коротко описан приём, затем идут условия и решения в том виде, в каком их стоит записывать на экзамене. В конце — таблица ответов, типичные ошибки и частые вопросы.
Чтобы найти свою задачу, нажмите Ctrl+F и введите номер варианта или кусок условия, например «x⁸ = (12 − x)⁴» или «xy = −12». Формулы в статье записаны обычным текстом: x² — это x в квадрате, √2 — квадратный корень из двух, дробь записана через косую черту. Задания первой части разобраны отдельно.
Как оценивают задание 20
Вторая часть ОГЭ по математике состоит из шести заданий, с 20-го по 25-е, и каждое оценивается максимум в 2 балла. Критерии для задания 20 такие:
| Баллы | Что требуется |
|---|---|
| 2 | Обоснованно получен верный ответ |
| 1 | Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
Из критериев следуют три практических вывода.
Во-первых, ответ без решения не оценивается. Даже верное число в строке «Ответ» без записанного хода решения даёт 0 баллов.
Во-вторых, 1 балл можно получить только за арифметическую ошибку, например за неверно перемноженные числа. Если ошибка в самом методе — потерян корень из-за деления на выражение с переменной, не учтена область допустимых значений, неверно применена формула, — решение обычно получает 0.
В-третьих, оформление может быть любым, лишь бы ход рассуждений был понятен. Не нужно расписывать каждое действие словами, но ключевые шаги должны быть видны: область допустимых значений, разложение на множители, замена переменной, отбор корней.
Как записать решение, чтобы не потерять балл
- Если в задаче есть дробь с переменной в знаменателе или корень, первой строкой запишите область допустимых значений (ОДЗ).
- В неравенствах не умножайте и не делите обе части на выражение с переменной: его знак заранее неизвестен. Переносите всё в одну сторону и решайте методом интервалов.
- В уравнениях не сокращайте на выражение с переменной. Выносите его за скобки: так не потеряется корень.
- После замены переменной обязательно вернитесь к исходной переменной и отбросьте значения, которые не могут получиться (например, отрицательное значение квадрата).
- В конце отберите корни по ОДЗ и запишите ответ отдельной строкой. Для системы ответ записывается парами чисел (x; y).
Какие задачи встречаются в 36 вариантах
| Тип задачи | Варианты |
|---|---|
| Дробно-рациональные неравенства | 1, 2, 13, 14, 25, 26 |
| Неравенства с разложением на множители | 7, 8 |
| Неравенства с квадратами: разность квадратов | 19, 20 |
| Неравенства с общим множителем и корнем | 35, 36 |
| Уравнение «сумма квадратов равна нулю» | 3, 4 |
| Уравнения с заменой переменной | 9, 10, 29, 30 |
| Уравнения с корнем и ОДЗ | 11, 12 |
| Уравнения со степенями: x⁸, x⁶ | 17, 18, 27, 28 |
| Уравнения с вынесением общего множителя | 23, 24 |
| Кубические уравнения: группировка | 31, 32 |
| Системы, где одно уравнение кратно другому | 5, 6 |
| Симметричные системы с x² + y² и xy | 15, 16 |
| Системы, решаемые подстановкой | 33, 34 |
| Системы с произведением, равным нулю | 21, 22 |
Дробно-рациональные неравенства: варианты 1, 2, 13, 14, 25, 26
Главное правило: неравенство с дробью нельзя умножать на знаменатель, если неизвестен его знак. Всё переносят в одну часть, приводят к общему знаменателю и решают методом интервалов. Нули числителя входят в ответ при нестрогом знаке, нули знаменателя не входят никогда.
Если числитель — постоянное число, задача упрощается: знак дроби совпадает со знаком знаменателя или противоположен ему.
Вариант 1. Решите неравенство x²/(x − 25) ≤ x
Решите неравенство x²/(x − 25) ≤ x.
Решение. ОДЗ: x ≠ 25.
Перенесём x в левую часть и приведём к общему знаменателю:
x²/(x − 25) − x ≤ 0,
(x² − x(x − 25))/(x − 25) ≤ 0,
25x/(x − 25) ≤ 0.
