Автор Все 36 вариантов задания 18 ОГЭ-2027 из тренировочных вариантов Ященко: площадь, длина отрезка, тангенс угла на клетчатой бумаге. Условия, решения и ответы.
Тренажёр ОГЭ 2027 по математике 9 класс задание 18
zadanie-18-mat-9-klass-oge-2027-36-variantovЗадание 18, пожалуй, самое доброжелательное в геометрической части ОГЭ. Всё нужное есть на рисунке: фигура нарисована на клетчатой бумаге, и длины отрезков находятся подсчётом клеток. Остаётся подставить их в знакомую формулу площади, теорему Пифагора или определение тангенса.
Ниже разобраны все 36 вариантов задания 18 из тренировочных вариантов Ященко к ОГЭ 2027. Задачи сгруппированы по типу: площади, длины отрезков, тангенс угла, отношения. Под каждым условием выписаны данные с рисунка в клетках, чтобы решение можно было проверить, даже не видя чертежа. Таблица ответов по порядку вариантов находится в конце.
Чтобы найти свою задачу, нажмите Ctrl+F и введите номер варианта или ключевое слово из условия, например «два круга», «средней линии» или «тангенс».
Другие задания ОГЭ 2027 разобраны отдельно: задание 15 про треугольники, задание 16 про окружность.
Как считать по клеткам
Если отрезок идёт по линии сетки, его длина равна числу клеток. Считайте именно клетки, а не линии: у отрезка в 4 клетки пять линий сетки, и на этом ошибаются чаще, чем кажется.
Если отрезок идёт наискосок, его длину находят по теореме Пифагора. Отрезок, смещённый на 3 клетки по горизонтали и на 4 по вертикали, равен √(3² + 4²) = 5.
Площадь фигуры почти всегда удобнее всего найти по формуле, выбрав стороны и высоты, которые идут по линиям сетки. Если таких нет, фигуру достраивают до прямоугольника и вычитают лишние треугольники.
Есть ещё формула Пика, о которой в школе рассказывают не всегда. Для многоугольника с вершинами в узлах сетки S = В + Г/2 − 1, где В — число узлов внутри фигуры, а Г — число узлов на её границе. Ею удобно проверять ответ.
Какие задачи встречаются в 36 вариантах
| Тип задачи | Варианты |
|---|---|
| Площадь треугольника | 5, 6, 27, 28 |
| Площадь трапеции | 1, 2, 35, 36 |
| Площадь параллелограмма | 31, 32 |
| Площадь ромба и четырёхугольника | 11, 12, 29, 30 |
| Средняя линия треугольника и трапеции | 7, 8, 17, 18 |
| Высота треугольника и параллелограмма | 3, 4, 21, 22 |
| Диагональ ромба | 19, 20 |
| Гипотенуза, медиана, биссектриса | 23, 24, 33, 34 |
| Тангенс острого угла параллелограмма | 25, 26 |
| Длина отрезка и отношение отрезков | 9, 10, 15, 16 |
| Отношение площадей кругов | 13, 14 |
Площадь треугольника: варианты 5, 6, 27, 28
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту к ней: S = ½ · a · h. На клетчатой бумаге удобно взять сторону, которая идёт по линии сетки. Тогда высота — это просто расстояние от третьей вершины до этой линии, его тоже можно посчитать по клеткам.
Вариант 5. Площадь треугольника на клетчатой бумаге: сторона 7, высота 3
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Что дано на рисунке: одна сторона треугольника горизонтальна и равна 7 клеткам, третья вершина лежит на 3 клетки ниже этой стороны.
Решение. Берём горизонтальную сторону за основание, a = 7. Высота — расстояние от третьей вершины до этой стороны, h = 3. S = ½ · 7 · 3 = 10,5.
Ответ: 10,5.
