Автор Все 36 вариантов задания 19 ОГЭ-2027 из тренировочных вариантов Ященко: какие утверждения верны и почему. Разбор каждого утверждения, ответы и шпаргалка по темам.
Задание 19 ОГЭ по математике 2027: верные и неверные утверждения, 36 вариантов Ященко с разбором
zadanie-19-mat-9-klass-oge-2027Задание 19 закрывает первую часть ОГЭ по математике. Считать в нём ничего не нужно: даны три геометрических утверждения, и надо выбрать верные. Одни звучат правдоподобно и оказываются ложными, другие выглядят подозрительно, но верны. Проверяется одно: насколько точно вы знаете определения и теоремы.
Ниже разобраны все 36 вариантов задания 19 из тренировочных вариантов Ященко к ОГЭ 2027. Для каждого утверждения сказано, верно оно или нет, и коротко объяснено почему. Для неверных утверждений приведён контрпример. В конце статьи собраны таблица ответов и шпаргалка: все утверждения из этих вариантов, сгруппированные по темам.
Чтобы найти свою задачу, нажмите Ctrl+F и введите номер варианта или начало утверждения, например «Диагонали ромба» или «Тангенс любого острого угла».
Как решать задание 19
В задании встречаются два вида вопросов. Если спрашивают «Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?», верное утверждение одно, и в ответ записывается одна цифра. Если спрашивают «Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?», верных может быть несколько, и их номера записываются подряд без пробелов и запятых, например 13. Порядок цифр не важен: ответы 13 и 31 засчитываются одинаково.
Чтобы проверить утверждение, удобно действовать так:
- Найдите в утверждении ключевые слова: «любой», «всегда», «каждый», «существует», «только».
- Если утверждение говорит о любой фигуре, попробуйте придумать контрпример — одну фигуру, для которой оно не выполняется. Нашли — утверждение неверно.
- Если контрпример не находится, вспомните теорему или определение, которое это утверждение подтверждает.
- Если утверждение начинается со слова «существует», достаточно одного примера, чтобы оно было верным.
Самые удобные фигуры для контрпримеров — квадрат, прямоугольник со сторонами 1 и 2, ромб с острым углом, тупоугольный треугольник. На них опровергается большинство неверных утверждений этого задания.
Варианты 1–12
Вариант 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника, прямые, параллельные третьей, площадь параллелограмма
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Сумма острых углов любого прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
- Две прямые, параллельные третьей прямой, всегда перпендикулярны.
- Площадь любого параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Верно. Сумма углов треугольника равна 180°, прямой угол забирает 90°, на два острых остаётся 90°.
2) Неверно. Две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу. Перпендикулярными они быть не могут.
3) Неверно. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними. Без синуса формула верна только тогда, когда диагонали перпендикулярны, например у ромба. Контрпример: у прямоугольника 3 × 4 площадь 12, обе диагонали равны 5, а половина их произведения — 12,5.
Ответ: 1.
Вариант 2. Косинус острого угла, две касательные из точки вне окружности, углы ромба
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Косинус острого угла любого прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
- Через любую точку, лежащую вне окружности, всегда можно провести две касательные к этой окружности.
- Все углы ромба всегда равны.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Неверно. Отношение перевёрнуто: косинус — это прилежащий катет, делённый на гипотенузу. Гипотенуза длиннее катета, поэтому отношение «гипотенуза к катету» больше 1, а косинус острого угла всегда меньше 1.
2) Верно. Из точки вне окружности проводятся ровно две касательные, и их отрезки от точки до точек касания равны.
3) Неверно. У ромба равны только противоположные углы. Все четыре угла равны лишь у квадрата.
Ответ: 2.
Вариант 3. Угол, смежный с острым, точка пересечения биссектрис, углы прямоугольника
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
- Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
- Все углы прямоугольника равны.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Разбор.
1) Неверно. Смежные углы в сумме дают 180°. Если один из них, например, 40°, второй равен 140°, то есть тупой.
2) Верно. Точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника, поэтому она и есть центр вписанной окружности.
3) Верно. Все углы прямоугольника прямые, по 90°.
