Автор Всероссийская олимпиада школьников ВОШ 2020 по математике муниципальный этап 2020-2021 учебный год ответы и задания для 7,8,9,10,11 класса, официальная дата проведения в Краснодарском Крае (23 регион): 22.11.2020 (22 ноября 2020)
Ссылка для скачивания заданий с ответами для 7 класса: скачать
Ссылка для скачивания заданий с ответами для 8 класса: скачать
Ссылка для скачивания заданий с ответами для 9 класса: скачать
Ссылка для скачивания заданий с ответами для 10 класса: скачать
Ссылка для скачивания заданий с ответами для 11 класса: скачать
ВОШ 2020 муниципальный этап по математике 7 класс задания и ответы с олимпиады:
1)Существует ли семизначное число, состоящее из различных цифр, в котором произведение первых четырёх цифр равно сумме последних четырёх цифр?
Ответ: Да, существует.
2)Денис заполняет таблицу 4 × 4 числами так, чтобы сумма чисел в любых двух соседних по стороне клетках была одинаковой. Андрей заметил, что в нижнем левом углу таблицы стоит 20, а в нижнем правом углу таблицы — 19. Чему равна сумма чисел во всей таблице?
Ответ: 312
3)Марина написала 9 подряд идущих натуральных чисел. Марк стёр все чётные числа. Теперь самое первое число в три раза меньше самого последнего. Какое число Марина написала пятым?
Ответ: 6
4)Вася выложил из спичек квадрат 6×6, разбитый на прямоугольники 1 × 2 (все спички имеют длину 1):
Ответ: 9 прямоугольников 1 × 3.
5)Петя расставил в клетки таблицы 6 × 6 разноцветные фишки так, что в каждой клетке находится ровно одна фишка, и рядом с каждой фишкой есть хотя бы две фишки того же цвета. (Считается, что две фишки находятся рядом, если они расположены в соседних по стороне клетках). Какое наибольшее количество разноцветных фишек могло быть использовано? (Приведите пример расстановки фишек и докажите, что больше цветов быть не может.)
Ответ: 9
ВОШ 2020 муниципальный этап по математике 8 класс задания и ответы с олимпиады:
1)Клоун Сеня катается на велосипеде, у которого три колеса разных размеров. Среднее колесо вдвое больше маленького, а большое колесо втрое больше маленького. Сеня заметил, что за время поездки маленькое колесо сделало на 3000 оборотов больше, чем среднее. Сколько оборотов сделало за время поездки большое колесо?
Ответ: 2000 оборотов
2)На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили точки E и F соответственно. Оказалось, что BE = EF. Биссектриса угла EF C пересекает основание AC в точке K. Докажите, что KF = KC.
3)На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды встретились трое островитян: Джон, Джим и Джек. — Джим может сказать, что Джек лжец, — заявил Джон. — Джек может сказать, что Джон лжец, — заявил Джим. — Джон может сказать, что Джим лжец, — заявил Джек. Сколько рыцарей среди них может быть? (Укажите все возможные варианты!)
Ответ: 2 или 0.
4)Петя расставил числа от 1 до 20 по кругу и для каждых трёх подряд идущих чисел вычислил их сумму. Могут ли 11 из 20 этих сумм оказаться равными?
Ответ: нет, не могут.
5)В парусном клубе состоит 9 джентльменов. Каждый день клуб выбирает двоих членов для участия в регате. Члены клуба всегда выигрывают и привозят в клубный музей кубок. Через 350 дней правление клуба выяснило, что одна из пар участников заработала больше кубков, чем любая другая. Какое наименьшее число кубков могла добыть для клубного музея эта пара?
Ответ: 8 кубков.
ВОШ 2020 муниципальный этап по математике 9 класс задания и ответы с олимпиады:
1)Маша старше своего брата на столько, сколько лет было её брату два года назад. А тринадцать лет назад им с братом вместе было столько лет, сколько сейчас её брату одному. Сколько лет Маше?
Ответ: 26 лет
2)Существует ли 19–значное число, у которого сумма цифр равна произведению цифр?
Ответ: да, существует.
3)Правильный треугольник со стороной длины 4 разбит параллельными сторонам линиями на 16 маленьких треугольников со стороной длины 1, как показано на рисунке:
Ответ: за 10 ходов.