Вариант 6. Площадь треугольника на клетчатой бумаге: сторона 5, высота 5
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Что дано на рисунке: одна сторона треугольника горизонтальна и равна 5 клеткам, третья вершина лежит на 5 клеток ниже этой стороны.
Решение. S = ½ · 5 · 5 = 12,5.
Ответ: 12,5.
Вариант 27. Площадь тупоугольного треугольника на клетчатой бумаге: сторона 3, высота 3
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Что дано на рисунке: одна сторона треугольника горизонтальна и равна 3 клеткам. Третья вершина лежит на 3 клетки выше этой стороны и далеко правее её конца.
Решение. Треугольник тупоугольный, и высота к горизонтальной стороне падает за её пределы, на продолжение стороны. Формулу это не меняет: основание 3, высота 3, S = ½ · 3 · 3 = 4,5.
Многие в таких задачах ищут высоту внутри треугольника, не находят её и начинают достраивать фигуру. Это тоже приведёт к ответу, но гораздо дольше.
Ответ: 4,5.
Вариант 28. Площадь тупоугольного треугольника на клетчатой бумаге: сторона 5, высота 1
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Что дано на рисунке: одна сторона треугольника горизонтальна и равна 5 клеткам. Третья вершина лежит на 1 клетку выше этой стороны и правее её конца.
Решение. Основание 5, высота 1: S = ½ · 5 · 1 = 2,5.
Ответ: 2,5.
Площадь трапеции: варианты 1, 2, 35, 36
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = (a + b)/2 · h. Основания на рисунке идут по линиям сетки, высота — расстояние между ними.
Вариант 1. Площадь трапеции на клетчатой бумаге: основания 6 и 3, высота 4
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Что дано на рисунке: основания трапеции горизонтальны, верхнее равно 6 клеткам, нижнее 3 клеткам. Расстояние между основаниями 4 клетки.
Решение. S = (6 + 3)/2 · 4 = 4,5 · 4 = 18.
Ответ: 18.
Вариант 2. Площадь трапеции на клетчатой бумаге: основания 5 и 2, высота 3
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Что дано на рисунке: основания трапеции горизонтальны, верхнее равно 5 клеткам, нижнее 2 клеткам. Расстояние между основаниями 3 клетки.
Решение. S = (5 + 2)/2 · 3 = 3,5 · 3 = 10,5.
Ответ: 10,5.
Вариант 35. Площадь трапеции с вертикальными основаниями: основания 5 и 7, высота 6
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Что дано на рисунке: основания трапеции вертикальны, левое равно 5 клеткам, правое 7 клеткам. Расстояние между ними по горизонтали 6 клеток.
Решение. Трапеция повёрнута, но это ничего не меняет: основания — параллельные стороны, и здесь они вертикальные. Высота — горизонтальное расстояние между ними. S = (5 + 7)/2 · 6 = 36.
Ответ: 36.
Вариант 36. Площадь трапеции с вертикальными основаниями: основания 5 и 4, высота 6
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Что дано на рисунке: основания трапеции вертикальны, левое равно 5 клеткам, правое 4 клеткам. Расстояние между ними по горизонтали 6 клеток.
Решение. S = (5 + 4)/2 · 6 = 27.
Ответ: 27.
Площадь параллелограмма: варианты 31 и 32
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту к ней: S = a · h. В обоих вариантах две стороны параллелограмма вертикальны, поэтому высотой служит горизонтальное расстояние между ними.
Вариант 31. Площадь параллелограмма на клетчатой бумаге: сторона 5, высота 4
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Что дано на рисунке: две стороны параллелограмма вертикальны и равны 5 клеткам. Расстояние между ними по горизонтали 4 клетки.
Решение. S = 5 · 4 = 20.
Ответ: 20.
Вариант 32. Площадь параллелограмма на клетчатой бумаге: сторона 4, высота 3
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Что дано на рисунке: две стороны параллелограмма вертикальны и равны 4 клеткам. Расстояние между ними по горизонтали 3 клетки.
