Автор 4 новых тренировочных варианта формата ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профильный уровень задания с ответами и решением для подготовки к экзамену. Каждый вариант соответствует новой демоверсии ФИПИ 2025 года от Пифагора 100 баллов.
→ 28 вариант с ответами: скачать
→ 29 вариант с ответами: скачать
→ 30 вариант с ответами: скачать
→ 31 вариант с ответами: скачать
Пробник ЕГЭ состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Решать 28 вариант ЕГЭ 2025 математика 11 класс профиль
Variant_28_EGE_2025_profil_s_otvetami1. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
2. Даны векторы 𝑎⃗ (7; 1) и 𝑏⃗⃗ (−1; −7). Найдите косинус угла между ними.
3. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объём параллелепипеда.
4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что количество выпавших орлов меньше 2.
5. Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.
6. Найдите корень уравнения (𝑥 + 12) 2 = 48𝑥.
8. На рисунке изображён график некоторой функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите 𝐹(−1) − 𝐹(−8), где 𝐹(𝑥) − одна из первообразных функции 𝑓(𝑥).
9. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием 𝑓 = 20 см. Расстояние 𝑑1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 15 до 40 см, а расстояние 𝑑2 от линзы до экрана – в пределах от 100 до 120 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
10. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 15 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
11. На рисунке изображены графики функций видов 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 и 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥, пересекающиеся в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = (𝑥 − 4) 2 (𝑥 + 5) + 8.
13. а) Решите уравнение cos 2𝑥 + √2 sin 𝑥 + 1 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
14. Дан правильный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝐷 лежит вне плоскости 𝐴𝐵𝐶, cos∠𝐵𝐴𝐷 = cos∠𝐷𝐴𝐶 = 0,3. а) Докажите, что прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶, если известно, что 𝐴𝐶 = 6.
15. Решите неравенство log125(𝑥 3 − 6𝑥 2 + 12𝑥 − 8) ≥ log5 (𝑥 2 − 4) − 2.
16. В июле Фёдор планирует взять в кредит 1,1 млн рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года Фёдор должен выплатить некоторую часть долга. На какое минимальное количество лет Фёдор может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 300 тысяч рублей?
17. Периметр треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 36. Точки 𝐸 и 𝐹 − середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно. Отрезок 𝐸𝐹 касается окружности, вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶. а) Докажите, что 𝐴𝐶 = 9. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если ∠𝐴𝐶𝐵 = 90°.
19. Про некоторый набор, состоящий из 15 различных натуральных чисел, известно, что сумма любых двух различных чисел этого набора меньше суммы любых трёх различных чисел этого набора. а) Может ли одним из этих чисел быть число 2015? б) Может ли одним из этих чисел быть число 24? в) Какое наименьшее возможное значение может принимать сумма чисел такого набора?
29 тренировочный вариант школы Пифагора
Variant_29_EGE_2025_profil_s_otvetami1. Хорда 𝐴𝐵 стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол 𝐴𝐵𝐶 между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку 𝐵. Ответ дайте в градусах.
2. Даны векторы 𝑎⃗ (41; 0) и 𝑏⃗⃗ (1; −1). Найдите длину вектора 𝑎⃗ − 20𝑏⃗⃗.
3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).
4. Дима, Марат, Петя, Надя и Света бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
5. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
6. Найдите корень уравнения (𝑥 + 4) 3 = −125.
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−2; 9). В какой точке отрезка [2; 8] функция 𝑓(𝑥) принимает наименьшее значение?
9. Небольшой мячик бросают под острым углом 𝛼 к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика 𝐻 (в м) вычисляется по формуле 𝐻 = 𝑣0 2 4𝑔 (1 − cos 𝛼), где 𝑣0 = 26 м/с – начальная скорость мячика, а 𝑔 − ускорение свободного падения (считайте 𝑔 = 10 м/с 2 ). При каком наименьшем значении угла 𝛼 мячик пролетит над стеной высотой 7,45 м на расстоянии 1 м? Ответ дайте в градусах.
10. Смешав 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45- процентного раствора использовали для получения смеси?
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑥 . Найдите значение 𝑓(10).
