Автор 6 тренировочных вариантов заданий с ответами и решением реальной основной волны ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профильный уровень, который прошёл 26-27 мая 2025 года. Какие задания были на ЕГЭ вы можете посмотреть ниже. Вариант состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
1 вариант основной волны ЕГЭ 2025 по математике 11 класс
variant1_ege2025-mat-profil-26-272 вариант ЕГЭ 2025 по математике профиль
2variant_ege2025-mat-profil-26-273 вариант
3variant_ege2025-mat-profil-26-274 вариант
4variant_ege2025-mat-profil-26-27Видео разбор заданий 1 варианта
Видео разбор заданий от школы Пифагора
№1.1 (Дальний Восток) Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 67◦ . Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
№1.2 (Сибирь) Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 55◦ . Найдите угол между высотой CH и медианой CM, проведенными из вершины прямого угла C. Ответ дайте в градусах.
№1.3 (центр) В треугольнике ABC известно, что AB = BC, внешний угол при вершине B равен 138◦ . Найдите ∠C. Ответ дайте в градусах.
№1.4 (Центр) В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром в точке O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что ∠MNK = 90◦ , ∠NKL = ∠KLM = 120◦ . a) Докажите, что точка A лежит на прямой LO. б) Найдите длину стороны MN, если LA = √ 3.
№2.1 Даны векторы ⃗a(7; −3) и ⃗b(5; 12). Найдите скалярное произведение векторов ⃗a и ⃗b.
№2.2 Даны векторы ⃗a(1; 2), ⃗b(−3; 6) и ⃗c(4; −2). Найдите длину вектора ⃗a −⃗b + ⃗c.
№3.1 Около конуса описана сфера, то есть сфера содержит окружность основания конуса и его вершину. Центр основания конуса совпадает с центром сферы, а ее радиус равен 10√ 2. Найдите образующую конуса.
№3.2 Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь большого круга шара.
№4.1 На олимпиаде по химии 400 участников собираются разместить в четырёх аудиториях: в трёх — по 110 человек, а оставшихся — в запасной аудитории в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник будет писать олимпиаду в запасной аудитории.
№4.2 Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов: первые три дня по 11 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
№4.3 Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 45 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 18 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?
№5.1 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
№5.2 При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше чем 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше чем 790 г, равна 0,91. Найдите вероятность того, что масса буханки больше чем 790 г, но меньше чем 810 г.
№5.3 Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система контроля забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
№8.1 На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
№8.2 На рисунке изображен график y = f ′ (x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−17; 2). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−12; 1].
№10.1 От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 192 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним, со скоростью на 4 км/ч больше, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.
№10.2 Два автомобиля одновременно отправляются в 420-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 24 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
№10.3 Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 624 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 25 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 53 часа. Ответ дайте в км/ч.
№11.3 На рисунке изображены графики функций видов f(x) = ax2 + bx + c и g(x) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
№11.4 На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке A. Найдите абсциссу точки A.
№12.1 Найдите точку максимума функции y = x 3 − 5x 2 + 7x − 5.
№14.1 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 отметили точки M и K на ребрах AA1 и A1B1 соответственно. Известно, что AM = 5MA1, A1K = KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно грани ABB1A1. а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C1. б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α, если все ребра призмы равны 12.
№14.2 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 отметили точки M и K на ребрах AA1 и A1B1 соответственно. Известно, что A1M = 2AM, A1K = KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно грани ABB1A1. а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C1. б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α, если все ребра призмы равны 20.
№14.3 В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 3, а боковое ребро SA равно 5. На ребре AC отмечена точка M, а на продолжении ребра BC за точку C — точка N так, что CM = CN = 1. a) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью SNM является равнобедренным треугольником. 6) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью SNM.
№14.4 Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с основанием ABCD. Плоскость α проходит через ребро AB и пересекает ребра SC и SD в точках M и N соответственно. Известно, что AB = AN = BM = 5MN. а) Докажите, что SM : MC = SN : ND = 1 : 4. б) Найдите косинус угла между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды.
№14.5 Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K. Сечение пирамиды плоскостью α является правильным треугольником площадью 2 √ 3. а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна прямой AC. б) В каком отношении точка K лежит ребро SA, считая от точки S, если объём пирамиды равен 36√ 6?
№14.6 Дана правильная призма ABCA1B1C1. Точка K лежит на ребре AB и делит его в отношении AK : KB = 3 : 1. Точка L — середина ребра BC. Плоскость α проходит через точки K и L и пересекает ребра B1C1 и A1B1 в точках M и N соответственно. Известно, что B1M : MC1 = 3 : 1. а) Докажите, что MN ⊥ AB. б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью основания призмы, если все рёбра призмы равны.
