олимпиада ЮМШ задания ответы

Задания и ответы дистанционного тура 2021 XXV олимпиада Юношеской Математической Школы

Автор

Ответы и задания для 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса дистанционного тура ЮМШ XXV олимпиады юношеской математической школы 2021-2022 учебный год, официальная дата проведения: 17.10.2021 (17 октября 2021).

Задания олимпиады: скачать

P.S обсуждаем и решаем задания вместе в телеграмме: @good100ballov

Олимпиада Юношеской математической школы дистанционный этап 2021

Дистанционный тур ЮМШ 2021 задания и ответы 5 класс:

1)Винни-Пух вышел с некоторой скоростью в гости к Кролику. Он посчитал, что если все время будет идти с этой скоростью, то дойдет ровно за час. На трети дороги ему встретился Пятачок. Следующие десять минут Винни-Пух беседовал с ним. Затем он увеличил скорость в два раза и успел бы вовремя, но ровно посередине оставшегося пути на дорогу выскочил Тигра и семь минут рассказывал Винни анекдоты. Во сколько раз (относительно исходной) Винни-Пух теперь должен увеличить свою скорость, чтобы прибыть к Кролику в намеченное время?

2)Сколько решений имеет ребус ЗИМА + СКОРО = ПРИДЁТ, где одинаковыми буквами заменены одинаковые цифры, а различными — различные?

3)Трое пиратов делят клад, состоящий из 10 золотых слитков. Массы слитков равны — 6, 9, 15, 18, 24, 27, 42, 48, 57 и 75 кг. Могут ли пираты поделить золото поровну?

4)На противень 99 × 99 выложили несколько печенек, каждая в форме квадрата 2 × 2, причем стороны печенек параллельны сторонам противня. Докажите, что одну из печенек можно чуть-чуть подвинуть, не трогая все остальные. (Печеньки не лежат друг на друге, у противня есть бортики.)

Дистанционный тур ЮМШ 2021 задания и ответы 6 класс:

1)Алексей, Арсений, Мария, Милана, Савва и Сергей хотят сесть на скамейку так, чтобы у соседей имена начинались на разные буквы. Сколько у них есть способов это сделать?

2)В натуральном числе A переставили цифры и получили число B. Может ли произведение A и B равняться 30 . . . 09?

3)На доске размером m × n клеток расставлено несколько ладей таким образом, что каждая ладья бьет ровно одну другую. При этом в каждой вертикали и в каждой горизонтали присутствует как минимум одна ладья. Докажите, что n + m делится на 3.

4)Верблюд — шахматная фигура, которая ходит на три клетки в одну сторону, а затем на одну в перпендикулярном направлении. Вася выписал все способы расставить несколько верблюдов на доске 8 × 8 (включая тот, где никаких верблюдов нет), а затем стер те, в которых найдутся угрожающие друг другу верблюды. Докажите, что число оставшихся расстановок является квадратом натурального числа.

Дистанционный тур ЮМШ 2021 задания и ответы 7 класс:

1)В натуральном числе A переставили цифры и получили число B. Может ли произведение A и B равняться 20 . . . 09?

2)На противень 99 × 99 выложили несколько печенек, каждая в форме квадрата 2 × 2, причем стороны печенек параллельны сторонам противня. Докажите, что одну из печенек можно чуть-чуть подвинуть, не трогая все остальные. (Печеньки не лежат друг на друге, у противня есть бортики.)

3)На доске размером m × n клеток расставлено несколько ладей таким образом, что каждая ладья бьет ровно одну другую. При этом в каждой вертикали и в каждой горизонтали присутствует как минимум одна ладья. Докажите, что n + m делится на 3.

4)Решите уравнение x×[x×[x]] = 65 при x > 0. Напомним, что [x] обозначает целую часть числа x.

Дистанционный тур ЮМШ 2021 задания и ответы 8 класс:

1)Пусть a = 1, b и c — самые маленькие делители числа n. Найдите все n для которых n = (a + b + c) 2 .

2)Пусть I — точка пересечения биссектрис AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC. Оказалось, что AI = 2 · IA1 и BI = 2 · IB1. Докажите, что CI = 2 · IC1.

3)Найдите все такие натуральные n, что 5 n 3 + n + 12 делится на 5 n 2 + n + 101.

Дистанционный тур ЮМШ 2021 задания и ответы 9 класс:

1)Пусть I — точка пересечения биссектрис AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC. Оказалось, что AI = 2 · IA1 и BI = 2 · IB1. Докажите, что CI = 2 · IC1.

2)Докажите, что сумма двух одночленов не может равняться произведению многочлена P(x, y) с вещественными коэффициентами и многочлена 1 + x + y.

3)Решите уравнение x × [x × [x × [x]]] = 82 при x > 0. Напомним, что [x] обозначает целую часть числа x.

4)Пусть a = 1, b, c и d — самые маленькие делители числа n. Найдите все n, для которых n = ab + ac + ad + bc + bd + cd.

Дистанционный тур ЮМШ 2021 задания и ответы 10 класс:

1)Высоты AP и BQ треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что BP = 1, BH = √ 2, BQ = 10. Найдите BC.

2)На клетчатой доске 8 × 8 отмечены центры всех клеток. Какое наибольшее количество отмеченных точек можно выбрать так, чтобы все попарные расстояния между ними были натуральными?

3)Найдите все пары взаимнопростых натуральных чисел a и b для которых 5a + 1 делится на b и 7b − 1 делится на a.

4)Существуют ли вещественные числа a, b и c для которых выполняются неравенства a 3 +b 3 +c 3 > 0, a 5 +b 5 +c 5 < 0 и a 7 +b 7 +c 7 > 0?

Дистанционный тур ЮМШ 2021 задания и ответы 11 класс:

1)Высоты AP и BQ треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что BP = 1, BH = √ 2, BQ = 10. Найдите BC.

2)На окружности отмечено 12 точек. Вася пришел и нарисовал четыре непересекающихся (в том числе по вершинам) треугольника с концами в этих точках. Найдите число способов, которыми Вася мог это сделать.

3)На плоскости отмечены точки A1, . . . , An такие, что расстояние между любыми двумя отмеченными точками принадлежит множеству {1, 3, 5, . . . , 101}. Докажите, что n 6 2700.

Смотрите также на нашем сайте:

Олимпиада ЮМШ задания и ответы

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

guest
0 комментариев
Inline Feedbacks
View all comments