Автор Новые тренировочные варианты 21, 22, 23, 24 формата реального экзамена решу ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профильный уровень задания с ответами и решением для подготовки к экзамену, который пройдёт у 11 классов 26-27 мая 2025 из открытого банка заданий ФИПИ и экзаменов прошлых лет. Вариант профильного уровня ЕГЭ состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий.
Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности. При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение на отдельном листе бумаги.
Решать 21 вариант ЕГЭ 2025 математика профиль
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = 25, 𝐴𝐵 = 40. Найдите sin 𝐴.
3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
4. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 80 докладов: первые два дня по 8 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
5. Биатлонист стреляет по пяти мишеням — в каждую по одному разу. Вероятность попадания в каждую мишень равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−16; 5). Найдите количество точек экстремума функции 𝑓 (𝑥), принадлежащих отрезку [−14; 2].
10. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
14. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки 𝐴 и 𝐵, а на окружности другого основания — точки 𝐵1 и 𝐶1, причем 𝐵𝐵1 — образующая цилиндра, а отрезок 𝐴𝐶1 пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол 𝐴𝐵𝐶1 прямой. б) Найдите угол между прямыми 𝐵𝐵1 и 𝐴𝐶1, если 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐵1 = 15, 𝐵1𝐶1 = 8.
16. В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными; — к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что платеж в 2029 году составит 833,8 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2027 году?
17. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐴𝐵𝐶 тупой, 𝐻 — точка пересечения продолжений высот, угол 𝐴𝐻𝐶 равен 60∘ . а) Докажите, что угол 𝐴𝐵𝐶 равен 120∘ . б) Найдите 𝐵𝐻, если 𝐴𝐵 = 7 и 𝐵𝐶 = 8.
19. Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел равен 128. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел. а) Может ли число 686 являться членом такой прогрессии? б) Может ли число 496 являться членом такой прогрессии? в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
Ответы:
22 тренировочный вариант ЕГЭ 2025
1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите б´oльшую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.
3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объём параллелепипеда.
4. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 196 качественных сумок приходится 4 сумки, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектами.
5. В ящике три красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?
9. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием 𝑓 = 50 см. Расстояние 𝑑1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 55 до 75 см, а расстояние 𝑑2 от линзы до экрана — в пределах от 260 до 300 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение 1 𝑑1 + 1 𝑑2 = 1 𝑓 . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чeтким. Ответ дайте в сантиметрах.
10. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 110 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.
14. В правильном тетраэдре 𝐴𝐵𝐶𝐷 точки 𝐾 и 𝑀 — середины рёбер 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Плоскость 𝛼 содержит прямую 𝐾𝑀 и параллельна прямой 𝐴𝐷. а) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью 𝛼 — квадрат. б) Найдите площадь сечения тетраэдра 𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼, если 𝐴𝐵 = 2√ 3.
16. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 400 000 рублей. Известно, что банк каждый год увеличивает сумму кредита на 𝑟%, после чего происходит платеж. Кредит был полностью выплачен за 2 года. Найдите 𝑟, если первый платеж составил 330 000 рублей, а второй 121 000 рублей.
17. Дана равнобедренная трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶. Биссектрисы углов 𝐵𝐴𝐷 и 𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂. Точки 𝑀 и 𝑁 отмечены на боковых сторонах 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Известно, что 𝐴𝑀 = 𝑀𝑂 и 𝐶𝑁 = 𝑁𝑂. а) Докажите, что точки 𝑀, 𝑁 и 𝑂 лежат на одной прямой. 6) Найдите 𝐴𝑀 : 𝑀𝐵 если известно, что 𝐴𝑂 = 𝑂𝐶 и 𝐵𝐶 : 𝐴𝐷 = 1 : 7.
19. Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу. а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней? б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня? в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше, чем другой?
Ответы для варианта:
23 тренировочный вариант ЕГЭ 2025 профиль
1. Высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на отрезки равные 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.
3. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60∘ . Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды.
4. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 80 докладов: первые два дня по 8 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
5. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.