Ответ: 23.
Вариант 4. Пересечение диаметров, отношение площадей подобных треугольников, диагонали ромба
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Любые два диаметра окружности пересекаются.
- Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
- Диагонали ромба перпендикулярны.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Разбор.
1) Верно. Каждый диаметр проходит через центр окружности, значит, любые два диаметра пересекаются в центре.
2) Неверно. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Если стороны больше в 2 раза, площадь больше в 4 раза.
3) Верно. Это одно из главных свойств ромба.
Ответ: 13.
Вариант 5. Центр описанной окружности, площадь прямоугольника, углы тупоугольного треугольника
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
- Площадь любого прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.
- В тупоугольном треугольнике все углы всегда тупые.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Неверно. Центр описанной окружности лежит внутри только у остроугольного треугольника. У прямоугольного он находится на середине гипотенузы, у тупоугольного — снаружи.
2) Верно. Это формула площади прямоугольника: S = ab.
3) Неверно. Тупой угол в треугольнике может быть только один, иначе сумма углов превысила бы 180°. Два других угла тупоугольного треугольника острые.
Ответ: 2.
Вариант 6. Вписанная окружность в четырёхугольник, касательная и радиус, против большего угла большая сторона
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
- Касательная к окружности всегда параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
- В треугольнике против большего угла всегда лежит большая сторона.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Неверно. Вписать окружность можно только в такой выпуклый четырёхугольник, у которого суммы противоположных сторон равны. У прямоугольника 1 × 2 суммы противоположных сторон равны 2 и 4, и окружность в него не вписывается.
2) Неверно. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, а не параллельна ему.
3) Верно. Это известная теорема о соотношении сторон и углов треугольника.
Ответ: 3.
Вариант 7. Сумма углов равнобедренного треугольника, прямые, перпендикулярные третьей, средняя линия трапеции
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
- Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.
- Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Разбор.
1) Верно. Сумма углов любого треугольника равна 180°, и равнобедренный не исключение.
2) Неверно. На плоскости две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
3) Верно. Это свойство средней линии трапеции.
Ответ: 13.
Вариант 8. Высоты равностороннего треугольника, средняя линия трапеции, центр описанной окружности
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Все высоты равностороннего треугольника равны.
- Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
- Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Разбор.
1) Верно. Все стороны равностороннего треугольника равны, и каждая высота равна a√3/2.
2) Верно. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
3) Неверно. В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника.
Ответ: 12.
Вариант 9. Тангенс острого угла, треугольники с равными углами, параллелограмм с перпендикулярными диагоналями
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Тангенс любого острого угла меньше единицы.
- Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники всегда равны.
- Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм всегда является ромбом.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Неверно. Тангенс 45° равен 1, а тангенс 60° равен √3, это больше 1. Меньше единицы тангенс только у углов меньше 45°.
2) Неверно. Равенство углов означает подобие, а не равенство. Равносторонние треугольники со сторонами 1 и 2 имеют одинаковые углы по 60°, но не равны.
3) Верно. Это признак ромба: параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб.
Ответ: 3.
Вариант 10. Сумма углов выпуклого четырёхугольника, две стороны и угол, хорды окружности
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.
- Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
- Все хорды одной окружности равны между собой.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Верно. Диагональ делит выпуклый четырёхугольник на два треугольника, и 180° + 180° = 360°.
2) Неверно. Это не признак равенства. Признак работает, только если равный угол лежит между равными сторонами. Если угол прилежит к одной из сторон, треугольники могут оказаться разными.
3) Неверно. Хорды бывают разной длины: самая длинная — диаметр, а короткая хорда может быть сколь угодно маленькой.
Ответ: 1.
Вариант 11. Треугольники с равными углами, прямоугольник с перпендикулярными диагоналями, вписанный и центральный угол
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники всегда равны.
- Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
- Угол, вписанный в окружность, всегда равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Неверно. Такие треугольники подобны, но могут быть разного размера.
2) Верно. Квадрат — это прямоугольник, и его диагонали перпендикулярны. Слово «существует» требует только одного примера.
3) Неверно. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Ответ: 2.
