Автор Ответы и задания для 4, 5, 6, 7, 8 класса XXIV олимпиады юношеской математической школы заочный тур 2020-2021 учебный год, официальная дата проведения: 13.09.2020-15.10.2020 (с 13 сентября по 15 октября 2020).
P.S свои ответы пишите в комментариях ниже, тем самым поможете другим ребятам, а они вам.
Ссылка для скачивания заданий для 4-8 класса: скачать задания
Заочный тур 2020 23-й олимпиады юношеской математической школы задания 4-8 класс:
Заочный тур ЮМШ задания и ответы 4 класс:
1)В отмеченных точках (см. рисунок) находятся 4 норы. В них живут хоббиты: Фродо, Сэм, Меррии Пиппин. Нора Фродо ближе к норе Мерри, чем к норе Пиппина. Анора Сэма находится ближе к реке, чем нора Мерри, но дальше от лесополосы, чем нора Пиппина. Кто где живёт? Ответ обоснуйте.
2)У курфюрста Георга 100 монет, некоторые из них фальшивые (возможно, все или ни одной). Георг может показывать одну или несколько монет эксперту, и тот будет говорить, сколько из них фальшивых .Проблема в том, что единственный на всю округу эксперт барон Мюнхгаузени, а он привирает: результат, названный бароном, всегда больше истинного на некоторое фиксированное (и неизвестное Георгу) натуральное число. Барона не смущает, что он может сказать, например, «три», если ему дали всего две монеты. Сможет ли Георг гарантированно выяснить, какие монеты фальшивые?
Ответ: сможет по следующей схеме. Пусть A — натуральное число, на которое постоянно привирает барон. Определим неизвестное А из 3 его ответов про 2 произвольно выбранные монеты.
- 1) Даем отдельно первую из них. Барон отвечает числом подделок m1=e1+A, где пока неизвестное e1 — либо 0 (не фальшивая), либо 1 (фальшивая)
- 2) Даем отдельно вторую. Барон отвечает числом подделок m2=e2+A, где пока неизвестное e2 — либо 0 (не фальшивая), либо 1 (фальшивая)
- 3) Даем обе эти монеты. Барон отвечает числом подделок m12 = e1+e2+A, Из этих трех ответов m1, m2 и m12 вычисляем A по формуле A=m1+m2-m12; Далее можно вычислить e1=m1-A и e2=m2-A. Нулевое значение такой разности говорит о подлинности монеты, а единичное — о подделке. С оставшимися монетами поступаем аналогично: выбираем по одной и получаем на нее ответ барона m_i. Нулевая разность m_i-A свидетельствует о подлинности очередной монеты, а единачная — о подделке. Итого, для проверки 100 монет надо 101 раз спросить барона.
3)31 машина одновременно стартовала из одной точки на круговой трассе: первая машина—со скоростью 61 км/ч, вторая—62 км/ч, и т. д. (31-я—91 км/ч). Трасса узкая, и если одна машина на круг обгоняет другую, то они врезаются друг в друга, обе вылетают с трассы и выбывают из гонки. В конце концов осталась одна машина. С какой скоростью она едет?
4)Из куба 3×3×3 вырезали тоннель из трёх кубиков, соединяющий центральные клетки двух соседних граней (на рисунке они отмечены крестиками). Разрежьте остальное на фигурки такой же формы, как и тоннель (тоже из трёх кубиков).
5)Каждый из пяти друзей перемножил несколько последовательных чисел, начиная с 1. Оказалось, что одно из произведений равно сумме четырёх других. Найдите все возможные значения этого произведения и покажите, что других значений нет.
6)За круглым столом сидят 8 гномов, у каждого из которых есть по три алмаза. Стулья гномов пронумерованы по порядку от 1 до 8. Каждую минуту гномы одновременно делают следующее: делят все свои алмазы на две кучки (возможно, одна из кучек или обе кучки пустые), затем одну кучку отдают левому соседу, а другую— правому. Могут ли все алмазы оказаться у одного гнома?
Заочный тур ЮМШ задания и ответы 5 класс:
1)В отмеченных точках (см. рисунок) находятся 6 нор. В четырёх норах живут хобиты: Фродо, Сэм, Мерри и Пиппин. Ещё две норы пустуют, и обе расположены к норе Сэма ближе, чем нора Фродо. А нора Фродо находится ближе к реке, чем нора Мерри, но дальше от лесополосы, чем нора Пиппина. Кто где живёт? Ответ обоснуйте.
2)31 машина одновременно стартовала из одной точки на круговой трассе: первая машина — со скоростью 61 км/ч, вторая 62 км/ч, и т.д. (31-я — 91 км/ч). Трасса узкая, и если одна машина на круг обгоняет другую, то они врезаются друг в друга, обе вылетают с трассы и выбывают из гонки. В конце концов осталась одна машина. С какой скоростью она едет?