12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = 1,5𝑥 2 − 30𝑥 + 48 ∙ ln 𝑥 + 4.
13. а) Решите уравнение tg2𝑥 + (1 + √3) tg 𝑥 + √3 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
14. На рёбрах 𝐶𝐷 и 𝐵𝐵1 куба 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 с ребром 12 отмечены точки 𝑃 и 𝑄 соответственно, причём 𝐷𝑃 = 4, а 𝐵1𝑄 = 3. Плоскость 𝐴𝑃𝑄 пересекает ребро 𝐶𝐶1 в точке 𝑀. а) Докажите, что точка 𝑀 является серединой ребра 𝐶𝐶1 . б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до плоскости 𝐴𝑃𝑄.
15. Решите неравенство 2(50𝑥 + 8 𝑥 ) > 20𝑥 + 3 ∙ 125𝑥 .
16. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы: – в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом; – с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Определите, на какую сумму взяли кредит в банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.
17. Две окружности касаются внешним образом в точке 𝐾. Прямая 𝐴𝐵 касается первой окружности в точке 𝐴, а второй – в точке 𝐵. Прямая 𝐵𝐾 пересекает первую окружность в точке 𝐷, прямая 𝐴𝐾 пересекает вторую окружность в точке 𝐶. а) Докажите, что прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 параллельны. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника 𝐵𝐶𝐷, если известно, что радиус первой окружности равен 4, а радиус второй окружности равен 1.
18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение (𝑎𝑥 2 − 2𝑥) 2 + (𝑎 2 − 𝑎 + 2)(𝑎𝑥 2 − 2𝑥) − 𝑎 2 (𝑎 − 2) = 0 имеет ровно два решения.
19. Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки? б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки? в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
30 вариант пробного ЕГЭ по математике профиль 2025
Variant_30_EGE_2025_profil_s_otvetami1. Площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна 24. 𝐷𝐸 — средняя линия, параллельная стороне 𝐴𝐵. Найдите площадь треугольника 𝐶𝐷𝐸.
2. Даны векторы 𝑎⃗ (1; 2), 𝑏⃗⃗ (−3; 6) и 𝑐⃗ (4; −2). Найдите длину вектора 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗.
3. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 1,5. Найдите объём куба.
4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпала больше раз, чем орёл.
5. Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
6. Найдите корень уравнения log4 (8 − 5𝑥) = 2 log4 3.
8. На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 .
9. В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет 𝑅1 = 60 Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого 𝑅2 (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями 𝑅1 и 𝑅2 их общее сопротивление вычисляется по формуле 𝑅общ = 𝑅1𝑅2 𝑅1+𝑅2 . Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 10 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление 𝑅2 электрообогревателя. Ответ дайте в омах.
10. Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 1,5 км от дома. Один идёт со скоростью 2,2 км/ч, а другой — со скоростью 4,4 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.
11. На рисунке изображены графики функций видов 𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑥 и 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, пересекающиеся в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
12. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 25𝑥 − 25 tg 𝑥 + 41 на отрезке.
13. а) Решите уравнение √2 sin (2𝑥 + 𝜋 4 ) + √2 cos 𝑥 = sin 2𝑥 − 1. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
14. Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями 𝐴𝐷 = 5 и 𝐵𝐶 = 4. Точка 𝑀 делит ребро 𝐴1𝐷1 в отношении 𝐴1𝑀: 𝑀𝐷1 = 1: 4, точка 𝐾 − середина 𝐷𝐷1 . а) Докажите, что плоскость 𝑀𝐶𝐾 делит отрезок 𝐵𝐵1 пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью 𝑀𝐶𝐾, если ∠𝐴𝐷𝐶 = 60°, а ∠𝑀𝐾𝐶 = 90°.
16. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере 𝑆 тыс. рублей, где 𝑆 − натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наименьшее значение 𝑆, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.
17. В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол 𝐵𝐴𝐶 вдвое больше угла 𝐶𝐴𝐷. Биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точке 𝐿. На продолжении стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 выбрана такая точка 𝐸, что 𝐴𝐸 = 𝐶𝐸. а) Докажите, что 𝐴𝐿 ∙ 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶. б) Найдите 𝐸𝐿, если 𝐴𝐶 = 12, tg∠𝐵𝐶𝐴 = 1 4 .
