Автор Олимпиада по математике 9, 10, 11 класс ответы и задания для заключительного этапа 2022-2023 учебный год всероссийской олимпиады школьников ВСОШ. Олимпиада прошла 23-24 ноября 2023 года.
Сборник содержит материалы для проведения заключительного этапа XLIX Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задания подготовлены Центральной предметно-методической комиссией по математике Всероссийской олимпиады школьников.
Решать задания олимпиады по математике
zadanie-vos-zakl-2023-matematikaОтветы и решения для олимпиады
otveti-vos-zakl-2023-matematikaЗадания для 9 класса
9.1. Даны два приведенных квадратных трехчлена f(x) и g(x); известно, что трехчлены f(x), g(x) и f(x) + g(x) имеют по два корня. Оказалось, что разность корней трехчлена f(x) равна разности корней трехчлена g(x). Докажите, что разность корней трехчлена f(x) + g(x) не больше этих разностей. (В каждой разности из большего корня вычитается меньший.)
9.2. Изначально в строку выписывают 250 букв — 125 букв А и 125 букв Б в некотором порядке. Затем за одну операцию можно взять любой кусок из нескольких подряд стоящих букв, среди которых поровну букв А и Б, и переставить буквы в этом куске в обратном порядке, поменяв в этом куске все буквы А на буквы Б и буквы Б на буквы А. (Например, из строки АБАББАА | {z } Б можно одной операцией получить строку АББААБА | {z } Б.) Можно ли выписать исходную строку и совершить несколько операций так, чтобы в результате на доске оказалась та же строка, буквы которой записаны в обратном порядке?
9.3. Каждое натуральное число, большее 1000, окрасили либо в красный, либо в синий цвет. Оказалось, что произведение любых двух различных красных чисел — синее. Может ли случиться, что никакие два синих числа не отличаются на 1?
9.4. Точка X лежит строго внутри описанной около треугольника ABC окружности. Обозначим через IB и IC центры вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон AC и AB соответственно. Докажите, что XIB · XIC > XB · XC.
9.5. Если на столе лежит несколько кучек камней, считается, что на столе много камней, если можно найти 50 кучек и пронумеровать их числами от 1 до 50 так, что в первой кучке есть хотя бы один камень, во второй — хотя бы два камня, . . . , в пятидесятой — хотя бы пятьдесят камней. Пусть исходно на столе лежат 100 кучек по 100 камней в каждой. Найдите наибольшее n 6 10 000 такое, что после удаления из исходных кучек любых n камней на столе все равно останется много камней. (При удалении камней кучка не распадается на несколько.)
9.6. Рассмотрим все 100-значные числа, делящиеся на 19. Докажите, что количество таких чисел, не содержащих цифр 4, 5 и 6, равно количеству таких чисел, не содержащих цифр 1, 4 и 7.
9.7. Дана трапеция ABCD, в которой AD k BC, а лучи AB и DC пересекаются в точке G. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABC и ACD, пересекаются в точке E. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABD и BCD, пересекаются в точке F. Докажите, что точки E, F и G лежат на одной прямой.
9.8. У Пети есть 10 000 гирь, среди них нет двух гирь равного веса. Также у него есть чудо-прибор: если положить в него 10 гирь, он сообщит сумму весов каких-то двух из них (при этом неизвестно, каких именно). Докажите, что Петя может использовать чудо-прибор так, чтобы через некоторое время указать на одну из гирь и точно назвать ее вес. (В чудо-прибор нельзя класть другое количество гирь.)
Задания для 10 класса
10.1. Прямые, содержащие стороны данного остроугольного треугольника T, покрасили в красный, зеленый и синий цвета. Затем эти прямые повернули вокруг центра описанной окружности данного треугольника по часовой стрелке на угол 120◦ (прямая сохраняет свой цвет после поворота). Докажите, что три точки пересечения одноцветных прямых являются вершинами треугольника, равного T.
10.2. У 100 школьников есть стопка из 101 карточки, которые пронумерованы числами от 0 до 100. Первый школьник перемешивает стопку, затем бер¨ет сверху из получившейся стопки по одной карточке, и при каждом взятии карточки (в том числе при первом) записывает на доску среднее арифметическое чисел на всех взятых им на данный момент карточках. Так он записывает 100 чисел, а когда в стопке оста¨ется одна карточка, он возвращает карточки в стопку, и далее вс¨е то же самое, начиная с перемешивания стопки, проделывает второй школьник, потом третий, и т.д. Докажите, что среди выписанных на доске 10000 чисел найдутся два одинаковых.
10.3. Даны натуральные числа a и b такие, что a > 2b. Существует ли многочлен P(x) степени больше 0 с коэффициентами из множества {0, 1, 2, . . . , b − 1} такой, что P(a) делится на P(b)?
10.4. С одной стороны теннисного стола выстроилась очередь из n девочек, а с другой — из n мальчиков. И девочки, и мальчики пронумерованы числами от 1 до n в том порядке, как они стоят. Первую партию играют девочка и мальчик с номерами 1, а далее после каждой партии проигравший вста¨ет в конец своей очереди, а победивший играет со следующим. Через некоторое время оказалось, что каждая девочка сыграла ровно одну партию с каждым мальчиком. Докажите, что если n неч¨етно, то в последней партии играли девочка и мальчик с неч¨етными номерами.
10.5. Найдите наибольшее натуральное число n, для которого произведение чисел n, n + 1, n + 2, . . . , n + 20 делится на квадрат какого-то одного из них.
10.6. Квадрат 100 × 100 разбит на квадраты 2 × 2. Потом его разбивают на доминошки (прямоугольники 1 × 2 и 2 × 1). Какое наименьшее количество доминошек могло оказаться внутри квадратов разбиения?
