Задачи и ответы для 11 класса по математике Московская математическая олимпиада школьников отборочный этап 2022, официальная дата проведения заочного тура олимпиады с 11 по 31 января 2022 года.
Заочный тур необходим только для учеников 11 класса. Для регистрации на очный тур необходимо ввести верный ответ хотя бы в трех задачах, после чего заполнить анкету. Количество попыток не ограничено. При записи десятичных дробей в качестве разделителя можно использовать как запятую, так и точку.
Незаконченные регистрации (регистрации, при которых не было решено нужное количество задач или не была заполнена анкета) не сохраняются и не учитываются.
Посмотреть задания олимпиады онлайн:
1)Антон, Борис и Вениамин договорились прийти в музей в промежуток между 13:00 и 14:00. Каждый мальчик выбирает время прихода наугад. Известно, что Антон пришёл раньше Бориса. Какова вероятность, что он пришёл и раньше Вениамина? Ответ должен быть числом от 0 до 1. Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,001.
2)В 1961 году братья Мозер для доказательства, что хроматическое число плоскости больше или равно 4, предложили конструкцию из 7 вершин и 11 отрезков, длина каждого из которых равна 1 (см. чертёж). Найдите площадь пятиугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸. Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,001.
3)Пять мудрецов периодически собираются и задают друг другу загадки. В один из дней мудрец Василий сказал каждому из остальных четырёх мудрецов по числу, а после этого сообщил: «Я сказал вам четыре разных числа. Это — последовательные двузначные числа, одно из которых делится на 6, а другое — делится на 7. Может ли ктонибудь из вас назвать какие четыре числа я сказал?» Мудрецы подумали и одновременно ответили: «Нет». Услышав, что каждый из остальных мудрецов сказал «Нет», каждый из мудрецов сказал: «А теперь — да!» Каким может быть наибольшее из чисел, которые Василий сказал другим мудрецам? Если ответов несколько, перечислите их все в порядке возрастания через точку с запятой; например, 24;25;26.
4)Среди 𝑛 последовательных натуральных чисел оказалось больше чисел, кратных 2022, чем чисел, кратных 2021. При каком наибольшем 𝑛 такое возможно?
5)Существует единственное положительное иррациональное число 𝑥 такое, что 𝑥 2 + 𝑥 и 𝑥 3 + 2𝑥 2 — целые числа. Найдите 𝑥. Округлите ответ с точностью до 0,001.
6)Математик Георгий Оленин изобрёл новый показатель успешности учёных. Учёный имеет индекс Оленина, равный целому неотрицательному числу 𝑘, если у него имеется 𝑘 соавторов, каждые два из которых также являются соавторами. (Два учёных называются соавторами, если у них имеется статья, которую они написали вместе. Из всех подходящих 𝑘 выбирается, естественно, наибольшее. ) Представим себе, что учёных в мире всего 2021. Какое наибольшее количество различных индексов Оленина у них может быть?
Смотрите также на нашем сайте:
Всероссийская олимпиада школьников 2021-2022 задания и ответы