Числитель обращается в ноль при x = 0, знаменатель — при x = 25. Эти точки делят прямую на три промежутка, на которых дробь имеет знаки «+», «−», «+». Подходит средний промежуток. Точку x = 0 включаем, потому что в ней дробь равна нулю, а x = 25 исключаем.
Здесь легко ошибиться, если сразу умножить обе части на x − 25. При x < 25 этот множитель отрицательный, знак неравенства должен поменяться, и решение получится неверным.
Ответ: [0; 25).
Вариант 2. Решите неравенство x²/(x + 4) ≥ x
Решите неравенство x²/(x + 4) ≥ x.
Решение. ОДЗ: x ≠ −4.
x²/(x + 4) − x ≥ 0,
(x² − x(x + 4))/(x + 4) ≥ 0,
−4x/(x + 4) ≥ 0.
Разделим обе части на −4 и сменим знак неравенства:
x/(x + 4) ≤ 0.
Нули: x = 0 (числитель) и x = −4 (знаменатель). Дробь отрицательна между ними. Ноль включаем, −4 исключаем.
Ответ: (−4; 0].
Вариант 13. Решите неравенство −14/(x² + 5x − 14) ≤ 0
Решите неравенство −14/(x² + 5x − 14) ≤ 0.
Решение. Умножим обе части на −1 и сменим знак неравенства:
14/(x² + 5x − 14) ≥ 0.
Числитель — положительное число, поэтому дробь никогда не равна нулю, а её знак совпадает со знаком знаменателя. Значит, нужно x² + 5x − 14 > 0.
Корни трёхчлена: x = −7 и x = 2 (по теореме Виета их сумма −5, произведение −14). Парабола направлена ветвями вверх, трёхчлен положителен вне промежутка между корнями.
Обратите внимание: знак в условии нестрогий, но концы промежутков в ответ не входят. В точках −7 и 2 знаменатель равен нулю, дробь там не определена.
Ответ: (−∞; −7) ∪ (2; +∞).
Вариант 14. Решите неравенство −30/(x² − 7x − 30) ≤ 0
Решите неравенство −30/(x² − 7x − 30) ≤ 0.
Решение. После умножения на −1:
30/(x² − 7x − 30) ≥ 0.
Дробь не обращается в ноль и положительна, когда положителен знаменатель: x² − 7x − 30 > 0. Корни трёхчлена −3 и 10, он положителен при x < −3 и при x > 10.
Ответ: (−∞; −3) ∪ (10; +∞).
Вариант 25. Решите неравенство −10/((x − 3)² − 5) ≥ 0
Решите неравенство −10/((x − 3)² − 5) ≥ 0.
Решение. Числитель отрицательный, дробь не может равняться нулю. Она положительна, только если знаменатель отрицателен:
(x − 3)² − 5 < 0,
(x − 3)² < 5,
−√5 < x − 3 < √5,
3 − √5 < x < 3 + √5.
Раскрывать скобки и решать квадратное неравенство через дискриминант здесь не нужно: квадрат меньше пяти — значит, модуль выражения меньше √5.
Ответ: (3 − √5; 3 + √5).
Вариант 26. Решите неравенство −13/((x − 4)² − 6) ≥ 0
Решите неравенство −13/((x − 4)² − 6) ≥ 0.
Решение. Числитель отрицательный, значит, нужен отрицательный знаменатель:
(x − 4)² < 6,
−√6 < x − 4 < √6,
4 − √6 < x < 4 + √6.
Ответ: (4 − √6; 4 + √6).
Неравенства с разложением на множители: варианты 7 и 8
Каждый квадратный трёхчлен раскладывают на множители. Если один и тот же множитель встречается дважды, получается квадрат — он не меняет знак, но обращается в ноль. Из-за этого в ответе появляется отдельная точка, которую очень легко потерять.
Вариант 7. Решите неравенство (x² + 5x + 6)(x² − 2x − 15) ≤ 0
Решите неравенство (x² + 5x + 6)(x² − 2x − 15) ≤ 0.
Решение. Разложим трёхчлены на множители:
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3),
x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3).
Неравенство принимает вид
(x + 3)²(x + 2)(x − 5) ≤ 0.
При x = −3 левая часть равна нулю, и неравенство выполняется. При x ≠ −3 множитель (x + 3)² положителен, на него можно разделить, и остаётся
(x + 2)(x − 5) ≤ 0,
откуда −2 ≤ x ≤ 5.