3)У курфюрста Георга 100 монет, некоторые из них фальшивые (возможно, все или ни одной). Георг может показывать от 10 до 20 монет эксперту, и тот будет говорить, сколько из них фальшивых. Проблема в том, что единственный на всю округу эксперт — барон Мюнхгаузен, а он привирает: результат, названный бароном, всегда больше истинного на некоторое фиксированное (и неизвестное Георгу) натуральное число. Барона не смущает, что он может сказать, например, «тринадцать», если ему дали всего двенадцать монет. Сможет ли Георг гарантированно выяснить, какие монеты фальшивые?
4)Исаак де Казобон хочет удалить из параллелепипеда 5 × 5 × 3 несколько кубиков так, чтобы появилась пещера, выходящая на поверхность только в двух местах: центрах соседних боковых граней (на рисунке они отмечены крестиками). Как это сделать так, чтобы оставшуюся часть параллелепипеда можно было бы сложить из параллелепипедов 1×1×2?
5)Каждый из пяти друзей перемножил несколько последовательных чисел, начиная с 1. Оказалось, что одно из произведений равно сумме четырёх других. Найдите все возможные значения этого произведения и покажите, что других значений нет.
6)За круглым столом сидят 8 гномов, у каждого из которых есть по три алмаза. Стулья гномов пронумерованы по порядку от 1 до 8. Каждую минуту гномы одновременно делают следующее: делят все свои алмазы на две кучки (возможно, одна из кучек или обе кучки пустые), затем одну кучку отдают левому соседу, а другую— правому. В некоторый момент все алмазы собрались у трёх гномов. У одного из гномов оказалось 7 алмазов. Сколько у каждого из других?
7)Можно ли в равенстве БАРАНКА + БАРАБАН + КАРАБАС = ПАРАЗИТ заменить все буквы цифрами (одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы разными цифрами), чтобы оно было верным?
Заочный тур ЮМШ задания и ответы 6 класс:
1)Нарисуйте на листе бумаги окружность, квадрат и треугольник так, чтобы после разрезов по нарисованным линиям лист распался на 22 части.
2)У курфюрста Георга 100 монет, некоторые из них фальшивые (возможно, все или ни одной). Георг может показывать от 10 до 20 монет эксперту, и тот будет говорить, сколько из них фальшивых. Проблема в том, что единственный на всю округу эксперт — барон Мюнхгаузен, а он привирает: результат, названный бароном, всегда больше истинного на некоторое фиксированное (и неизвестное Георгу) натуральное число. Барона не смущает, что он может сказать, например, «тринадцать», если ему дали всего двенадцать монет. Сможет ли Георг гарантированно выяснить, какие монеты фальшивые?
3)Упрямый робот «Инвертор» стоит на бесконечной плоскости и смотрит на восток. Этот робот понимает всего две команды: ШАГ и НАЛЕВО. Когда робот видит команду ШАГ, он передвигается вперёд ровно на 1 метр. Когда робот видит команду НАЛЕВО, он, оставаясь на месте, поворачивается налево ровно на 90◦. Робот называется упрямым потому, что когда в него вводят программу(последовательность команд),то он сначала выполняет всю программу, а затем выполняет эту же программу, инвертируя смысл команд: видя команду ШАГИ, он выполняет команду НАЛЕВО и наоборот. Используя команду ШАГ ровно два раза и команду НАЛЕВО сколько угодно раз, составьте для этого робота такую программу, чтобы после её упрямого выполнения он вернулся в исходную точку и смотрел на восток.
4)Каждый из пяти друзей перемножил несколько последовательных чисел, начиная с 1. Оказалось, что одно из произведений равно сумме четырёх других. Найдите все возможные значения этого произведения и покажите, что других значений нет.
5)За круглым столом сидят 8 гномов, у каждого из которых есть по три алмаза. Каждую минуту гномы одновременно делают следующее: делят все свои алмазы на две кучки (возможно, одна из кучек или обе кучки пустые), затем одну кучку отдают левому соседу, а другую — правому. В некоторый момент все алмазы собрались у трёх гномов. У одного из них семь алмазов. Сколько у двух других?
6)В квадрате 4×4 клетки раскрашены в несколько цветов так, что в любом прямоугольничке 1×3 есть две клетки одного цвета. Какое максимальное количество цветов может быть использовано?
7)В ряд стоят 50 мальчиков и 50 девочек в каком-то порядке. В этом ряду имеется ровно одна группа из 30 детей, стоящих подряд, в которой мальчиков и девочек поровну. Докажите, что найдётся группа из 70 детей подряд, в которой мальчиков и девочек также поровну.
Заочный тур ЮМШ задания и ответы 7 класс:
1)Министерство Правды заявило, что за январь занятость населения Океании упала на 15% от предыдущего уровня, а безработица выросла на 10% от предыдущего уровня. Какова теперь безработица в Океании, согласно заявлению Министерства? (Занятость—доля трудоспособного населения, имеющего работу, а безработица—не имеющего.)