10.7. Дана трапеция ABCD, в которой AD k BC, а лучи AB и DC пересекаются в точке G. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABC и ACD, пересекаются в точке E. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABD и BCD, пересекаются в точке F. Докажите, что точки E, F и G лежат на одной прямой.
Задания для 11 класса
11.1. Число x таково, что sin x + tg x и cos x + ctg x — рациональные числа. Докажите, что sin 2x является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
11.2. У 100 школьников есть стопка из 101 карточки, которые пронумерованы числами от 0 до 100. Первый школьник перемешивает стопку, затем берет сверху из получившейся стопки по одной карточке, и при каждом взятии карточки (в том числе при первом) записывает на доску среднее арифметическое чисел на всех взятых им на данный момент карточках. Так он записывает 100 чисел, а когда в стопке оста¨ется одна карточка, он возвращает карточки в стопку, и далее все то же самое, начиная с перемешивания стопки, проделывает второй школьник, потом третий, и т.д. Докажите, что среди выписанных на доске 10000 чисел найдутся два одинаковых.
11.3. В каждой строке таблицы 100×n в некотором порядке стоят числа от 1 до 100, числа в строке не повторяются (в таблице n строк и 100 столбцов). Разрешается поменять местами в строке два числа, отличающиеся на 1, если они не стоят рядом. Оказалось, что с помощью таких операций нельзя получить двух одинаковых строк. При каком наибольшем n это возможно?
11.4. Окружность ω описана около треугольника ABC, в котором AB < AC. Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I. Из середины M стороны BC на прямую AI опущен перпендикуляр MH. Прямые MH, BI и AB ограничивают треугольник Tb , а прямые MH, CI и AC ограничивают треугольник Tc. Описанные окружности треугольников Tb и Tc повторно пересекают окружность ω в точках B0 и C 0 соответственно. Докажите, что точка H лежит на прямой B0C 0 .
11.5. Изначально на доске написано 10 единиц. Гриша и Глеб играют в игру, делая ходы по очереди. Своим ходом Гриша возводит некоторые 5 чисел на доске в квадрат. Глеб своим ходом выбирает несколько (возможно, ни одного) чисел на доске и увеличивает каждое из них на 1. Если в течение 10 000 ходов на доске появится число, делящееся на 2023, то побеждает Глеб, иначе побеждает Гриша. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию, если первым ходит Гриша?
11.6. Плоскость α пересекает ребра AB, BC, CD и DA тетраэдра ABCD в точках X, Y , Z и T соответственно. Оказалось, что точки Y и T лежат на окружности ω, построенной на отрезке XZ как на диаметре. Точка P отмечена в плоскости α так, что прямые P Y и P T касаются окружности ω. Докажите, что середины ребер AB, BC, CD, DA и точка P лежат в одной плоскости.
11.7. Назовем многочлен P(x) бицелозначным, если числа P(k) и P 0 (k) целые при любом целом k. Пусть P(x) — бицелозначный многочлен степени d, и пусть Nd — произведение всех составных чисел, не превосходящих d (произведение пустого множества сомножителей считаем равным 1). Докажите, что старший коэффициент многочлена Nd · P(x) — целый.
11.8. В стране N городов. В ней действует N(N −1) дорог с односторонним движением: по одной дороге из X в Y для каждой упорядоченной пары городов X 6= Y . У каждой дороги есть цена е¨е обслуживания. Для данного k = 1, . . . , N рассмотрим все способы выделить k городов и N −k дорог так, чтобы из каждого города можно было попасть в какой-то выделенный город, пользуясь только выделенными дорогами. Такую систему городов и дорог с наименьшей суммарной стоимостью обслуживания назовем k-оптимальной. Докажите, что города можно пронумеровать от 1 до N так, что при каждом k = 1, 2, . . . , N существует k-оптимальная система дорог с выделенными городами 1, 2, . . . , k.
4. Критерии и методика оценивания олимпиадных заданий
4.1. В рамках двух теоретических туров оценка результатов участника определяется арифметической суммой всех баллов, полученных за выполнение олимпиадных заданий, которая не должна превышать 56 баллов (решение каждой из 8 задач оценивается целым числом баллов от 0 до 7).
4.2. При оценивании выполненных олимпиадных заданий не допускается выставление баллов, не предусмотренных критериями и методикой оценивания выполненных олимпиадных заданий, разработанных ЦПМК.
5. Порядок проведения соревновательных туров
2.1. Заключительный этап олимпиады по математике проводится в сроки, установленные Министерством просвещения Российской Федерации в течение 7 (семи) дней. 2.2. Соревновательные туры проводятся в соответствии с программой проведения заключительного этапа олимпиады по математике. 2.3. Олимпиада состоит из двух теоретических туров. Каждый теоретический тур включает выполнение участниками письменных заданий по различным тематикам учебного предмета «Математика» и проводится отдельно для 9, 10 и 11 классов.
Продолжительность каждого теоретического тура составляет 300 минут. При проведении теоретического тура для всех участников устанавливаются следующие общие правила: − задания каждого теоретического тура включают 4 задачи; − итог подводится по результатам выполнения обоих туров олимпиады (сумма баллов за решение 8 задач). 2.5. В период проведения соревновательных туров оргкомитетом заключительного этапа олимпиады обеспечивается безопасность участников и их медицинское обслуживание (в случае необходимости).
Задания и ответы заключительного этапа 2023 ВСОШ
Задания и ответы заключительного этапа 2023 ВСОШ всероссийской олимпиады школьников