Вариант 12. Основания трапеции, треугольник со сторонами 1, 2, 4, касательная и радиус
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Основания любой трапеции параллельны.
- Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
- Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Верно. Так определяется трапеция: основания — это её параллельные стороны.
2) Неверно. По неравенству треугольника каждая сторона меньше суммы двух других. Здесь 1 + 2 = 3, а это меньше 4.
3) Неверно. Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
Ответ: 1.
Варианты 13–24
Вариант 13. Углы ромба, параллельная прямая через точку, подобие по двум углам
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- В любом ромбе все углы равны.
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
- Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Разбор.
1) Неверно. Ромб с углами 60° и 120° — контрпример. Все углы равны только у квадрата.
2) Верно. Через точку вне прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
3) Верно. Это первый признак подобия треугольников. Третьи углы при этом тоже равны, потому что сумма углов в обоих треугольниках 180°.
Ответ: 23.
Вариант 14. Диагонали ромба делятся пополам, треугольник 1, 2, 4, параллельная прямая через точку
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
- Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Разбор.
1) Верно. Ромб — частный случай параллелограмма, а у параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополам.
2) Неверно. Сумма двух меньших сторон, 1 + 2 = 3, меньше третьей стороны 4. Такой треугольник не построить.
3) Верно. Это аксиома параллельных прямых.
Ответ: 13.
Вариант 15. Диагонали ромба, прямая через заданную точку, биссектрисы равнобедренного треугольника
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
- Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
- Каждая из биссектрис любого равнобедренного треугольника является его высотой.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Верно. У любого параллелограмма, в том числе у ромба, диагонали делятся точкой пересечения пополам.
2) Неверно. Через одну точку можно провести бесконечно много прямых. Единственна прямая, проходящая через две точки.
3) Неверно. Высотой является только биссектриса, проведённая к основанию. Биссектрисы углов при основании высотами не являются, если треугольник не равносторонний.
Ответ: 1.
Вариант 16. Сумма углов прямоугольного треугольника, ромб с прямым углом, пересечение окружностей
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
- Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.
- Две окружности всегда пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Неверно. Сумма углов любого треугольника, в том числе прямоугольного, равна 180°. Ровно 90° составляет сумма двух его острых углов.
2) Верно. Если один угол ромба прямой, то и остальные прямые: противоположный угол равен ему, а соседние дополняют его до 180°. Ромб со всеми прямыми углами — квадрат.
3) Неверно. Пересечение зависит от расстояния между центрами, а не только от радиусов. Окружности радиусов 1 и 2 с центрами на расстоянии 10 не пересекаются.
Ответ: 2.
Вариант 17. Прямые, параллельные третьей, диагонали прямоугольника, равенство по двум сторонам
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Любые две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
- Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
- Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Разбор.
1) Верно. Это свойство параллельных прямых.
2) Верно. Прямоугольник — параллелограмм, и его диагонали делятся точкой пересечения пополам. К тому же у прямоугольника они ещё и равны.
3) Неверно. Двух сторон мало: третья сторона может быть любой. Треугольники со сторонами 3, 4, 5 и 3, 4, 6 имеют две пары равных сторон, но не равны.
Ответ: 12.
Вариант 18. Прямые, перпендикулярные третьей, ромб с углом 90 градусов, расстояние до центра окружности
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, всегда перпендикулярны.
- Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.
- Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Разбор.
1) Неверно. Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны между собой.
2) Верно. Если у ромба один угол прямой, прямые и все остальные углы, а значит, это квадрат.
3) Верно. Это определение окружности и радиуса.
Ответ: 23.
Вариант 19. Площадь трапеции, биссектрисы равнобедренного треугольника, острые углы прямоугольного треугольника
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
- Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника всегда является его медианой.
- Сумма острых углов любого прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Неверно. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Произведение одного основания на высоту — это формула площади параллелограмма.
2) Неверно. Медианой является только биссектриса, проведённая к основанию. Биссектриса угла при основании делит боковую сторону не пополам.
3) Верно. В прямоугольном треугольнике два острых угла вместе с прямым дают 180°, значит, их сумма 90°.