№16.1 В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн рублей на некоторое целое число лет. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 24,5 млн рублей?
№16.2 15 декабря 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 72 месяца. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?
№16.3 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?
№16.4 15 декабря 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – к 15 декабря 2027 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?
№16.5 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму тыс. рублей на 60 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равна сумма кредита, если общая сумма платежей составила 1449 тыс рублей?
№16.6 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга одним платежом; — 15-го числа каждого месяца (с января 2027 года по март 2028 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15 марта 2028 года долг составит 200 тыс. рублей; — 15 апреля 2028 года кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма платежей после полного погашения составит 612 тыс. рублей?
№16.7 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 60 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равнo r, если общая сумма платежей в 2031 году составила 3951 тыс. рублей?
№16.8 В июле 2025 планируется взять кредит в банке сроком на четыре года на сумму 2 млн рублей. Условия его возврата таковы: – в январе 2026 и 2027 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; – в январе 2028 и 2029 годов долг возрастает на 2r% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем; – к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите r, если общая переплата по кредиту после полного его погашения составит 650 тыс. рублей.
№16.9 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равнo r, если общая сумма платежей в 2027 году составила 7830 тыс. рублей?
№17.1 Дан остроугольный треугольник ABC. Известно, что ∠BAC = 2∠ABC. Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P. a) Докажите, что треугольники ABC и P AC подобны. б) Найдите AB, если BC = 6 и AC = 4.
№17.2 Дан остроугольный треугольник ABC. Известно, что ∠BAC = 2∠ABC. Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P. a) Докажите, что треугольники ABC и P AC подобны. б) Найдите AB, если BC = √ 21 и AC = 3.
№17.3 В треугольнике ABC проведены высота AH и медиана AM, угол ACB равен 30◦ . Точка H лежит на отрезке BM. В треугольнике ACM проведена высота MQ. Прямые MQ и AH пересекаются в точке F. Известно, что AM — биссектриса угла HAC. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника CFM, если AB = 10.
№17.4 Биссектриса угла B параллелограмма ABCD пересекает его сторону AD в точке M. Диагонали AC и BD параллелограмма пересекаются в точке O. Окружность, описанная вокруг треугольника ABM, касается прямых BC и OM. а) Докажите, что AB ⊥ BD. б) Отрезки AC и BM пересекаются в точке K. Найдите площадь четырехугольника KODM, если OM = 2.
№17.5 В четырёхугольнике KLMN вписана в окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что ∠MNK = 90◦ , ∠LMN = ∠KLM = 60◦ . а) Докажите, что точка A лежит на прямой LO. б) Найдите длину стороны MN, если LA = 9.
№17.6 Дан параллелограмм ABCD c острым углом DAB. В нем опущены высоты BP и BQ на стороны AD и CD соответственно. На стороне AD отмечена точка M так, что AM = BP. Известно, что AB = BQ. а) Докажите, что BM = P Q. б) Найдите площадь треугольника AP Q, если AM = BP = 12, AB = BQ = 15.
№19.1 На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23. a) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20? б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20? в) Найдите наибольшее возможное значения.
№19.2 На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 25, меньше, чем чисел, делящихся на 29. a) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 25? б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 25? в) Найдите наибольшее возможное значение k.
№19.3 а) Приведите пример семизначного числа, из которого, вычеркивая цифры, можно получить каждое из чисел: 206, 835, 930. б) Существует ли восьмизначное число, из которого, вычеркивая цифры, можно получить каждое из чисел: 247, 345, 586, 812? в) Найдите наименьшее натуральное число, из которого можно получить все натуральные числа от 1 до 50, вычеркивая цифры.
№19.4 На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или любых семи чисел является целым числом. а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417? б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 563? в) Найдите минимальное n, при котором на доске одновременно записаны числа 1 и n 2 .
№19.5 На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых трех, четырех, пяти или шести чисел является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30035. а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число 325? б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел быть равным 7? в) Отношение двух написанных на доске чисел является целым числом n. Найдите наименьшее возможное значение n.
№19.6 На доске написано 10 натуральных чисел. Среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трех, четырех, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30032. а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число 312? б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 6? в) Отношение двух написанных на доске чисел является целым числом n. Найдите наименьшее возможное значение n.
Смотрите вариант досрочного ЕГЭ 2025 по математике 11 класс
Открытый вариант ЕГЭ 2025 по математике база и профиль 11 класс задания с ответами ФИПИ