19. У ювелира есть 38 полудрагоценных камней, масса каждого из которых – целое число граммов, не меньшее 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трём кучам: в первой куче 𝑛1 камней, во второй – 𝑛2 камней, в третьей – 𝑛3 камней, причём 𝑛1 < 𝑛2 < 𝑛3 . Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна 𝑆1 , во второй – 𝑆2 , а в третьей – 𝑆3 . а) Может ли выполняться неравенство 𝑆1 > 𝑆2 > 𝑆3? б) Может ли выполняться неравенство 𝑆1 > 𝑆2 > 𝑆3 , если масса любого камня не превосходит 108 граммов? в) Известно, что масса любого камня не превосходит 𝑘 граммов. Найдите наименьшее целое значение 𝑘, для которого может выполняться неравенство 𝑆1 > 𝑆2 > 𝑆3 .
Решать 31 тренировочный вариант с ответами
Variant_31_EGE_2025_profil_s_otvetami1. Острый угол 𝐵 прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите угол между биссектрисой 𝐶𝐷 и высотой 𝐶𝑀, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
2. Даны векторы 𝑎⃗ (−13; 4) и 𝑏⃗⃗ (−6; 1). Найдите скалярное произведение 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗.
3. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известно, что 𝐴𝐵 = 5, 𝐵𝐶 = 4, 𝐴𝐴1 = 3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐴1 , 𝐵1 .
4. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
5. Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−5; 4). Найдите корень уравнения 𝑓 ′ (𝑥) = 0.
9. Автомобиль, движущийся со скоростью 𝜈0 = 24 м/с, начал торможение с постоянным ускорением 𝑎 = 3 м/𝑐 2 . За 𝑡 секунд после начала торможения он прошёл путь 𝑆 = 𝜈0 𝑡 − 𝑎𝑡 2 2 (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.
10. На изготовление 540 деталей первый рабочий затрачивает на 12 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 . Найдите значение 𝑓(3).
12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = (𝑥 2 − 17𝑥 + 17) ∙ 𝑒 7−𝑥 .
14. В треугольной пирамиде 𝑃𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐵 = 17, 𝑃𝐵 = 10, cos∠𝑃𝐵𝐴 = 32 85 . Основанием высоты этой пирамиды является точка 𝐶. Прямые 𝑃𝐴 и 𝐵𝐶 перпендикулярны. а) Докажите, что треугольник 𝐴𝐵𝐶 прямоугольный. б) Найдите объём пирамиды 𝑃𝐴𝐵𝐶.
16. В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 700 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – платежи в 2027 и 2028 годах должны быть по 400 тыс. рублей; – к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.
17. Две окружности касаются внутренним образом в точке 𝐴, причём меньшая окружность проходит через центр 𝑂 большей. Диаметр 𝐵𝐶 большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке 𝑀, отличной от 𝐴. Лучи 𝐴𝑂 и 𝐴𝑀 пересекают большую окружность в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно. Точка 𝐶 лежит на дуге 𝐴𝑄 большей окружности, не содержащей точку 𝑃. а) Докажите, что прямые 𝑃𝑄 и 𝐵𝐶 параллельны. б) Известно, что sin ∠𝐴𝑂𝐶 = √5 3 . Прямые 𝑃𝐶 и 𝐴𝑄 пересекаются в точке 𝐾. Найдите отношение 𝑄𝐾:𝐾𝐴.
18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых система уравнений { 𝑎(𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 𝑎𝑥 + (𝑎 − 3)𝑦 + 1 = 0, 𝑥𝑦 − 1 = 𝑦 − 𝑥 имеет ровно четыре различных решения.
19. Квадратное уравнение 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 имеет два различных натуральных корня. а) Пусть 𝑞 = 55. Найдите все возможные значения 𝑝. б) Пусть 𝑝 + 𝑞 = 30. Найдите все возможные значения 𝑞. в) Пусть 𝑞 2 − 𝑝 2 = 2108. Найдите все возможные корни уравнения.
Смотрите также на сайте ЕГЭ:
Вариант 257-258 ЕГЭ 2025 профиль математика 11 класс задания и ответы