Ответ: 3.
Вариант 20. Диагональ трапеции, сумма углов равнобедренного треугольника, пересечение окружностей
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Диагональ трапеции всегда делит её на два равных треугольника.
- Сумма углов любого равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
- Две окружности всегда пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Неверно. Получившиеся треугольники опираются на разные основания трапеции, и раз основания не равны, треугольники не равны. На два равных треугольника диагональ делит параллелограмм.
2) Верно. Сумма углов любого треугольника 180°.
3) Неверно. Окружность радиуса 1 может лежать целиком внутри окружности радиуса 5 или далеко от неё, и общих точек у них не будет.
Ответ: 2.
Вариант 21. Перпендикуляр через точку, углы ромба, четырёхугольник с равными перпендикулярными диагоналями
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
- Все углы ромба равны.
- Любой выпуклый четырёхугольник, у которого диагонали равны и перпендикулярны, является квадратом.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Верно. Из любой точки вне прямой можно опустить на неё перпендикуляр, и он единственный.
2) Неверно. Углы ромба равны попарно: противоположные равны, соседние в сумме дают 180°.
3) Неверно. Для квадрата нужно ещё, чтобы диагонали делились точкой пересечения пополам. Можно построить выпуклый четырёхугольник с равными и перпендикулярными диагоналями, которые пересекаются не в серединах, и он не будет даже параллелограммом.
Ответ: 1.
Вариант 22. Параллелограмм с равными диагоналями, тангенс острого угла, сумма углов равнобедренного треугольника
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Любой параллелограмм, у которого диагонали равны, является ромбом.
- Тангенс любого острого угла меньше единицы.
- Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Неверно. Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник. Прямоугольник 1 × 2 ромбом не является.
2) Неверно. Тангенс 60° равен √3, это больше единицы.
3) Верно. Сумма углов любого треугольника равна 180°.
Ответ: 3.
Вариант 23. Площадь квадрата, угол треугольника не больше 60 градусов, прямые, параллельные третьей
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
- Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
- Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Разбор.
1) Верно. Квадрат — прямоугольник, его площадь равна a · a = a².
2) Верно. Если бы все три угла были больше 60°, их сумма превысила бы 180°. Значит, хотя бы один угол не больше 60°. В равностороннем треугольнике все углы ровно по 60°, и утверждение тоже выполняется.
3) Неверно. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
Ответ: 12.
Вариант 24. Диаметры окружности, сумма углов треугольника 360 градусов, параллелограмм с равными соседними сторонами
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Все диаметры окружности равны между собой.
- Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.
- Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Разбор.
1) Верно. Каждый диаметр равен двум радиусам.
2) Неверно. Сумма углов треугольника 180°. 360° — это сумма углов выпуклого четырёхугольника.
3) Верно. Противоположные стороны параллелограмма равны. Если равны и соседние, то равны все четыре стороны, а это ромб.
Ответ: 13.
Варианты 25–36
Вариант 25. Смежные углы, прямоугольник с перпендикулярными диагоналями, площадь прямоугольного треугольника
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.
- Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
- Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Неверно. Если один из смежных углов прямой, то и другой прямой: оба по 90°.
2) Верно. Пример — квадрат.
3) Неверно. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Ответ: 2.
Вариант 26. Центр описанной окружности, основания равнобедренной трапеции, высоты равностороннего треугольника
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
- Основания равнобедренной трапеции равны.
- Все высоты равностороннего треугольника равны.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Неверно. У тупоугольного треугольника центр описанной окружности вне треугольника.
2) Неверно. В равнобедренной трапеции равны боковые стороны. Если бы равны были основания, фигура была бы параллелограммом, а не трапецией.
3) Верно. Высоты равны, потому что все стороны равностороннего треугольника равны.
Ответ: 3.
Вариант 27. Диагонали трапеции, площадь треугольника и две стороны, угол не больше 60 градусов
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
- Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
- Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Разбор.
1) Неверно. Диагонали делятся пополам у параллелограмма. У трапеции точка пересечения делит диагонали в отношении оснований, и раз основания не равны, пополам они не делятся.
