Автор Тренировочный вариант 1-2 школа Пифагора ЕГЭ 2027 по математике 11 класс профильный уровень в новом формате задания и ответы с решением для подготовки к экзамену по новой демоверсии ФИПИ.
1 вариант школа Пифагора ЕГЭ 2027 математика профиль
Variant_1_EGE_profil_mat_20272 тренировочный вариант школа Пифагора ЕГЭ 2027
Variant_2_EGE_profil_mat_2027Задания для 1 варианта
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 − биссектриса, угол 𝐶 равен 104°, угол 𝐶𝐴𝐷 равен 5°. Найдите угол 𝐵. Ответ дайте в градусах.
2. Даны векторы 𝑎⃗ (41; 0) и 𝑏⃗ (1;−1). Найдите длину вектора 𝑎⃗ −20𝑏⃗.
3. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 1,5. Найдите объём куба.
4. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 16 из них встречается вопрос по логарифмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по логарифмам.
5. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
6. Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом. Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
7. Найдите корень уравнения (6𝑥 − 13) 2 = (6𝑥 −11) 2 .
9. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечены семь точек: 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , 𝑥6 , 𝑥7 . В скольких из этих точек производная функции 𝑓(𝑥) положительна?
10. На рисунке изображена схема моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось 𝑂𝑦 направим вертикально вверх вдоль одного из пилонов, а ось 𝑂𝑥 направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой 𝑦 = 0,0043𝑥 2 − 0,74𝑥 + 35, где 𝑥 и 𝑦 измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 70 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.
11. Два велосипедиста одновременно отправились в 140-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
12. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 +𝑏. Найдите значение 𝑓(7).
13. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 550 000 рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?
15. Длина диагонали куба 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 равна 3. На луче 𝐴1𝐶 отмечена точка 𝑃 так, что 𝐴1𝑃 = 4. а) Докажите, что 𝑃𝐵𝐷𝐶1 − правильный тетраэдр. б) Найдите длину отрезка 𝐴𝑃.
17. На заводе имеется генератор с ЭДС 𝜀 = 50 В и внутренним сопротивлением 𝑟 = 1 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки 𝑅 (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: 𝐼 = 𝜀 𝑟+𝑅 . Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля – Ленца: 𝑃 = 𝐼 2𝑅. Какова максимальная тепловая мощность 𝑃, которая может быть выделена нагрузкой?
18. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке 𝐿. Прямая, проходящая через точку 𝐿 и середину 𝑁 гипотенузы 𝐴𝐵, пересекает катет 𝐵𝐶 в точке 𝑀. а) Докажите, что ∠𝐵𝑀𝐿 = ∠𝐵𝐴𝐶. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если 𝐴𝐵 = 20 и 𝐶𝑀 = 3√5.
20. а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72? б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72? в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?
Задания для 2 варианта
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶. Внешний угол при вершине 𝐵 равен 94°. Найдите угол 𝐶. Ответ дайте в градусах.
3. Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50. Найдите объём цилиндра.
4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпала больше раз, чем орёл.
5. Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.
6. На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий 𝐴 и 𝐵 в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события 𝐴.
9. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥)− производной функции 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечены шесть точек: 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , 𝑥6 . Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции 𝑓(𝑥)?
10. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения 𝑃 (в ваттах) нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: 𝑃 = 𝜎𝑆𝑇 4 , где 𝜎 = 5,7 ∙ 10−8 −постоянная, площадь поверхности 𝑆 измеряется в квадратных метрах, а температура 𝑇 − в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности 𝑆 = 1 18 ∙ 1021 м 2 , а излучаемая ею мощность 𝑃 равна 4,104 ∙ 1027 Вт. Определите температуру этой звезды. Дайте ответ в градусах Кельвина.
11. Моторная лодка прошла против течения реки 187 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
12. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Найдите значение 𝑓(−2).
13. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 𝑟 процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где 𝑟 − целое число; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение 𝑟, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
15. Основанием прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 является параллелограмм. На рёбрах 𝐴1𝐵1 , 𝐵1𝐶1 и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑀, 𝐾 и 𝑁 соответственно, причём 𝐵1𝐾:𝐾𝐶1 = 1: 2, а 𝐴𝑀𝐾𝑁 − равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 6. а) Докажите, что 𝑁 − середина 𝐵𝐶. б) Найдите площадь трапеции 𝐴𝑀𝐾𝑁, если объём призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 равен 72, а её высота равна 2.
18. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑀 и 𝑁 лежат на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно так, что 𝐴𝑀: 𝑀𝐵 = 𝐶𝑁: 𝑁𝐵 = 2: 3. Окружность, вписанная в треугольник 𝐴𝐵𝐶, касается отрезка 𝑀𝑁 в точке 𝐿. а) Докажите, что 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 4𝐴𝐶. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶, если 𝑀𝐿 = 9 5 , 𝐿𝑁 = 3.
20. Даны различные натуральные числа, запись которых содержит цифры 1 и 6, либо только одну из этих цифр. а) Может ли сумма всех чисел быть равной 173? б) Может ли сумма всех чисел быть равной 109? в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 1021?
Попробуйте решить другие варианты
1-2 вариант распечатай и реши ЕГЭ 2027 профиль по математике 11 класс с ответами