Автор Задания и ответы олимпиады «Высшая проба» по математике для 7, 8, 9, 10, 11 класса заключительного этапа 2023 год с решением для подготовки к олимпиаде. Уровень олимпиады в перечне 1.
В методическую комиссию и жюри олимпиады традиционно входят действующие ученые и преподаватели вузов, в том числе факультета математики НИУ ВШЭ. Многие из них сами были когда-то участниками математических олимпиад.
Задания олимпиады Высшая проба математика 2023
mat_proba_2023_zadanie_7-11Ответы олимпиады Высшая проба математика 2023
otveti_hse_math_7-11Задача 7.1. (15 баллов) Найдите наименьшее десятизначное натуральное число, все цифры которого различны, такое, что при вычёркивании всех чётных цифр остаётся 97531, а при вычёркивании всех нечётных цифр — 02468.
Задача 7.2. (15 баллов) Дан равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 𝐵𝐶). На сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 отметили точки 𝐾, 𝐿, 𝑀 соответственно так, что ∠𝐴𝐾𝑀 = 90∘ , ∠𝐵𝐿𝐾 = 90∘ и 𝐾𝑀 = 𝐾𝐿. Чему равен угол 𝐶𝑀𝐿?
Задача 7.3. (15 баллов) На складе стоят несколько ящиков. Известно, что ящиков не более 60, и в каждом из них находятся либо 59 яблок, либо 60 апельсинов. После того, как на склад принесли коробку с некоторым количеством апельсинов, фруктов на складе стало поровну. Какое наименьшее количество апельсинов могло быть в принесённой коробке?
Задача 7.5. (20 баллов) Андрей выписал на доску 6 последовательных четырёхзначных чисел в строчку в порядке возрастания. Затем он под каждым из этих чисел написал один из его простых делителей, причём все выписанные простые делители оказались разными. После этого Андрей стёр исходные 6 чисел и пригласил в класс Бориса. Всегда ли Борис, видя выписанные на доску простые делители, сможет однозначно определить исходные числа?
Задача 7.6. (20 баллов) На столе по кругу лежат 𝑛 монет, пронумерованных числами от 0 до 𝑛 − 1 в некотором порядке. За одну операцию разрешается взять какую-то монету с номером 𝑘 и переместить её на 𝑘 позиций в произвольном направлении, сместив при этом промежуточные монеты (например, операция над монетой с номером 2 может быть выполнена одним из двух способов, показанных на рисунке ниже). Докажите, что из любого начального положения можно получить такое, в котором, начиная с некоторого места, монеты 0, 1, 2, …, 𝑛 − 1 лежат по часовой стрелке.
Задача 10.4. (15 баллов) Однажды 45 друзей, живущих в разных уголках земного шара, захотели обменяться друг с другом новостями. Для этого они собираются устроить 𝑘 видео встреч, на каждой из которых каждый человек расскажет всем свои новости, а также все новости других людей, которые он узнал ранее. Для видео встреч было предложено 10 дней, но оказалось, что каждый из друзей может присутствовать только в какие-то 8 из них. При каком наименьшем натуральном 𝑘 можно гарантированно выбрать 𝑘 дней для видео встреч из предложенных 10 так, чтобы каждый узнал новости каждого? (Между предложенными днями у людей новых новостей не возникает, и никак иначе они друг с другом не общаются. В каждый из предложенных дней проходит одна видео встреча, на которой собираются все, кто может в этот день присутствовать.)
Задача 10.5. (20 баллов) Найдите все составные натуральные числа 𝑛, обладающие следующим свойством: каждый натуральный делитель числа 𝑛 (в частности, само 𝑛), уменьшенный на 1, является квадратом целого числа. Задача 10.6. (20 баллов) Высоты остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐻. Известно, что 𝐴𝐻2 = 𝐵𝐻2 + 𝐶𝐻2 . На описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 нашлись точки 𝐷 и 𝐸 такие, что 𝐶𝐸 ∥ 𝐴𝐵 и 𝐵𝐷 ∥ 𝐴𝐶. Докажите, что точка 𝐻 лежит на прямой 𝐷𝐸.
Задача 11.4. (15 баллов) В окружность 𝜔 вписан треугольник 𝐴𝐵𝐶 такой, что 𝐴𝐵 < 𝐵𝐶. Биссектриса внешнего угла 𝐵 пересекает 𝜔 в точке 𝑀. Прямая, параллельная 𝐵𝑀, пересекает стороны 𝐵𝐶, 𝐴𝐵 и продолжение стороны 𝐶𝐴 за точку 𝐴 в точках 𝑃, 𝑄 и 𝑅 соответственно. Прямая 𝑀𝑅 вторично пересекает 𝜔 в точке 𝑋. Докажите, что точки 𝐵, 𝑃, 𝑄, 𝑋 лежат на одной окружности.
Задача 11.5. (20 баллов) Дана клетчатая доска 100 × 100. Каждая клетка доски покрашена в один из двух цветов: белый или чёрный. Назовём раскраску доски уравновешенной, если в каждой строке и в каждом столбце 50 белых и 50 чёрных клеток. За одну операцию разрешается выбрать две строки и два столбца так, чтобы из 4 клеток на их пересечении две были чёрными, а две — белыми, и перекрасить каждую из этих 4 клеток в противоположный цвет. Докажите, что из любой уравновешенной раскраски можно получить любую другую уравновешенную раскраску с помощью указанных операций.
Задача 11.6. (20 баллов) Квадратные трёхчлены 𝑃(𝑥) и 𝑄(𝑥) с действительными коэффициентами таковы, что в совокупности они имеют 4 различных действительных корня, а также каждый из многочленов 𝑃(𝑄(𝑥)) и 𝑄(𝑃(𝑥)) имеет 4 различных действительных корня. Какое наименьшее количество различных действительных чисел может быть среди корней многочленов 𝑃(𝑥), 𝑄(𝑥), 𝑃(𝑄(𝑥)) и 𝑄(𝑃(𝑥))?
Смотрите также на сайте:
Заключительный этап по информатике высшая проба задания и ответы