Автор Заключительный этап 2022 по математике всероссийская олимпиада школьников ВСОШ задания и ответы для 9, 10, 11 класса, олимпиада проходила с 17 по 23 апреля 2022 года.
Опубликованы задания и ответы первого и второго тура заключительного этапа 2022 Всероссийской олимпиады школьников по математике. Состязание проходило 18 и 19 апреля и включало по четыре задачи для каждой параллели. На их решение отводилось пять часов. По итогам обоих соревнований жюри подведет итоги и объявит их 25 апреля.
Победители и призеры заключительного этапа 2022 могут поступить в любой вуз страны без вступительных экзаменов на направления подготовки, соответствующие профилю олимпиады.
Заключительный этап ВСОШ 2022 олимпиады по математике 9, 10, 11 класс задания и решения 1 дня:
2 день:
1)Назовем главными делителями составного числа n два наибольших его натуральных делителя, отличных от n. Составные натуральные числа a и b таковы, что главные делители числа a совпадают с главными делителями числа b. Докажите, что a = b.
2)Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I, внешние биссектрисы его углов B и C пересекаются в точке J. Окружность ωb с центром в точке Ob проходит через точку B и касается прямой CI в точке I. Окружность ωc с центром в точке Oc проходит через точку C и касается прямой BI в точке I. Отрезки ObOc и IJ пересекаются в точке K. Найдите отношение IK/KJ.
3)В классе 18 детей. Родители решили подарить детям из этого класса торт. Для этого они сначала узнали у каждого ребенка площадь куска, который он хочет получить. После этого они заказали торт квадратной формы, площадь которого в точности равна сумме 18 названных чисел. Однако, увидев торт, дети захотели, чтобы их куски тоже были квадратными. Родители могут резать торт разрезами, параллельными сторонам торта (разрезы не обязаны начинаться или оканчиваться на стороне торта). Для какого наибольшего k родители гарантированно могут вырезать из заказанного торта k квадратных кусков, которые можно выдать k детям, чтобы каждый из них получил желаемое?
4)Дано натуральное число n > 4. На плоскости отмечены n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Василий проводит по одному все отрезки, соединяющие пары отмеченных точек. На каждом шаге, проводя очередной отрезок S, Василий помечает его наименьшим натуральным числом, которым еще не помечен ни один отрезок, имеющий с S общий конец. Для какого наибольшего k Василий может действовать так, чтобы пометить какой-то отрезок числом k?
5)В стране 998 городов. Некоторые пары городов соединены двусторонними авиарейсами. Согласно закону, между любой парой городов должно быть не больше одного рейса. Другой закон требует, чтобы для любой группы городов было не больше 5k + 10 рейсов, соединяющих два города этой группы, где k — количество городов в группе. В настоящий момент законы соблюдены. Докажите, что министерство развития может ввести несколько новых рейсов так, чтобы законы по-прежнему соблюдались, а общее количество рейсов в стране стало равным 5 000.
6)В треугольник ABC вписана окружность ω, касающаяся стороны BC в точке K. Окружность ω 0 симметрична окружности ω относительно точки A. Точка A0 выбрана так, что отрезки BA0 и CA0 касаются ω 0 . Пусть M — середина стороны BC. Докажите, что прямая AM делит отрезок KA0 пополам.
7)На доске написаны 11 целых чисел (не обязательно различных). Может ли оказаться, что произведение любых пяти из них больше, чем произведение остальных шести?
8)Для натурального числа N рассмотрим все различные точные квадраты, которые можно получить из N вычеркиванием одной цифры в его десятичной записи. Докажите, что количество этих квадратов не превосходит некоторой величины, не зависящей от N.
Смотрите также на нашем сайте:
- Муниципальный этап 2021 олимпиады по математике задания и ответы
- Региональный этап 2022 олимпиады по математике задания и ответы