Точка −3 не попадает в отрезок [−2; 5], поэтому её надо записать в ответ отдельно.
Ответ: {−3} ∪ [−2; 5].
Вариант 8. Решите неравенство (x² − 5x − 14)(x² + 6x + 8) ≥ 0
Решите неравенство (x² − 5x − 14)(x² + 6x + 8) ≥ 0.
Решение. Разложим на множители:
x² − 5x − 14 = (x − 7)(x + 2),
x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4).
Получаем (x + 2)²(x + 4)(x − 7) ≥ 0.
При x = −2 левая часть равна нулю — точка подходит. При остальных x делим на положительный множитель (x + 2)²:
(x + 4)(x − 7) ≥ 0,
откуда x ≤ −4 или x ≥ 7.
Ответ: (−∞; −4] ∪ {−2} ∪ [7; +∞).
Неравенства с квадратами: варианты 19 и 20
Сравнивать квадраты, «извлекая корень» из обеих частей, нельзя: из a² ≥ b² не следует a ≥ b. Надёжный способ — перенести всё в одну часть и разложить по формуле разности квадратов.
Вариант 19. Решите неравенство (9x − 4)² ≥ (4x − 9)²
Решите неравенство (9x − 4)² ≥ (4x − 9)².
Решение. Перенесём правую часть влево и применим формулу a² − b² = (a − b)(a + b):
(9x − 4)² − (4x − 9)² ≥ 0,
(9x − 4 − 4x + 9)(9x − 4 + 4x − 9) ≥ 0,
(5x + 5)(13x − 13) ≥ 0,
65(x + 1)(x − 1) ≥ 0.
Произведение (x + 1)(x − 1) неотрицательно при x ≤ −1 и при x ≥ 1.
Ответ: (−∞; −1] ∪ [1; +∞).
Вариант 20. Решите неравенство (7x − 5)² ≤ (5x − 7)²
Решите неравенство (7x − 5)² ≤ (5x − 7)².
Решение.
(7x − 5)² − (5x − 7)² ≤ 0,
(7x − 5 − 5x + 7)(7x − 5 + 5x − 7) ≤ 0,
(2x + 2)(12x − 12) ≤ 0,
24(x + 1)(x − 1) ≤ 0,
откуда −1 ≤ x ≤ 1.
Ответ: [−1; 1].
Неравенства с общим множителем: варианты 35 и 36
В левой части спрятан полный квадрат, а справа стоит тот же самый множитель, умноженный на корень. Искушение разделить на него очень велико, но знак множителя неизвестен. Правильный путь — вынести общий множитель за скобки.
Вариант 35. Решите неравенство 81 − 18x + x² < √2(x − 9)
Решите неравенство 81 − 18x + x² < √2(x − 9).
Решение. Левая часть — полный квадрат: 81 − 18x + x² = (x − 9)². Перенесём всё влево и вынесем x − 9 за скобки:
(x − 9)² − √2(x − 9) < 0,
(x − 9)(x − 9 − √2) < 0.
Нули множителей: x = 9 и x = 9 + √2. Произведение отрицательно между ними.
Если бы мы разделили обе части на x − 9, получили бы x − 9 < √2, то есть x < 9 + √2 — и в ответ попали бы все числа меньше девяти, которые на самом деле не подходят.
Ответ: (9; 9 + √2).
Вариант 36. Решите неравенство 36 − 12x + x² < √10(x − 6)
Решите неравенство 36 − 12x + x² < √10(x − 6).
Решение. 36 − 12x + x² = (x − 6)², поэтому
(x − 6)² − √10(x − 6) < 0,
(x − 6)(x − 6 − √10) < 0,
6 < x < 6 + √10.
Ответ: (6; 6 + √10).
Сумма квадратов равна нулю: варианты 3 и 4
Квадрат любого числа неотрицателен. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только если оба равны нулю. Поэтому уравнение превращается в систему из двух уравнений, и в ответ идут только общие корни.
Вариант 3. Решите уравнение (x² − 16)² + (x² − 5x − 36)² = 0
Решите уравнение (x² − 16)² + (x² − 5x − 36)² = 0.