Решение. S = 4 · 3 = 12.
Ответ: 12.
Площадь ромба и четырёхугольника: варианты 11, 12, 29, 30
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: S = d₁ · d₂ / 2. Та же формула верна для любого выпуклого четырёхугольника, у которого диагонали перпендикулярны.
Вариант 11. Площадь ромба на клетчатой бумаге: диагонали 6 и 2
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Что дано на рисунке: диагонали ромба идут по линиям сетки, горизонтальная равна 6 клеткам, вертикальная 2 клеткам.
Решение. S = 6 · 2 / 2 = 6.
Ответ: 6.
Вариант 12. Площадь ромба на клетчатой бумаге: диагонали 8 и 4
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Что дано на рисунке: диагонали ромба идут по линиям сетки, вертикальная равна 8 клеткам, горизонтальная 4 клеткам.
Решение. S = 8 · 4 / 2 = 16.
Ответ: 16.
Вариант 29. Площадь ромба с наклонными диагоналями
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ромб. Найдите его площадь.
Что дано на рисунке: все вершины ромба лежат в узлах сетки, диагонали идут наискосок под углом 45° к линиям сетки. Концы длинной диагонали смещены друг относительно друга на 4 клетки по горизонтали и на 4 по вертикали, концы короткой — на 2 клетки по горизонтали и на 2 по вертикали.
Решение. Это самый хитрый вариант раздела: ни одна сторона и ни одна диагональ не идут по сетке. Находим диагонали по теореме Пифагора: d₁ = √(4² + 4²) = 4√2, d₂ = √(2² + 2²) = 2√2. Тогда S = 4√2 · 2√2 / 2 = 16 / 2 = 8.
Проверка формулой Пика: внутри ромба 7 узлов сетки, на границе 4 (только вершины), S = 7 + 4/2 − 1 = 8.
Ответ: 8.
Вариант 30. Площадь четырёхугольника на клетчатой бумаге: диагонали 5 и 6
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён четырёхугольник. Найдите его площадь.
Что дано на рисунке: диагонали четырёхугольника идут по линиям сетки и перпендикулярны друг другу. Вертикальная диагональ равна 5 клеткам, горизонтальная 6 клеткам.
Решение. Четырёхугольник неправильной формы, но диагонали перпендикулярны, а значит, работает та же формула, что для ромба: S = 5 · 6 / 2 = 15.
Почему это так: горизонтальная диагональ делит фигуру на два треугольника с общим основанием 6, а их высоты в сумме дают вертикальную диагональ 5. Площадь ½ · 6 · 5 = 15.
Ответ: 15.
Средняя линия треугольника и трапеции: варианты 7, 8, 17, 18
Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Вариант 7. Средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AC: AC — 9 на 12 клеток
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Что дано на рисунке: вершины A и C лежат в узлах сетки, вершина C на 9 клеток правее и на 12 клеток ниже вершины A.
Решение. Средняя линия, параллельная AC, равна половине AC. Сторона AC идёт наискосок, находим её по теореме Пифагора: AC = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15. Средняя линия 15 : 2 = 7,5.
Числа 9, 12, 15 — это тройка 3, 4, 5, умноженная на 3.
Ответ: 7,5.
Вариант 8. Средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AC: AC — 5 на 12 клеток
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Что дано на рисунке: вершины A и C лежат в узлах сетки, вершина C на 5 клеток правее и на 12 клеток ниже вершины A.
Решение. AC = √(5² + 12²) = √169 = 13, средняя линия 13 : 2 = 6,5.
Ответ: 6,5.
Вариант 17. Средняя линия трапеции на клетчатой бумаге: основания 5 и 10
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Что дано на рисунке: основания трапеции горизонтальны, верхнее равно 5 клеткам, нижнее 10 клеткам.
Решение. Средняя линия (5 + 10) : 2 = 7,5.
