Автор Ответы и задания для 9, 10 класса олимпиады по математике пригласительный школьный этап всероссийской олимпиады школьников (ВсОШ и Сириус), официальная дата проведения в онлайне: 14.05.2020 (14 мая 2020 год).
Ссылка для скачивания заданий для 9 класса: скачать
Ссылка для скачивания заданий для 10 класса: скачать
Ссылка для скачивания всех ответов и заданий для 9-10 класса: скачать
Ответы и задания 9 класс пригласительный этап по математике 2020:
1)В блокноте нарисована треугольная сетка (см. рисунок). Таня расставила в узлы сетки целые числа. Назовём два числа близкими, если они находятся в соседних узлах решётки. Известно, что: сумма всех десяти чисел равна 47; сумма любых трёх чисел таких, что любые два из них близки, равна 11. Чему равно центральное число? Ответ: 14
1.2)В блокноте нарисована треугольная сетка (см. рисунок). Таня расставила в узлы сетки целые числа. Назовём два числа близкими, если они находятся в соседних узлах решётки. Известно, что: сумма всех десяти чисел равна 43, сумма любых трёх чисел таких, что любые два из них близки, равна 11. Ответ: 10
2)Наименьшее общее кратное четырёх попарно различных чисел равно 105. Какое максимальное значение может принимать сумма этих чисел? Ответ: 176
2.2)Наименьшее общее кратное четырёх попарно различных чисел равно 195. Какое максимальное значение может принимать сумма этих чисел?
3)Учитель написал на доске дробь, у которой числитель и знаменатель — натуральные числа. Миша прибавил к числителю данной дроби 30 и записал полученную дробь к себе в тетрадь, а Лёша вычел из знаменателя дроби, записанной на доске, 6 и также записал полученную дробь к себе в тетрадь. Дроби, записанные мальчиками, оказались равны одному и тому же числу. Что это за число? Ответ: 5
3.2)Учитель написал на доске дробь, у которой числитель и знаменатель — натуральные числа. Миша прибавил к числителю данной дроби 42 и записал полученную дробь к себе в тетрадь, а Лёша вычел из знаменателя дроби, записанной на доске, 6 и также записал полученную дробь к себе в тетрадь. Дроби, записанные мальчиками, оказались равны одному и тому же числу. Что это за число?
4)Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Известно, что ∠ADB=44 градусов, ∠BDC=66 градусов. Внутри треугольника ABC отмечена точка X так, что ∠BCX=22 градусов, а луч AX является биссектрисой угла BAC. Найдите угол CBX. Ответ: 35
4.2)Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Известно, что ∠ADB=48 градусов, ∠BDC=56 градусов. Внутри треугольника ABC отмечена точка X так, что ∠BCX=24 градусов, а луч AX является биссектрисой угла BAC. Найдите угол CBX
5)На доске нарисован график функции 𝑦 = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏. Юля нарисовала на том же чертеже две прямые, параллельные оси 𝑂𝑥. Первая прямая пересекает график в точках 𝐴 и 𝐵, а вторая — в точках 𝐶 и 𝐷. Найдите расстояние между прямыми, если известно, что 𝐴𝐵 = 5, 𝐶𝐷 = 11.
6)На прямой отметили две красные точки и несколько синих. Оказалось, что одна из красных точек содержится ровно в 56 отрезках с синими концами, а другая — в 50 отрезках с синими концами. Сколько синих точек отмечено?
7)На координатной плоскости отмечены точки 𝑂(0; 0), 𝐴(5; 0), 𝐵(0; 4). Прямая 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 такова, что для любой точки 𝑀 на этой прямой площадь четырехугольника 𝐴𝑂𝐵𝑀 равна 20. Чему равно 𝑘?
8)Юный энтомолог Дима наблюдает за двумя кузнечиками. Он заметил, что когда кузнечик начинает прыгать, он прыгает на 1 см, через секунду на 2 см, ещё через секунду на 3 см и т.д.
Сначала оба кузнечика сидели в одном месте. Один из них начал прыгать, а через несколько секунд вслед за первым начал прыгать второй (кузнечики прыгают по прямой в одном направлении). В какой-то момент Дима записал в тетрадку, что расстояние между кузнечиками равно 9 см. Несколько секунд спустя он записал, что расстояние между кузнечиками стало 39 см. Сколько секунд прошло между записями? (Укажите все возможные варианты.)