4)На доске записаны числа 1, 2, . . . , n. Затем одно из чисел стёрли, после чего оказалось, что сумма всех оставшихся чисел равна 100. Какое число стёрли?
Ответ: 5
5)Точка M является серединой стороны CD квадрата ABCD. Из вершины B опустили перпендикуляр BH на прямую AM. Докажите, что прямая AM параллельна биссектрисе угла BCH.
6)В каждой клетке доски 4×4 сидит жук. Некто хлопнул в ладоши, и каждый жук в панике перебежал в одну из соседних по стороне клеток доски. Какое наибольшее число пустых клеток могло при этом получиться?
Ответ: 10
ВОШ 2020 муниципальный этап по математике 10 класс задания и ответы с олимпиады:
1)Андрей и Борис бегают по круговой дорожке, причём Андрей бежит по часовой стрелке, а Борис — против. Если Андрей увеличит свою скорость в три раза, мальчики начнут встречаться в полтора раза чаще. Во сколько раз чаще они станут встречаться, если свою скорость увеличит в три раза Борис?
Ответ: в 2,5 раза
2)Из квадрата 5 × 5 вырезали четыре угловые клетки. Сколько существует способов разрезать оставшуюся фигуру на прямоугольники 1 × 3?
Ответ: 6
3)Число называется палиндромом, если оно совпадает с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Сколько существует четырёхзначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?
Ответ: 3
4)На координатной плоскости отмечены все точки, у которых обе координаты натуральные и не превосходят 3. За один ход разрешается назвать любые три вещественных числа a, b и c (a 6= 0) и удалить все отмеченные точки, которые лежат на графике функции y = ax2 + bx + c. За какое наименьшее число ходов можно удалить все отмеченные точки?
Ответ: за 3 хода
5)В стране есть 20 прямых автотрасс. Любые две автотрассы пересекаются, и на их пересечении расположен город. Через город A проходит семь из этих автотрасс, через город B — четыре, через город C — три, а через каждый из оставшихся городов — по две. Сколько городов в этой стране?
Ответ: 163 города
6)Биссектрисы углов B и D вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются на его диагонали AC. На прямой DA отметили точку E такую, что вершина A является серединой отрезка DE. Докажите, что описанная окружность треугольника DBE касается прямой DC.
ВОШ 2020 муниципальный этап по математике 11 класс задания и ответы с олимпиады:
1)Некто выложил по кругу 2019 карточек. Известно, что среди любых трёх подряд идущих карточек есть по меньшей мере две желтые, а среди любых пяти подряд идущих карточек есть по меньшей мере одна красная. Может ли среди этих карточек присутствовать зелёная?
Ответ: нет, не может
2)Докажите, что при всех значениях параметра a расстояние между корнями квадратного уравнения x 2 + (2a + 1)x + (a 2 + a) = 0 одно и то же
Ответ: Тогда по теореме Виета его корнями являются числа −a и −(a + 1), расстояние между которыми равно 1 при всех значениях a.
3)В Учёном Совете состоит 19 профессоров. Однажды каждый из них написал письма 9 членам совета. После этого оказалось, что каждый получил ровно 9 таких писем. Могло ли оказаться, что никакие два учёных не написали друг другу?
Ответ: да, могло
4)Натуральное число называется свободным от кубов, если ни один из его делителей не является кубом натурального числа, большего единицы. Оля написала на доске 7000 свободных от кубов чисел. Докажите, что по меньшей мере одно из этих чисел имеет простой делитель, больший 20.
5)Внутри треугольника ABC отметили точку P. Луч BP пересекает описанную окружность треугольника в точке R, а луч CP — в точке Q. На стороне AC отметили точку N так, что ∠CP N = ∠BAQ. Докажите, что ∠CRN = ∠BAP.
6)Средним геометрическим n натуральных чисел a1, a2, . . . , an называется величина √n a1 · a2 · . . . · an. При каком наибольшем натуральном n среднее геометрическое n различных натуральных чисел, не превосходящих 10, может оказаться натуральным числом?
Ответ: n=4
Смотрите другие предметы муниципального этапа 2020:
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 муниципальный этап задания и ответы