9. Плоский замкнутый контур площадью 𝑆 = 0,5 м 2 находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой 𝜀𝑖 = 𝑎𝑆 cos 𝛼, где 𝛼 — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, 𝑎 = 4 · 10−4 Тл/с — постоянная, 𝑆 — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м2 ). При каком минимальном угле 𝛼 (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать 10−4 В?
10. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?
14. В правильной треугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 сторона основания 𝐴𝐵 равна 6, а боковое ребро 𝑆𝐴 равно 5. На рёбрах 𝐴𝐵 и 𝑆𝐶 отмечены точки 𝐾 и 𝑀 соответственно, причём 𝐴𝐾 : 𝐾𝐵 = 𝑆𝑀 : 𝑀𝐶 = 5 : 1. Плоскость 𝛼 содержит прямую 𝐾𝑀 и параллельна 𝑆𝐴. а) Докажите, что сечение пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶 плоскостью 𝛼 — прямоугольник. б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка 𝐴, а основанием — сечение пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶 плоскостью 𝛼.
16. В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными; — к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1482,3 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2029 года?
17. Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной 𝐷 в точке 𝐸 и пересекает вторую сторону в точках 𝐴 и 𝐵 (точка 𝐴 лежит между 𝐵 и 𝐷). В окружности проведён диаметр 𝐴𝐶. а) Докажите, что отрезок 𝐵𝐶 вдвое больше отрезка 𝐷𝐸. б) Найдите расстояние от точки 𝐸 до прямой 𝐴𝐶, если 𝐴𝐷 = 4 и 𝐴𝐵 = 5.
19. Даны числа 𝑎 = 4 и 𝑏 = 5, за один ход можно получить положительные числа (𝑎 − 1; 𝑏 + 2) или (𝑎 + 2; 𝑏 − 1). а) Можно ли получить число 200 за 100 ходов? б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму равную 300. в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает 200.
24 тренировочный вариант
3. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 2 раза, а образующая останется прежней?
4. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
5. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 95% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 55% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 75% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
8. Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥 (𝑡) = 𝑡 2 − 4𝑡 + 7, где 𝑥 — расстояние от точки отсчёта в метрах, 𝑡 — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 2 м/с?
9. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: 𝐹A = 𝜌𝑔𝑙3 , где 𝑙 — длина ребра куба в метрах, 𝜌 = 1000 кг/м 3 — плотность воды, а 𝑔 — ускорение свободного падения (считайте 𝑔 = 9,8 Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78400 Н? Ответ дайте в метрах.
10. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
14. Высота цилиндра равна 3. Равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с боковой стороной 10 и ∠𝐴 = 120∘ расположен так, что его вершина 𝐴 лежит на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины 𝐵 и 𝐶 — на окружности верхнего основания. а) Найдите угол между плоскостью 𝐴𝐵𝐶 и плоскостью основания цилиндра. б) Докажите, что радиус основания цилиндра больше, чем 𝐴𝐵.
16. 15-го декабря планируется взят кредит в банке на 1000 тысяч рублей на (𝑛 + 1) месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего месяца; — cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 𝑛-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа 𝑛-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (𝑛 + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите 𝑟, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.
17. На стороне 𝐵𝐶 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 выбрана точка 𝑀 такая, что 𝐴𝑀 = 𝑀𝐶. a) Докажите, что центр вписанной в треугольник 𝐴𝑀𝐷 окружности лежит на диагонали 𝐴𝐶. б) Найдите радиус вписанной в треугольник 𝐴𝑀𝐷 окружности, если 𝐴𝐵 = 5, 𝐵𝐶 = 10, ∠𝐵𝐴𝐷 = 60∘ .
18. На доске написано трёхзначное число 𝐴. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число 𝐵, затем Коля записывает число 𝐴 и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число 𝐶. а) Может ли быть верным уравнение 𝐴 = 𝐵 · 𝐶 если 𝐴 > 140. б) Может ли быть верным уравнение 𝐴 = 𝐵 · 𝐶 если 440 ⩽ 𝐴 < 500. в) Найдите наибольшее число 𝐴 до 900 для которого выполняется 𝐴 = 𝐵 · 𝐶.
Прогноз на ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профиль
Прогноз на ЕГЭ 2025 по математике профиль 11 класс вариант с ответами школа Пифагора