2) Верно. Площадь треугольника равна ½ · a · b · sin C, а синус не больше 1. Значит, площадь не больше половины произведения двух сторон и тем более меньше самого произведения.
3) Верно. Иначе сумма трёх углов, каждый больше 60°, оказалась бы больше 180°.
Ответ: 23.
Вариант 28. Треугольник со сторонами 2, 4, 6, медиана и угол, диаметры окружности
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Треугольника со сторонами 2, 4, 6 не существует.
- Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.
- Все диаметры окружности равны между собой.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Разбор.
1) Верно. Неравенство треугольника требует, чтобы сумма двух сторон была строго больше третьей. Здесь 2 + 4 = 6: точки лежат на одной прямой, и треугольника нет. Утверждение сформулировано с отрицанием, поэтому оно верно.
2) Неверно. Угол пополам делит биссектриса. Медиана делит пополам противоположную сторону.
3) Верно. Любой диаметр равен 2R.
Ответ: 13.
Вариант 29. Хорды окружности, площадь ромба через высоту, четырёхугольники с равными сторонами
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Все хорды одной окружности равны между собой.
- Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
- Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Неверно. Диаметр — самая длинная хорда, а есть и сколь угодно короткие.
2) Верно. Ромб — параллелограмм, а площадь параллелограмма равна стороне, умноженной на высоту к ней.
3) Неверно. У квадрата и ромба с острым углом 60° при стороне 1 все стороны равны, но фигуры разные. В отличие от треугольника, четырёхугольник по сторонам не определяется: его можно «сложить», меняя углы.
Ответ: 2.
Вариант 30. Диагонали прямоугольника, биссектриса и сторона, площади подобных треугольников
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
- Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.
- Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Верно. Это свойство любого параллелограмма, а прямоугольник — параллелограмм.
2) Неверно. Сторону пополам делит медиана. Биссектриса делит сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
3) Неверно. Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.
Ответ: 1.
Вариант 31. Диагонали ромба равны, подобие по двум углам, тангенс острого угла
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Диагонали ромба равны.
- Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- Тангенс любого острого угла меньше единицы.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Неверно. Диагонали ромба равны только тогда, когда ромб — квадрат. У ромба с углом 60° одна диагональ в √3 раз длиннее другой.
2) Верно. Это признак подобия по двум углам.
3) Неверно. Уже при 45° тангенс равен 1, а дальше он только растёт.
Ответ: 2.
Вариант 32. Диагонали прямоугольника, площадь прямоугольного треугольника, биссектрисы равнобедренного треугольника
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
- Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
- Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Верно. Прямоугольник — параллелограмм, его диагонали делятся точкой пересечения пополам.
2) Неверно. Площадь равна половине произведения катетов: прямоугольный треугольник — это половина прямоугольника.
3) Неверно. Медианой является только биссектриса, проведённая к основанию.
Ответ: 1.
Вариант 33. Параллельная прямая через точку, параллелограмм с равными диагоналями, расстояние до центра окружности
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
- Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
- Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Разбор.
1) Верно. Такая прямая существует, и она единственная.
2) Неверно. Равные диагонали — признак прямоугольника, а не ромба. Ромбом такой параллелограмм будет, только если он квадрат.
3) Верно. Все точки окружности удалены от центра на одно и то же расстояние — радиус.
Ответ: 13.
Вариант 34. Равные углы параллелограмма, вписанный и центральный угол, угол треугольника не больше 60 градусов
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- В параллелограмме есть два равных угла.
- Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
- Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Разбор.
1) Верно. Противоположные углы параллелограмма равны, значит, два равных угла есть всегда.
2) Неверно. Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.
3) Верно. Наименьший угол треугольника не может быть больше 60°, иначе сумма углов превысила бы 180°.
Ответ: 13.
Вариант 35. Смежные углы равны, биссектрисы равнобедренного треугольника, прямоугольник с перпендикулярными диагоналями
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Смежные углы всегда равны.
- Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
- Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Неверно. Смежные углы равны только в одном случае — когда оба прямые. Углы 30° и 150° смежные, но не равны.
2) Неверно. Высотой является только биссектриса, проведённая к основанию.
