Автор Контрольная диагностическая работа пробник 31 октября 2026 нового формата ЕГЭ 2027 по математике 11 класс профильный уровень 2 тренировочных варианта заданий с ответами и решением для подготовки к экзамену из открытого банка ФИПИ. Вариант тренировочной работы состоит из двух частей, включающих в себя 20 заданий.
1 вариант пробника ЕГЭ 2027 профиль по математике 11 класс
variant_1_mat_11_klass_ege_2027_profil_31_102 тренировочный вариант ЕГЭ 2027 по математике 11 класс профильный уровень
variant_2_mat_11_klass_ege_2027_profil_31_10Задания для 1 варианта
Часть 1
Задание
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Задание 2
Даны векторы a⃗(25; 0) и b⃗(1; −5). Найдите длину вектора a⃗ − 4b⃗.
Задание 3
Даны два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.
Задание 4
На конференцию приехали учёные из трёх стран: 5 из Австрии, 4 из Германии и 6 из Сербии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что десятым окажется доклад учёного из Сербии.
Задание 5
В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
Задание 6
Организаторы лотереи выпустили 5000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом. Выигрыш (в рублях): 100; 500; 1000; 10 000. Число выигрышных билетов: 500; 100; 40; 2. Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
Задание 7
Найдите корень уравнения log₇(1 − x) = log₇5.
Задание 8
Найдите значение выражения (2 sin 136°) / (sin 68° · sin 22°).
Задание 9
На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−19; 3). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [−17; −4].
Задание 10
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,6 + 13t − 5t², где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 метров?
Задание 11
Заказ на изготовление 198 деталей первый рабочий выполняет на 7 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 7 деталей больше второго?
Задание 12
На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax² + bx + c. Найдите значение f(−2).
Задание 13
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 177 120 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей составит общая сумма платежей, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Часть 2
Задание 14
а) Решите уравнение sin 2x + √2 cos(x + π) = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].
Задание 15
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 4. Точка K — середина ребра A₁B₁. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью AKC является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости AKC.
Задание 16
Решите неравенство 2 / (3ˣ + 27) ≥ 1 / (3ˣ − 27).
Задание 17
Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5x² + 2x + 6) млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px − (0,5x² + 2x + 6). Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не больше чем за 3 года?
Задание 18
Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2. а) Докажите, что ∠BAC = 30°. б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = √21.
Задание 19
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений { x + y = a, { |y| = |x² − 2x| имеет ровно два различных решения.
Задание 20
Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй — 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов. а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 89, а в третьей — 15? б) Мог ли в третьей коробке оказаться 201 камень? в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Задания для 2 варианта
Задание 1
Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 9°. Найдите величину угла между высотой CH и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C. Ответ дайте в градусах.
Задание 2
Даны векторы a⃗(2; 1) и b⃗(2; −4). Найдите скалярное произведение векторов a⃗ + b⃗ и 7a⃗ − b⃗.
Задание 3
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 60. Найдите объём конуса.
Задание 4
В группе туристов 20 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В., входящий в состав группы, полетит первым рейсом вертолёта.
Задание 5
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Задание 6
Случайная величина X принимает значения −2, 0, 1 и 4. Распределение случайной величины X приведено ниже, одна из вероятностей пропущена. Значение X: −2; 0; 1; 4. Вероятность: 0,1; 0,3; 0,4; ? Найдите математическое ожидание случайной величины X.
Задание 7
Найдите корень уравнения (1/6)ˣ⁻² = 6ˣ.
Задание 8
Найдите значение выражения (log₉28) / (log₉7) + log₇(7/4).
Задание 9
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.
Задание 10
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается по закону m = m₀ · 2^(−τ/T), где m₀ — начальная масса изотопа (в мг), τ — время, прошедшее от начального момента, в минутах, T — период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 156 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 39 мг.
Задание 11
Моторная лодка прошла против течения реки 168 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 13 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Задание 12
На рисунке изображён график функции вида f(x) = logₐx. Найдите значение f(25).
Задание 13
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 419 375 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Часть 2
Задание 14
а) Решите уравнение cos 2x + cos(−x) = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−7π/2; −2π].
Задание 15
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении BK : KC = 3 : 1, а AB = 2 и SO = √14. а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD.
Задание 16
Решите неравенство log₂²(25 − x²) − 7log₂(25 − x²) + 12 ≥ 0.
Задание 17
Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300 рублей. Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Задание 18
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD. а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD. б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 12 и BD = 6,5.
Задание 19
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (9x² − a²) / (x² + 8x + 16 − a²) = 0 имеет ровно два различных корня.
Задание 20
С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314? в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
Смотрите на сайте по математике ЕГЭ 2027
Варианты МА2610101-МА2610112 статград по математике 11 класс пробник ЕГЭ 30 сентября 2026