Решение. Оба слагаемых неотрицательны, поэтому их сумма равна нулю только тогда, когда каждое равно нулю:
x² − 16 = 0 и x² − 5x − 36 = 0.
Первое уравнение даёт x = −4 или x = 4. Корни второго: x = 9 и x = −4 (сумма корней 5, произведение −36).
Общий корень один: x = −4.
Раскрывать скобки и получать уравнение четвёртой степени не нужно — это долго и почти наверняка приведёт к ошибке.
Ответ: −4.
Вариант 4. Решите уравнение (x² − 64)² + (x² + 6x − 16)² = 0
Решите уравнение (x² − 64)² + (x² + 6x − 16)² = 0.
Решение. Сумма квадратов равна нулю, только если
x² − 64 = 0 и x² + 6x − 16 = 0.
Первое: x = ±8. Второе: x = −8 или x = 2. Общий корень x = −8.
Ответ: −8.
Уравнения с заменой переменной: варианты 9, 10, 29, 30
Если в уравнении повторяется одно и то же выражение — квадрат скобки или дробь 1/x, — его заменяют новой переменной. Получается квадратное уравнение. После его решения нужно вернуться к x и проверить, может ли новая переменная принимать найденные значения.
Вариант 9. Решите уравнение (x + 4)⁴ − 4(x + 4)² − 32 = 0
Решите уравнение (x + 4)⁴ − 4(x + 4)² − 32 = 0.
Решение. Пусть t = (x + 4)², тогда t ≥ 0 и (x + 4)⁴ = t².
t² − 4t − 32 = 0,
t = 8 или t = −4.
Значение t = −4 не подходит: квадрат не может быть отрицательным.
(x + 4)² = 8,
x + 4 = 2√2 или x + 4 = −2√2,
x = −4 + 2√2 или x = −4 − 2√2.
Ответ: −4 − 2√2; −4 + 2√2.
Вариант 10. Решите уравнение (x − 3)⁴ − 3(x − 3)² − 108 = 0
Решите уравнение (x − 3)⁴ − 3(x − 3)² − 108 = 0.
Решение. Пусть t = (x − 3)², t ≥ 0:
t² − 3t − 108 = 0.
Дискриминант 9 + 432 = 441 = 21², t = (3 ± 21)/2, то есть t = 12 или t = −9. Отрицательное значение отбрасываем.
(x − 3)² = 12,
x − 3 = ±2√3,
x = 3 ± 2√3.
Ответ: 3 − 2√3; 3 + 2√3.
Вариант 29. Решите уравнение 1/x² − 1/x − 6 = 0
Решите уравнение 1/x² − 1/x − 6 = 0.
Решение. ОДЗ: x ≠ 0.
Пусть t = 1/x, тогда 1/x² = t²:
t² − t − 6 = 0,
t = 3 или t = −2.
Возвращаемся к x: 1/x = 3, откуда x = 1/3; 1/x = −2, откуда x = −1/2. Оба значения входят в ОДЗ.
Можно решать и без замены, умножив обе части на x², но тогда легко забыть, что x ≠ 0, а замена делает решение короче.
Ответ: −1/2; 1/3.
Вариант 30. Решите уравнение 1/(x − 1)² + 3/(x − 1) − 10 = 0
Решите уравнение 1/(x − 1)² + 3/(x − 1) − 10 = 0.
Решение. ОДЗ: x ≠ 1.
Пусть t = 1/(x − 1):
t² + 3t − 10 = 0,
t = 2 или t = −5.
Если 1/(x − 1) = 2, то x − 1 = 1/2 и x = 1,5.
Если 1/(x − 1) = −5, то x − 1 = −1/5 и x = 0,8.
Ответ: 0,8; 1,5.
Уравнения с корнем: варианты 11 и 12
Одно и то же выражение с корнем стоит в обеих частях уравнения, и его можно просто вычесть. Но сам корень задаёт ограничение на x, и оно никуда не исчезает. Ровно на этом построены оба варианта: один из корней квадратного уравнения в ОДЗ не попадает.
Вариант 11. Решите уравнение 2x² − 3x + √(2 − x) = √(2 − x) + 14
Решите уравнение 2x² − 3x + √(2 − x) = √(2 − x) + 14.