Ссылка для скачивания всех ответов и заданий (с 1 по 8) для 9 класса: скачать
Ответы и задания 10 класс пригласительный этап по математике 2020:
1)Наименьший делитель числа, отличный от 1, будем называть минимальным. Наибольший делитель числа, отличный от самого числа, будем называть максимальным. Найдите четырёхзначное число, у которого максимальный делитель в 49 раз больше минимального. Достаточно привести пример одного такого числа. Ответ: 1225
1.2)Наименьший делитель числа, отличный от 1, будем называть минимальным. Наибольший делитель числа, отличный от самого числа, будем называть максимальным. Найдите четырёхзначное число, у которого максимальный делитель в 91 раз больше минимального. Достаточно привести пример одного такого числа.
2)На листе бумаги нарисованы три пересекающиеся окружности, они образуют 7 областей. Будем называть две области соседними, если у них есть общая граница. Области, граничащие ровно по одной точке, не являются соседними. В две области уже вписаны числа. Впишите в оставшиеся 5 областей целые числа так, чтобы в каждой области число равнялось сумме всех чисел в соседних областях.
Какое число должно стоять вместо знака вопроса? Ответ: 9
2.2)Ответ:
3)Петя и Даниил играют в следующую игру. У Пети есть 36 конфет. Он выкладывает эти конфеты в клетки квадрата 3×3 (некоторые клетки могут остаться пустыми). После этого Даниил выбирает четыре клетки, образующие квадрат 2×2, и забирает оттуда все конфеты. Какое наибольшее количество конфет может гарантированно забрать Даниил?
3.2) Петя и Даниил играют в следующую игру. У Пети есть 60 конфет. Он выкладывает эти конфеты в клетки квадрата 3×3 (некоторые клетки могут остаться пустыми). После этого Даниил выбирает четыре клетки, образующие квадрат 2×2, и забирает оттуда все конфеты. Какое наибольшее количество конфет может гарантированно забрать Даниил? Ответ
4)Рома загадал натуральное число, сумма цифр которого делится на 7. Затем прибавил к загаданному числу 4 и снова получил число, сумма цифр которого делится на 7. Найдите наименьшее число, которое мог загадать Рома.
4.2)Рома загадал натуральное число, сумма цифр которого делится на 8. Затем прибавил к загаданному числу 2 и снова получил число, сумма цифр которого делится на 8. Найдите наименьшее число, которое мог загадать Рома.
5)На стороне 𝐴𝐵 прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 как на диаметре построена окружность 𝜔. Пусть 𝑃 — вторая точка пересечения отрезка 𝐴𝐶 и окружности 𝜔. Касательная к 𝜔 в точке 𝑃 пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точке 𝐾 и проходит через точку 𝐷. Найдите 𝐴𝐷, если известно, что 𝐾𝐷 = 36.
6)Сколько существует способов разрезать лесенку высотой 6 клеток на 5 прямоугольников и один квадрат? Лесенка, все прямоугольники и квадрат изображены ниже. При разрезании прямоугольники могут располагаться горизонтально.
7)Никита схематично нарисовал график трёхчлена 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Оказалось, что 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 1. Рассмотрим четыре числа — 𝑎, 𝑏, 𝑐 и дискриминант трёхчлена. Известно, что три из них равны в некотором порядке 1/4, −1, −3/2. Найдите, чему равно четвёртое число.
8)На грани 𝐴𝐵𝐶 тетраэдра 𝐴𝐵𝐶𝐷 отметили точку 𝑃. Точки 𝐴1 , 𝐵1 , 𝐶1 — проекции точки 𝑃 на грани 𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐶𝐷, 𝐴𝐵𝐷 соответственно. Оказалось, что 𝑃𝐴1 = 𝑃𝐵1 = 𝑃𝐶1 . Найдите ∠𝐵𝐴1𝐶, если известно, что ∠𝐵𝐶1𝐷 = 136∘ , ∠𝐶𝐵1𝐷 = 109∘ .
Ссылка для скачивания всех ответов и заданий (с 1 по 8) для 10 класса: скачать
Смотрите также ответы для других олимпиад:
Пригласительный школьный этап всероссийская олимпиада школьников 2020-2021