Ответ: 7,5.
Вариант 18. Средняя линия трапеции на клетчатой бумаге: основания 5 и 8
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Что дано на рисунке: основания трапеции горизонтальны, верхнее равно 5 клеткам, нижнее 8 клеткам.
Решение. Средняя линия (5 + 8) : 2 = 6,5.
Ответ: 6,5.
Высота треугольника и параллелограмма: варианты 3, 4, 21, 22
Если сторона идёт по линии сетки, высота к ней — это расстояние от противоположной вершины до этой линии. Его считают по клеткам в перпендикулярном направлении.
Вариант 3. Высота треугольника ABC к прямой AB: AB вертикальна, C на 3 клетки правее
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, проведённой к прямой, содержащей сторону AB.
Что дано на рисунке: сторона AB вертикальна, вершина B ниже вершины A. Вершина C лежит на 3 клетки правее прямой AB и ниже точки B.
Решение. Прямая AB вертикальна, поэтому высота к ней горизонтальна и равна расстоянию от C до этой прямой: 3.
Слова «к прямой, содержащей сторону AB» здесь важны. Треугольник тупоугольный, и основание высоты попадает не на саму сторону, а на её продолжение ниже точки B.
Ответ: 3.
Вариант 4. Высота треугольника ABC к прямой AB: AB вертикальна, C на 5 клеток правее
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, проведённой к прямой, содержащей сторону AB.
Что дано на рисунке: сторона AB вертикальна. Вершина C лежит на 5 клеток правее прямой AB и на 1 клетку выше вершины A.
Решение. Высота к вертикальной прямой AB горизонтальна и равна 5.
Ответ: 5.
Вариант 21. Большая высота параллелограмма: вертикальные стороны 3, расстояние 6
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён параллелограмм. Найдите длину его большей высоты.
Что дано на рисунке: две стороны параллелограмма вертикальны и равны 3 клеткам, расстояние между ними по горизонтали 6 клеток. Две другие стороны идут наискосок, со смещением на 6 клеток по горизонтали и на 1 по вертикали.
Решение. Площадь параллелограмма одна, а S = a · h. Значит, чем короче сторона, тем длиннее высота к ней. Короче всего вертикальные стороны, 3 клетки: наклонные равны √(6² + 1²) = √37, это больше 6 и тем более больше 3. Высота к вертикальной стороне — горизонтальное расстояние между ними: 6.
Для проверки можно посчитать и вторую высоту: S = 3 · 6 = 18, а 18 : √37 ≈ 3, это меньше 6.
Ответ: 6.
Вариант 22. Большая высота параллелограмма: вертикальные стороны 3, расстояние 5
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён параллелограмм. Найдите длину его большей высоты.
Что дано на рисунке: две стороны параллелограмма вертикальны и равны 3 клеткам, расстояние между ними по горизонтали 5 клеток. Две другие стороны идут наискосок, со смещением на 5 клеток по горизонтали и на 2 по вертикали.
Решение. Наклонные стороны равны √(5² + 2²) = √29, это больше 5 и тем более больше 3. Значит, короче всего вертикальные стороны, и большая высота проведена к ним. Она равна горизонтальному расстоянию между вертикальными сторонами: 5.
Ответ: 5.
Диагональ ромба: варианты 19 и 20
Вариант 19. Большая диагональ ромба на клетчатой бумаге: диагонали 8 и 4
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Что дано на рисунке: диагонали ромба идут по линиям сетки, горизонтальная равна 8 клеткам, вертикальная 4 клеткам.
Решение. Диагонали идут по сетке, их длины считаются по клеткам. Большая из них горизонтальная: 8.
Ответ: 8.
Вариант 20. Меньшая диагональ ромба на клетчатой бумаге: диагонали 6 и 4
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ромб. Найдите длину его меньшей диагонали.
Что дано на рисунке: диагонали ромба идут по линиям сетки, вертикальная равна 6 клеткам, горизонтальная 4 клеткам.