Решение. ОДЗ: 2 − x ≥ 0, то есть x ≤ 2.
Вычтем √(2 − x) из обеих частей:
2x² − 3x − 14 = 0.
Дискриминант 9 + 112 = 121, x = (3 ± 11)/4, то есть x = 3,5 или x = −2.
Число 3,5 больше 2 и в ОДЗ не входит: при x = 3,5 под корнем было бы отрицательное число. Остаётся x = −2.
Проверка: 2 · 4 + 6 + √4 = 16 и √4 + 14 = 16.
Ответ: −2.
Вариант 12. Решите уравнение 2x² − 3x + √(4 − x) = √(4 − x) + 27
Решите уравнение 2x² − 3x + √(4 − x) = √(4 − x) + 27.
Решение. ОДЗ: x ≤ 4.
После вычитания корня:
2x² − 3x − 27 = 0.
Дискриминант 9 + 216 = 225, x = (3 ± 15)/4, то есть x = 4,5 или x = −3. Значение 4,5 не входит в ОДЗ.
Ответ: −3.
Уравнения со степенями: варианты 17, 18, 27, 28
Здесь важно различать чётную и нечётную степень.
Если a⁴ = b⁴, то a = b или a = −b: у чётной степени два случая.
Если a³ = b³, то a = b: куб — возрастающая функция, разные числа не могут иметь равные кубы.
Вариант 17. Решите уравнение x⁸ = (12 − x)⁴
Решите уравнение x⁸ = (12 − x)⁴.
Решение. Запишем x⁸ как (x²)⁴. Равенство четвёртых степеней означает, что основания равны или противоположны:
x² = 12 − x или x² = −(12 − x).
Первое уравнение: x² + x − 12 = 0, корни x = −4 и x = 3.
Второе уравнение: x² − x + 12 = 0. Дискриминант 1 − 48 < 0, корней нет.
Второй случай корней не дал, но рассмотреть его нужно: без него переход от восьмой степени ко второй не обоснован, и эксперт может не засчитать решение.
Ответ: −4; 3.
Вариант 18. Решите уравнение x⁸ = (20 − x)⁴
Решите уравнение x⁸ = (20 − x)⁴.
Решение. (x²)⁴ = (20 − x)⁴, поэтому
x² = 20 − x или x² = −(20 − x).
Первое: x² + x − 20 = 0, x = −5 или x = 4. Второе: x² − x + 20 = 0, дискриминант 1 − 80 < 0, корней нет.
Ответ: −5; 4.
Вариант 27. Решите уравнение x⁶ = (8 − 7x)³
Решите уравнение x⁶ = (8 − 7x)³.
Решение. Запишем x⁶ = (x²)³. Кубы равны тогда и только тогда, когда равны основания:
x² = 8 − 7x,
x² + 7x − 8 = 0,
x = 1 или x = −8.
Ответ: −8; 1.
Вариант 28. Решите уравнение x⁶ = −(4x + 3)³
Решите уравнение x⁶ = −(4x + 3)³.
Решение. Минус можно внести под куб: −(4x + 3)³ = (−4x − 3)³. Тогда
(x²)³ = (−4x − 3)³,
x² = −4x − 3,
x² + 4x + 3 = 0,
x = −1 или x = −3.
Ответ: −3; −1.
Вынесение общего множителя: варианты 23 и 24
В обеих частях уравнения прячется один и тот же множитель. Сократить на него нельзя — пропадёт корень. Его выносят за скобки, и произведение приравнивают к нулю.
Вариант 23. Решите уравнение (x − 2)(x² + 8x + 16) = 7(x + 4)
Решите уравнение (x − 2)(x² + 8x + 16) = 7(x + 4).
Решение. Заметим, что x² + 8x + 16 = (x + 4)². Перенесём всё в левую часть:
(x − 2)(x + 4)² − 7(x + 4) = 0,
(x + 4)((x − 2)(x + 4) − 7) = 0,
(x + 4)(x² + 2x − 15) = 0.
Отсюда x + 4 = 0, то есть x = −4, или x² + 2x − 15 = 0, то есть x = 3 или x = −5.
Если сократить обе части на x + 4, корень −4 потеряется.