2)Сумма факториалов трёх подряд идущих натуральных чисел делится на 61. Докажите, что последнее из чисел никак не меньше, чем 61. (Факториал числа n—это произведение всех чисел от 1 до n включительно.)
3)Таня запутала провод от наушников и сфотографировала узел, поверх которого положила атласную ленту (см. рисунок). Сколько существует вариантов соединения концов провода под лентой?
4)У курфюрста Георга 100 монет, некоторые из них фальшивые (возможно, все или ни одной). Георг может показывать от 10 до 20 монет эксперту, и тот будет говорить, сколько из них фальшивых. Проблема в том, что единственный на всю округу эксперт — барон Мюнхгаузен, а он привирает: результат, названный бароном, всегда больше истинного на некоторое фиксированное (и неизвестное Георгу) натуральное число. Барона не смущает, что он может сказать, например, «тринадцать», если ему дали всего двенадцать монет. Сможет ли Георг гарантированно выяснить, какие монеты фальшивые, обратившись к эксперту меньше 120 раз?
5)Двое по очереди ставят на доску 2020×2020 не перекрывающиеся домино, закрывающие по две клетки. Задача второго—покрыть домино всю доску, задача первого—помешать ему. Кто может обеспечить себе выигрыш?
6)В Лимонном царстве 2020 деревень. Некоторые пары деревень соединены напрямик мощёными дорогами. Сеть дорог устроена так, что для любых двух деревень есть ровно один способ переместиться из одной в другую, не проезжая дважды по одной дороге. Агент Апельсин хочет облететь как можно больше деревень на вертолёте. В целях конспирации он не будет посещать одну деревню дважды, и не будет посещать подряд деревни, соединенные дорогой напрямик. Сколько деревень ему гарантированно удастся облететь? Начать он может из любой деревни.
7)Миша придумал два составных числа: a и b. На доску в левый столбец он выписал все собственные натуральные делители числа a, в правый столбец—все собственные натуральные делители числа b. Одинаковых чисел на доске не оказалось. Миша хочет, чтобы число a + b не делилось ни на одну сумму двух чисел из разных столбцов. Докажите, что ему для этого достаточно стереть не более половины чисел из каждого столбца. (Делитель числа называется собственным, если он отличается от 1 и самого числа.)
Заочный тур ЮМШ задания и ответы 8 класс:
1)Министерство Правды заявило, что за январь занятость населения Океании упала на 15% от предыдущего уровня, а безработица выросла на 10% от предыдущего уровня. Какова теперь безработица в Океании, согласно заявлению Министерства? (Занятость—доля трудоспособного населения, имеющего работу, а безработица—не имеющего.)
2)Ася поделила любимое число Васи на свое любимое число, Буся поделила любимое число Васи на свое любимое число. Затем обе девочки записали на доску делитель, неполное частное и остаток. Пять чисел на доске—это 2020, 2020, 2021, 2021, 2021. Можно ли однозначно определить шестое?
3)У курфюрста Георга 100 монет, некоторые из них фальшивые (возможно, все или ни одной). Георг может показывать от 10 до 20 монет эксперту, и тот будет говорить, сколько из них фальшивых. Проблема в том, что единственный на всю округу эксперт — барон Мюнхгаузен, а он привирает: результат, названный бароном, всегда больше истинного на некоторое фиксированное (и неизвестное Георгу) натуральное число. Барона не смущает, что он может сказать, например, «тринадцать», если ему дали всего двенадцать монет. Сможет ли Георг гарантированно выяснить, какие монеты фальшивые, обратившись к эксперту меньше 120 раз?
4)В ряд стоят 50 мальчиков и 50 девочек в каком-то порядке. В этом ряду имеется ровно одна группа из 30 детей, стоящих подряд, в которой мальчиков и девочек поровну. Докажите, что найдётся группа из 70 детей подряд, в которой мальчиков и девочек также поровну.
5)В треугольнике ABC угол B прямой. На стороне BC отмечена середина M, а на гипотенузе нашлась такая точка K, что AB = AK и ∠BKM = 45◦. Кроме этого, на сторонах AB и AC нашлись такие точки N и L соответственно, что BC = CL и ∠BLN = 45◦. В каком отношении точка N делит сторону AB?
6)Двое по очереди ставят на доску 2021 × 2021 неперекрывающиеся домино, закрывающие по две клетки. Задача второго—покрыть домино всю доску, кроме одной клетки, задача первого—помешать ему. Кто может обеспечить себе выигрыш?
7)Миша придумал два составных числа: a и b. На доску в левый столбец он выписал все собственные натуральные делители числа a, в правый столбец—все собственные натуральные делители числа b. Одинаковых чисел на доске не оказалось. Миша хочет, чтобы число a + b не делилось ни на одну сумму двух чисел из разных столбцов. Докажите, что ему для этого достаточно стереть не более половины чисел из каждого столбца. (Делитель числа называется собственным, если он отличается от 1 и самого числа.)