Решение. Меньшая диагональ горизонтальная: 4.
Ответ: 4.
Гипотенуза, медиана, биссектриса: варианты 23, 24, 33, 34
Вариант 23. Медиана треугольника ABC из вершины C на клетчатой бумаге
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его медианы, проведённой из вершины C.
Что дано на рисунке: все вершины лежат в узлах сетки. Вершина C на 3 клетки правее и на 3 клетки выше вершины A. Вершина B на 6 клеток правее и на 4 клетки ниже вершины A.
Решение. Медиана из C идёт к середине стороны AB. Середина AB смещена от A на половину смещения B: на 3 клетки вправо и на 2 вниз. Значит, она лежит ровно под вершиной C, и медиана вертикальна. Её длина: 3 клетки от C до уровня A плюс 2 клетки ниже, всего 5.
Ответ: 5.
Вариант 24. Биссектриса треугольника ABC из вершины B на клетчатой бумаге
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины B.
Что дано на рисунке: сторона AC вертикальна и равна 4 клеткам. Вершина B лежит на 6 клеток правее прямой AC, точно напротив середины AC.
Решение. Стороны BA и BC одинаково смещены от B: на 6 клеток по горизонтали и на 2 по вертикали. Значит, они равны, и треугольник равнобедренный с основанием AC. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, совпадает с медианой и высотой. Она горизонтальна и равна 6.
Без этого наблюдения задача решается заметно труднее: длину биссектрисы произвольного треугольника на ОГЭ находить не приходится.
Ответ: 6.
Вариант 33. Гипотенуза прямоугольного треугольника на клетчатой бумаге: катеты 4 и 3
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его гипотенузы.
Что дано на рисунке: катеты идут по линиям сетки, горизонтальный равен 4 клеткам, вертикальный 3 клеткам.
Решение. По теореме Пифагора гипотенуза √(4² + 3²) = √25 = 5.
Ответ: 5.
Вариант 34. Гипотенуза прямоугольного треугольника на клетчатой бумаге: катеты 6 и 8
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его гипотенузы.
Что дано на рисунке: катеты идут по линиям сетки, горизонтальный равен 6 клеткам, вертикальный 8 клеткам.
Решение. Гипотенуза √(36 + 64) = √100 = 10.
Ответ: 10.
Тангенс острого угла параллелограмма: варианты 25 и 26
Тангенс острого угла находят из прямоугольного треугольника, который боковая сторона образует с линиями сетки. Тангенс равен отношению вертикального катета к горизонтальному, если основание параллелограмма горизонтально.
Вариант 25. Тангенс острого угла параллелограмма: боковая сторона 2 на 4 клетки
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён параллелограмм. Найдите тангенс его острого угла.
Что дано на рисунке: основания параллелограмма горизонтальны. Боковая сторона поднимается на 4 клетки, смещаясь на 2 клетки по горизонтали.
Решение. Острый угол при нижнем основании. Из конца боковой стороны опускаем перпендикуляр на основание и получаем прямоугольный треугольник с катетами 4 (противолежащий углу) и 2 (прилежащий). tg = 4 / 2 = 2.
Ответ: 2.
Вариант 26. Тангенс острого угла параллелограмма: боковая сторона 2 на 5 клеток
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён параллелограмм. Найдите тангенс его острого угла.
Что дано на рисунке: горизонтальные стороны параллелограмма равны 3 клеткам. Боковая сторона опускается на 5 клеток, смещаясь на 2 клетки по горизонтали.
Решение. Противолежащий катет 5, прилежащий 2: tg = 5 / 2 = 2,5.
Типичная ошибка — перевернуть дробь и получить 0,4. Тангенс острого угла здесь обязан быть больше 1: угол на рисунке явно больше 45°.
Ответ: 2,5.