Ответ: −5; −4; 3.
Вариант 24. Решите уравнение x(x² + 4x + 4) = 3(x + 2)
Решите уравнение x(x² + 4x + 4) = 3(x + 2).
Решение. x² + 4x + 4 = (x + 2)², поэтому
x(x + 2)² − 3(x + 2) = 0,
(x + 2)(x(x + 2) − 3) = 0,
(x + 2)(x² + 2x − 3) = 0.
x = −2, или x² + 2x − 3 = 0, откуда x = 1 или x = −3.
Ответ: −3; −2; 1.
Кубические уравнения: варианты 31 и 32
Кубическое уравнение с четырьмя слагаемыми почти всегда раскладывается группировкой: первые два слагаемых дают общую скобку с последними двумя.
Вариант 31. Решите уравнение x³ + 4x² = 9x + 36
Решите уравнение x³ + 4x² = 9x + 36.
Решение. Перенесём всё влево и сгруппируем:
x³ + 4x² − 9x − 36 = 0,
x²(x + 4) − 9(x + 4) = 0,
(x + 4)(x² − 9) = 0,
(x + 4)(x − 3)(x + 3) = 0.
Ответ: −4; −3; 3.
Вариант 32. Решите уравнение x³ + 5x² − 4x − 20 = 0
Решите уравнение x³ + 5x² − 4x − 20 = 0.
Решение.
x²(x + 5) − 4(x + 5) = 0,
(x + 5)(x² − 4) = 0,
(x + 5)(x − 2)(x + 2) = 0.
Ответ: −5; −2; 2.
Системы, где одно уравнение кратно другому: варианты 5 и 6
Левая часть одного уравнения ровно в несколько раз больше левой части другого. Это позволяет сразу найти одну переменную, не возводя ничего в степень.
Вариант 5. Решите систему уравнений 5x² − 2y² = 2, 15x² − 6y² = −2y
Решите систему уравнений {5x² − 2y² = 2; 15x² − 6y² = −2y}.
Решение. Левая часть второго уравнения втрое больше левой части первого:
15x² − 6y² = 3(5x² − 2y²) = 3 · 2 = 6.
Значит, −2y = 6, y = −3.
Подставим в первое уравнение: 5x² − 2 · 9 = 2, 5x² = 20, x² = 4, x = ±2.
Ответ: (2; −3), (−2; −3).
Вариант 6. Решите систему уравнений 28x² − 12y² = −15y, 7x² − 3y² = 15
Решите систему уравнений {28x² − 12y² = −15y; 7x² − 3y² = 15}.
Решение. Левая часть первого уравнения в 4 раза больше левой части второго:
28x² − 12y² = 4(7x² − 3y²) = 4 · 15 = 60.
Тогда −15y = 60, y = −4.
Из второго уравнения: 7x² − 3 · 16 = 15, 7x² = 63, x² = 9, x = ±3.
Ответ: (3; −4), (−3; −4).
Симметричные системы: варианты 15 и 16
Если в системе даны x² + y² и xy, удобно найти (x + y)² и (x − y)² по формулам квадрата суммы и разности. Получаются четыре простые линейные системы.
Вариант 15. Решите систему уравнений x² + y² = 40, xy = −12
Решите систему уравнений {x² + y² = 40; xy = −12}.
Решение.
(x + y)² = x² + y² + 2xy = 40 − 24 = 16, значит, x + y = ±4.
(x − y)² = x² + y² − 2xy = 40 + 24 = 64, значит, x − y = ±8.
Решаем четыре системы, складывая и вычитая уравнения:
- x + y = 4, x − y = 8: x = 6, y = −2;
- x + y = 4, x − y = −8: x = −2, y = 6;
- x + y = −4, x − y = 8: x = 2, y = −6;
- x + y = −4, x − y = −8: x = −6, y = 2.
Проверка для первой пары: 36 + 4 = 40, 6 · (−2) = −12.
Ответ: (6; −2), (−2; 6), (2; −6), (−6; 2).
Вариант 16. Решите систему уравнений x² + y² = 68, xy = −16
Решите систему уравнений {x² + y² = 68; xy = −16}.
Решение.
(x + y)² = 68 − 32 = 36, x + y = ±6.