3) Верно. У квадрата диагонали перпендикулярны, а квадрат — частный случай прямоугольника.
Ответ: 3.
Вариант 36. Гипотенуза и сумма катетов, ромб с прямым углом, точка пересечения двух окружностей
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.
- Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.
- Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Разбор.
1) Неверно. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. А сама гипотенуза всегда меньше суммы катетов: у треугольника 3, 4, 5 гипотенуза 5, а сумма катетов 7.
2) Верно. Ромб с прямым углом — квадрат.
3) Неверно. Расстояния от точки пересечения до центров равны радиусам окружностей. Если радиусы разные, то и расстояния разные.
Ответ: 2.
Ответы на все 36 вариантов задания 19
| Вариант | Ответ | Вариант | Ответ | Вариант | Ответ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 13 | 23 или 32 | 25 | 2 |
| 2 | 2 | 14 | 13 или 31 | 26 | 3 |
| 3 | 23 или 32 | 15 | 1 | 27 | 23 или 32 |
| 4 | 13 или 31 | 16 | 2 | 28 | 13 или 31 |
| 5 | 2 | 17 | 12 или 21 | 29 | 2 |
| 6 | 3 | 18 | 23 или 32 | 30 | 1 |
| 7 | 13 или 31 | 19 | 3 | 31 | 2 |
| 8 | 12 или 21 | 20 | 2 | 32 | 1 |
| 9 | 3 | 21 | 1 | 33 | 13 или 31 |
| 10 | 1 | 22 | 3 | 34 | 13 или 31 |
| 11 | 2 | 23 | 12 или 21 | 35 | 3 |
| 12 | 1 | 24 | 13 или 31 | 36 | 2 |
Шпаргалка: все утверждения задания 19 по темам
Многие утверждения повторяются из варианта в вариант, иногда с небольшими изменениями в формулировке. Если выучить эту таблицу, большую часть вариантов задания 19 можно решить за минуту.
Углы и прямые
| Утверждение | Верно или нет |
|---|---|
| Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым | неверно |
| Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой | неверно |
| Смежные углы всегда равны | неверно |
| Любые две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны | верно |
| Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны | неверно |
| Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны | неверно |
| Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой | верно |
| Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой | верно |
| Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую | неверно |
Треугольники
| Утверждение | Верно или нет |
|---|---|
| Сумма углов любого треугольника (в том числе равнобедренного) равна 180 градусам | верно |
| Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам | неверно |
| Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам | неверно |
| Сумма острых углов любого прямоугольного треугольника равна 90 градусам | верно |
| В тупоугольном треугольнике все углы тупые | неверно |
| Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов | верно |
| В треугольнике против большего угла всегда лежит большая сторона | верно |
| Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует | неверно |
| Треугольника со сторонами 2, 4, 6 не существует | верно |
| В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов | неверно |
| Все высоты равностороннего треугольника равны | верно |
| Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой | неверно |
| Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой | неверно |
| Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена | неверно |
| Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена | неверно |
| Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности | верно |
| Если три угла одного треугольника равны трём углам другого, то треугольники равны | неверно |
| Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны | верно |
| Если две стороны и угол одного треугольника равны двум сторонам и углу другого, то треугольники равны | неверно |
| Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого, то треугольники равны | неверно |
| Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия | неверно |
| Тангенс любого острого угла меньше единицы | неверно |
| Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему катету | неверно |
Четырёхугольники
| Утверждение | Верно или нет |
|---|---|
| Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам | верно |
| В любой четырёхугольник можно вписать окружность | неверно |
| Если стороны одного четырёхугольника равны сторонам другого, то четырёхугольники равны | неверно |
| В параллелограмме есть два равных угла | верно |
| Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ромб | верно |
| Если диагонали параллелограмма равны, то это ромб | неверно |
| Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то это ромб | верно |
| Все углы ромба равны | неверно |
| Диагонали ромба равны | неверно |
| Диагонали ромба перпендикулярны | верно |
| Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам | верно |
| Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то это квадрат | верно |
| Все углы прямоугольника равны | верно |
| Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам | верно |
| Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны | верно |
| Выпуклый четырёхугольник с равными и перпендикулярными диагоналями является квадратом | неверно |
| Основания любой трапеции параллельны | верно |
| Основания равнобедренной трапеции равны | неверно |
| Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований | верно |
| Средняя линия трапеции параллельна её основаниям | верно |
| Диагонали трапеции делятся точкой пересечения пополам | неверно |
| Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника | неверно |
Окружность
| Утверждение | Верно или нет |
|---|---|
| Любые два диаметра окружности пересекаются | верно |
| Все диаметры окружности равны между собой | верно |
| Все хорды одной окружности равны между собой | неверно |
| Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу | верно |
| Через любую точку вне окружности можно провести две касательные к ней | верно |
| Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания | неверно |
| Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри треугольника | неверно |
| Вписанный угол равен центральному углу, опирающемуся на ту же дугу | неверно |
| Две окружности пересекаются, если радиус одной больше радиуса другой | неверно |
| Точка пересечения двух окружностей равноудалена от их центров | неверно |
Площади
| Утверждение | Верно или нет |
|---|---|
| Площадь любого прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон | верно |
| Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон | верно |
| Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне | верно |
| Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон | верно |
| Площадь любого параллелограмма равна половине произведения его диагоналей | неверно |
| Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту | неверно |
| Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов | неверно |
Где чаще всего ошибаются в задании 19
Не замечают слов «любой» и «всегда»
Утверждение «существует прямоугольник с перпендикулярными диагоналями» верно, а «у любого прямоугольника диагонали перпендикулярны» — нет. Одно слово меняет ответ. Читайте утверждение целиком и подчёркивайте такие слова.
Путают похожие свойства
Медиана делит пополам сторону, биссектриса — угол. Диагонали ромба перпендикулярны, диагонали прямоугольника равны. Площади подобных фигур относятся как k², а стороны — как k. Именно на таких парах построена половина неверных утверждений.
Верят «почти правильным» формулам
Формулы в неверных утверждениях обычно отличаются от верных одной деталью: пропущена ½ у площади прямоугольного треугольника, нет полусуммы оснований у трапеции, перевёрнута дробь у косинуса. Если формула кажется знакомой, сверьте её целиком.
Записывают номера с пробелами или запятыми
В бланк идут только цифры подряд: 13, а не «1, 3» и не «1 3». Порядок цифр значения не имеет.
Не проверяют отрицание
Утверждение «Треугольника со сторонами 2, 4, 6 не существует» верное, но его легко по инерции отметить как неверное: в других вариантах похожие утверждения о треугольниках обычно ложные. Здесь же отрицание стоит в самой формулировке, и проверять нужно именно его.
Вопросы о задании 19 ОГЭ по математике
Сколько баллов даёт задание 19?
Один. Это последнее задание первой части экзамена. Частичных баллов нет: если верны два утверждения, а записано одно, ответ не засчитывается.
Можно ли записать номера в любом порядке?
Да. Если верны утверждения 1 и 3, ответы 13 и 31 считаются одинаково правильными.
Изменится ли задание 19 в ОГЭ 2027 года?
По проектам демоверсии и кодификатора ФИПИ на 2027 год структура экзамена и формулировки заданий остаются прежними. Задание 19, как и раньше, проверяет знание геометрических фактов.
Помогут ли справочные материалы?
Частично. В справочных материалах к экзамену есть формулы площадей фигур и некоторые теоремы, и по ним удобно проверять утверждения о площадях. Но многие свойства фигур, признаки равенства и подобия треугольников, свойства касательной в справке не приводятся, их нужно знать.
Как быстрее всего подготовиться к заданию 19?
Выучите шпаргалку из этой статьи и для каждого неверного утверждения запомните контрпример. Утверждения в заданиях ОГЭ повторяются, и через несколько десятков вариантов почти все они становятся знакомыми.
Сколько времени закладывать на задание 19?
Обычно 1–2 минуты. Если на каком-то утверждении возникли сомнения, попробуйте нарисовать фигуру и проверить его на квадрате, прямоугольнике 1 × 2 или тупоугольном треугольнике.
Смотрите для 9 класса по математике