Длина отрезка и отношение отрезков: варианты 9, 10, 15, 16
В этих задачах работает теорема Фалеса и подобие треугольников. Если на наклонном отрезке отмечена точка, то отношение частей этого отрезка равно отношению их проекций на любую линию сетки. Проекции же легко посчитать по клеткам.
Вариант 9. Во сколько раз AE длиннее BE: E делит проекцию AB на 5 и 2 клетки
На клетчатой бумаге изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AE длиннее отрезка BE?
Что дано на рисунке: вершина B на 7 клеток правее и на 2 клетки выше вершины A. Точка E лежит на стороне AB там, где AB пересекает вертикальную линию сетки, отстоящую от A на 5 клеток, а от B на 2 клетки.
Решение. Вертикальные линии сетки параллельны, и по теореме Фалеса они делят отрезок AB в том же отношении, что и его горизонтальную проекцию. AE : BE = 5 : 2 = 2,5.
Вершина C в этой задаче не нужна.
Ответ: 2,5.
Вариант 10. Во сколько раз CE длиннее BE: E делит проекцию BC на 5 и 1 клетку
На клетчатой бумаге изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок CE длиннее отрезка BE?
Что дано на рисунке: вершина B на 6 клеток правее и на 7 клеток выше вершины C. Точка E лежит на стороне BC там, где BC пересекает вертикальную линию сетки, отстоящую от C на 5 клеток, а от B на 1 клетку.
Решение. По той же теореме Фалеса CE : BE = 5 : 1 = 5.
Ответ: 5.
Вариант 15. Длина вертикального отрезка AB между двумя сходящимися прямыми
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Что дано на рисунке: две прямые сходятся в одной точке справа. На 4 клетки левее этой точки расстояние между прямыми по вертикали равно 3 клеткам (концы прямых там лежат в узлах сетки). Вертикальный отрезок AB соединяет прямые на 2 клетки левее точки их пересечения.
Решение. Получились два подобных треугольника с общей вершиной в точке пересечения прямых. У большого вертикальная сторона 3 и она удалена от вершины на 4 клетки, у маленького вертикальная сторона AB удалена на 2 клетки. Коэффициент подобия 2/4 = 1/2, поэтому AB = 3 · 1/2 = 1,5.
Ответ: 1,5.
Вариант 16. Длина горизонтального отрезка AB внутри треугольника
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Что дано на рисунке: треугольник с вершиной наверху. Его основание горизонтально и равно 4 клеткам, вершина на 5 клеток выше основания. Отрезок AB горизонтален, концы лежат на боковых сторонах, а сам отрезок проходит на 2 клетки ниже вершины.
Решение. AB параллелен основанию и отсекает треугольник, подобный большому. Высоты относятся как 2 : 5, в том же отношении и основания: AB = 4 · 2/5 = 1,6.
Ответ не целый, и это нормально: концы A и B не попадают в узлы сетки, поэтому длину AB нельзя посчитать по клеткам напрямую.
Ответ: 1,6.
Отношение площадей кругов: варианты 13 и 14
Площадь круга S = πR². Если сравнивать два круга, π сокращается, и отношение площадей равно отношению квадратов радиусов.
Вариант 13. Во сколько раз площадь большего круга больше: радиусы 5 и 2
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Что дано на рисунке: центры обоих кругов лежат в узлах сетки. Радиус большего круга 5 клеток, радиус меньшего 2 клетки.
Решение. S₁ : S₂ = 5² : 2² = 25 : 4 = 6,25.
Если сравнить радиусы, а не их квадраты, получится 2,5. Это частая ошибка, и, что забавно, 2,5 как раз ответ соседнего варианта.
Ответ: 6,25.
Вариант 14. Во сколько раз площадь большего круга больше: радиус большего не целый
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Что дано на рисунке: центры обоих кругов лежат в узлах сетки. Радиус меньшего круга 2 клетки. Больший круг проходит через узел сетки, который смещён от его центра на 3 клетки по горизонтали и на 1 клетку по вертикали.