(x − y)² = 68 + 32 = 100, x − y = ±10.
- x + y = 6, x − y = 10: x = 8, y = −2;
- x + y = 6, x − y = −10: x = −2, y = 8;
- x + y = −6, x − y = 10: x = 2, y = −8;
- x + y = −6, x − y = −10: x = −8, y = 2.
Ответ: (8; −2), (−2; 8), (2; −8), (−8; 2).
Системы, решаемые подстановкой: варианты 33 и 34
Обе части выражают y, поэтому правые части можно приравнять. А дальше полезно заметить общий множитель: квадратное уравнение раскладывается без дискриминанта.
Вариант 33. Решите систему уравнений 5x² − 11x = y, 5x − 11 = y
Решите систему уравнений {5x² − 11x = y; 5x − 11 = y}.
Решение. Приравняем левые части:
5x² − 11x = 5x − 11,
x(5x − 11) − (5x − 11) = 0,
(5x − 11)(x − 1) = 0,
x = 2,2 или x = 1.
Находим y из второго уравнения: при x = 2,2 y = 11 − 11 = 0; при x = 1 y = 5 − 11 = −6.
Ответ: (1; −6), (2,2; 0).
Вариант 34. Решите систему уравнений 4x² − 5x = y, 8x − 10 = y
Решите систему уравнений {4x² − 5x = y; 8x − 10 = y}.
Решение.
4x² − 5x = 8x − 10,
x(4x − 5) − 2(4x − 5) = 0,
(4x − 5)(x − 2) = 0,
x = 1,25 или x = 2.
y = 8x − 10: при x = 2 y = 6; при x = 1,25 y = 0.
Ответ: (2; 6), (1,25; 0).
Системы с произведением, равным нулю: варианты 21 и 22
Первое уравнение распадается на два случая. Второе уравнение содержит дробь, поэтому её знаменатель не должен равняться нулю. В обоих вариантах один из случаев не даёт решений, и это нужно аккуратно обосновать.
Вариант 21. Решите систему уравнений (x − 10)(y − 8) = 0, (y − 3)/(x + y − 13) = 5
Решите систему уравнений {(x − 10)(y − 8) = 0; (y − 3)/(x + y − 13) = 5}.
Решение. Знаменатель не равен нулю: x + y ≠ 13. Из первого уравнения x = 10 или y = 8.
Случай x = 10. Второе уравнение принимает вид (y − 3)/(y − 3) = 5. При y ≠ 3 левая часть равна 1, а не 5, при y = 3 дробь не определена. Решений нет.
Случай y = 8. Второе уравнение: 5/(x − 5) = 5, откуда x − 5 = 1, x = 6. Знаменатель 6 + 8 − 13 = 1 ≠ 0.
Ответ: (6; 8).
Вариант 22. Решите систему уравнений (x − 6)(y − 5) = 0, (y − 2)/(x + y − 8) = 3
Решите систему уравнений {(x − 6)(y − 5) = 0; (y − 2)/(x + y − 8) = 3}.
Решение. Условие: x + y ≠ 8. Из первого уравнения x = 6 или y = 5.
Случай x = 6: (y − 2)/(y − 2) = 3. Дробь равна 1 или не определена, решений нет.
Случай y = 5: 3/(x − 3) = 3, x − 3 = 1, x = 4. Знаменатель 4 + 5 − 8 = 1 ≠ 0.
Ответ: (4; 5).