Решение. Радиус большего круга не равен целому числу клеток, его нужно найти по теореме Пифагора: R² = 3² + 1² = 10. Сам радиус, √10, даже не понадобится, ведь в отношение площадей идут квадраты. S₁ : S₂ = 10 : 2² = 10 : 4 = 2,5.
Попытка «на глаз» посчитать радиус большего круга даст 3 клетки и неверный ответ 2,25.
Ответ: 2,5.
Ответы на все 36 вариантов задания 18
| Вариант | Ответ | Вариант | Ответ | Вариант | Ответ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 18 | 13 | 6,25 | 25 | 2 |
| 2 | 10,5 | 14 | 2,5 | 26 | 2,5 |
| 3 | 3 | 15 | 1,5 | 27 | 4,5 |
| 4 | 5 | 16 | 1,6 | 28 | 2,5 |
| 5 | 10,5 | 17 | 7,5 | 29 | 8 |
| 6 | 12,5 | 18 | 6,5 | 30 | 15 |
| 7 | 7,5 | 19 | 8 | 31 | 20 |
| 8 | 6,5 | 20 | 4 | 32 | 12 |
| 9 | 2,5 | 21 | 6 | 33 | 5 |
| 10 | 5 | 22 | 5 | 34 | 10 |
| 11 | 6 | 23 | 5 | 35 | 36 |
| 12 | 16 | 24 | 6 | 36 | 27 |
Где чаще всего ошибаются в задании 18
Считают линии сетки вместо клеток
Отрезок длиной 4 клетки пересекает 5 линий сетки. Если считать линии, все длины выйдут на единицу больше. Надёжный способ — вести карандашом по отрезку и считать шаги от линии до линии.
Меряют наклонный отрезок клетками
Длина наклонного отрезка не равна числу клеток, через которые он проходит. Её находят только по теореме Пифагора. Так нужно действовать в вариантах 7 и 8 со стороной AC и в варианте 14 с радиусом.
Ищут высоту только внутри фигуры
В тупоугольном треугольнике высота может упасть на продолжение стороны, как в вариантах 3, 27 и 28. Формула площади от этого не меняется, а высота всё так же считается по клеткам.
Путают, какая высота параллелограмма больше
Большая высота проведена к меньшей стороне. Если взять высоту к длинной наклонной стороне, получится меньшее число, а в вариантах 21 и 22 спрашивают именно большую.
Сравнивают радиусы вместо площадей
Площади кругов относятся как квадраты радиусов. В варианте 13 отношение радиусов 2,5, а отношение площадей 6,25.
Вопросы о задании 18 ОГЭ по математике
Сколько баллов даёт задание 18?
Один. Это задание первой части, ответ краткий: в бланк записывается только число, десятичная дробь через запятую.
Изменится ли задание 18 в ОГЭ 2027 года?
По проектам демоверсии и кодификатора ФИПИ на 2027 год структура экзамена и формулировки заданий остаются прежними. Задание 18 по-прежнему будет про фигуры на клетчатой бумаге.
Можно ли измерить отрезок линейкой?
Линейкой на экзамене пользоваться можно, но измерять ею длины в задании 18 бессмысленно: масштаб печати неизвестен, и ответ получится приблизительным. Длины нужно считать в клетках, по условию клетка 1 × 1.
Что делать, если вершины фигуры не попадают в узлы сетки?
В заданиях ОГЭ вершины почти всегда лежат в узлах. Если какая-то точка не в узле, как A и B в вариантах 15 и 16, значит, задача решается через подобие треугольников, а не прямым подсчётом клеток.
Сколько времени закладывать на задание 18?
Обычно 1–2 минуты, это одно из самых быстрых заданий экзамена. Оставшееся время лучше потратить на проверку: пересчитать клетки ещё раз почти ничего не стоит.