Ответы на все 36 вариантов задания 20
| Вариант | Ответ |
|---|---|
| 1 | [0; 25) |
| 2 | (−4; 0] |
| 3 | −4 |
| 4 | −8 |
| 5 | (2; −3), (−2; −3) |
| 6 | (3; −4), (−3; −4) |
| 7 | {−3} ∪ [−2; 5] |
| 8 | (−∞; −4] ∪ {−2} ∪ [7; +∞) |
| 9 | −4 − 2√2; −4 + 2√2 |
| 10 | 3 − 2√3; 3 + 2√3 |
| 11 | −2 |
| 12 | −3 |
| 13 | (−∞; −7) ∪ (2; +∞) |
| 14 | (−∞; −3) ∪ (10; +∞) |
| 15 | (6; −2), (−2; 6), (2; −6), (−6; 2) |
| 16 | (8; −2), (−2; 8), (2; −8), (−8; 2) |
| 17 | −4; 3 |
| 18 | −5; 4 |
| 19 | (−∞; −1] ∪ [1; +∞) |
| 20 | [−1; 1] |
| 21 | (6; 8) |
| 22 | (4; 5) |
| 23 | −5; −4; 3 |
| 24 | −3; −2; 1 |
| 25 | (3 − √5; 3 + √5) |
| 26 | (4 − √6; 4 + √6) |
| 27 | −8; 1 |
| 28 | −3; −1 |
| 29 | −1/2; 1/3 |
| 30 | 0,8; 1,5 |
| 31 | −4; −3; 3 |
| 32 | −5; −2; 2 |
| 33 | (1; −6), (2,2; 0) |
| 34 | (2; 6), (1,25; 0) |
| 35 | (9; 9 + √2) |
| 36 | (6; 6 + √10) |
Где чаще всего теряют баллы в задании 20
Умножают неравенство на выражение с переменной
В вариантах 1 и 2 так и хочется умножить обе части на знаменатель. Но если знаменатель отрицателен, знак неравенства меняется, а заранее его знак неизвестен. Решение получается неверным, и за него ставят 0 баллов.
Сокращают на множитель с переменной
В вариантах 23 и 24 сокращение на x + 4 или x + 2 теряет корень. В вариантах 35 и 36 деление на x − 9 или x − 6 приводит к лишним решениям. Общий множитель выносят за скобки — это всегда безопасно.
Забывают про ОДЗ
В вариантах 11 и 12 без ОДЗ в ответ попадают лишние корни 3,5 и 4,5. В вариантах 21 и 22 нужно следить, чтобы знаменатель не обратился в ноль. Записывайте ОДЗ первой строкой решения, тогда в конце о ней не забудете.
Теряют отдельную точку в ответе
В вариантах 7 и 8 квадрат множителя обращается в ноль в одной точке, и при нестрогом знаке она входит в ответ отдельно: −3 в варианте 7 и −2 в варианте 8. Без неё ответ неполный.
«Извлекают корень» из неравенства с квадратами
Из (9x − 4)² ≥ (4x − 9)² нельзя сделать вывод 9x − 4 ≥ 4x − 9. Так теряется половина решений. Работает только разность квадратов.
Не отбрасывают невозможные значения после замены
Если t = (x + 4)², значение t = −4 надо отбросить с пояснением: квадрат не бывает отрицательным. Без этой строки решение считается необоснованным.
Записывают ответ системы не парами
Ответ системы — это пары чисел (x; y). Запись «x = ±2, y = −3» менее аккуратна, а при большом числе решений легко перепутать, какой x какому y соответствует.
Вопросы о задании 20 ОГЭ по математике
Сколько баллов даёт задание 20?
До двух баллов. 2 балла ставят за обоснованное решение с верным ответом, 1 балл — если решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, а дальнейшие шаги с её учётом выполнены верно.
Можно ли получить баллы за один верный ответ?
Нет. Задание 20 проверяется по записанному решению. Ответ без решения не оценивается, даже если он правильный.
Обязательно ли записывать ОДЗ?
Если в задаче есть дробь с переменной в знаменателе или корень, ограничения нужно учесть и показать в решении. Форма записи может быть любой, но эксперт должен видеть, почему лишние корни отброшены.
Можно ли решать не тем способом, что в разборе?
Да. Оформление решения в задании 20 может быть произвольным, главное, чтобы оно было математически верным и полным. Например, вариант 29 можно решать без замены, умножив обе части на x², а неравенства — методом интервалов или через свойства параболы.
Изменится ли задание 20 в ОГЭ 2027 года?
По проектам демоверсии и кодификатора ФИПИ на 2027 год структура экзамена, формулировки заданий и система оценивания остаются прежними. Задание 20, как и раньше, будет на решение уравнения, неравенства или системы.
Сколько времени закладывать на задание 20?
Обычно 8–12 минут вместе с аккуратной записью и проверкой. Решайте его сразу после первой части: из всей второй части оно самое предсказуемое, и два балла здесь получить проще всего.
Смотрите для 9 класса по математике