Автор Олимпиада школьников по математике на Кубок имени Ю.А. Гагарина проводится в Республике Башкортостан с 2011-2012 учебного года при поддержке Государственной корпорации «Роскосмос», ФГБУ «Центр подготовки космонавтов имени Ю.А. Гагарина», Федерации космонавтики России, ведущих вузов РБ и РФ, предприятий оборонно-промышленного комплекса и машиностроения, государственных органов законодательной и исполнительной власти Республики Башкортостан.
На сегодняшний день Гагаринская олимпиада стала самой популярной среди всех олимпиад и конкурсов, проводимых в республике. Количество её участников увеличилось от 7 500 обучающихся в 2011-2012 учебном году до 120 000 обучающихся в 2016-2017 учебном году. В проекте приняли участие школьники из 788 образовательных организаций 40 муниципальных районов и городских округов Республики Башкортостан.
Sbornik_olimpiadnykh_zadaniy_5-8_kubokОлимпиада проводится для обучающихся 1-8 классов образовательных организаций по следующим дисциплинам: математика, физика, информатика, русский язык, литература, окружающий мир, биология, история, обществознание, география, иностранные языки, физическая культура и музыка.
В данном сборнике представлены олимпиадные задания по математике для 5-8 классов, предлагавшиеся участникам на школьном (ШЭ), муниципальном (МЭ) и республиканском (РЭ) этапах Олимпиады в 2015-2016 и 2016-2017 учебных годах, а также ответы к ним. Перед каждым комплектом заданий представлена статистика их выполнения со средними баллами, полученными участниками, а также максимально возможное количество баллов за задание (номера заданий показаны в ячейках верхней строки таблицы, баллы – в нижней строке таблицы).
Задания и ответы
1. Солнце вращается вокруг своей оси столько суток, сколько будет четверть от сотни, а Юпитер – столько часов, сколько составляет самое маленькое двузначное число. Какую часть составляет время вращения Юпитера от времени вращения Солнца?
2. Куб с ребром 20 см разрезан на кубики с ребром 2 см. Затем все эти кубики уложили в один сплошной ряд. Чему равна длина этого ряда?
3. Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 163, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько страниц выпало из книги?
4. – Который теперь час? – спросил Миша у отца. – А вот сосчитай: до конца суток осталось вдвое меньше того времени, которое прошло от их начала. Который час был тогда?
5. Таракан Джон объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Джон всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в «нормальных» м/мин) бегает таракан Джон?
6. В классе 17 пловцов, 8 борцов и 13 шахматистов. Известно, что каждый спортсмен занимается двумя видами спорта. Сколько в классе спортсменов?
7. Если 1/5 пчелиного роя полетела на цветы ладамбы, 1/3 – на цветы слэндбары, утроенная разность этих чисел полетела на дерево, а одна пчела продолжала летать между ароматными кетаки и малати, то сколько всего было пчел?
8. Андрей идет от дома до школы 20 минут. Однажды по дороге в школу он вспомнил, что забыл дома карандаш. Если он вернется за карандашом, то опоздает к звонку на 8 минут, а если продолжит путь, то придет в школу за 10 минут до звонка. Какую часть пути от дома до школы прошел Андрей к моменту, когда вспомнил о карандаше?
9. Раньше число, равное миллиону миллионов, называли словом «легион». Если разделить миллион легионов на легион миллионов, то получится: А) легион В) миллион миллионов Д) один Б) миллион Г) легион легионов.
10. Восстанови зашифрованные цифры (разные буквы соответствуют разным цифрам, а одинаковые – одинаковым): СИНИЦА + СИНИЦА = ПТИЧКИ.
11. За книгу заплатили 160 рублей и еще треть ее стоимости. Сколько стоит книга?
12. В зоомагазине продают канареек и попугаев. Канарейка стоит в два раза дороже попугая. Школьники, зашедшие в магазин, купили для живого уголка 5 канареек и 3 попугая. Если бы они купили 3 канарейки и 5 попугаев, то потратили бы на 200 рублей меньше. Сколько стоит каждая птица?
1. Между девятью планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий, Плутон – Венера, Земля – Плутон, Плутон – Меркурий, Меркурий – Венера, Уран – Нептун, Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпитер, Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?
2. Какие две цифры нужно приписать к числу 2016 справа, чтобы полученное шестизначное число делилось на 53 без остатка?
3. У каждого марсианина по 3 руки. Могут ли 15 марсиан взяться рука за руку так, что не останется свободных рук?
4. В некоторой семье отцу 42 года, а сыну – 14 лет. Через сколько лет сын будет в два раза младше отца?
5. В записи числа 52605308 зачеркните пять цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим из возможных. Запишите получившееся число.
6. Время полёта с Земли на Марс выражается числом земных суток, делящимся без остатка на числа 2, 3, 5, 6, 7 и 10. Найдите это число, если известно, что полёт длится менее года.
7. Чему равна сумма всех цифр всех чисел от 10 до 50 включительно?
8. Космический крейсер преодолевает расстояние от планеты A до планеты B за 10 суток. На сколько процентов нужно увеличить среднюю скорость крейсера, чтобы добраться от A до B за 8 суток?
9. Найдите три натуральных числа, сумма которых совпадает с их произведением.
10. В строительном магазине продаются болты и гайки в пачках: болты по 12 штук в пачке, гайки по 15 штук. Какое наименьшее количество упаковок с болтами и гайками в сумме необходимо купить, чтобы болтов и гаек оказалось в итоге поровну?
11. Можно ли разменять 50-рублевую купюру 13 монетами достоинства 1, 2, 5 и 10 рублей? В ответе указать – можно или нельзя. В случае, если можно, написать сколько каких монет.
12. Какое наибольшее количество прямоугольников можно выделить на рисунке? Ответ обосновать.
1. Впервые выход в открытый космос был осуществлён космонавтом Алексеем Леоновым во время полёта корабля «Восход-2» (18-19 марта 1965 года). Время выхода в открытый космос составило 12 минут. Светлана Савицкая – первая женщина космонавт, вышедшая в открытый космос (17-29 июля 1984 года). Время пребывания в открытом космосе составило 3 часа 20 минут. Сколько процентов составляет отношение времени пребывания Леонова ко времени Савицкой?
2. На какое наибольшее число частей можно разрезать круглый торт пятью прямолинейными разрезами?
4. Масса 10 ящиков болтов и 7 ящиков гвоздей – 366 кг, а 5 ящиков шурупов и 3 ящика навесов – 262 кг. Определите массу одного ящика гвоздей, шурупов, болтов и навесов, если известно, что ящик с гвоздями в три раза легче ящика с навесами, а с болтами – на 4 кг тяжелее, чем с шурупами.
5. Найти все такие пары натуральных чисел, сумма которых больше их произведения.
6. Велосипедист должен попасть в место назначения к определенному сроку. Известно, что если он поедет со скоростью 15 км/ч, то приедет на час раньше, а если скорость будет 10 км/ч, то опоздает на один час. С какой скоростью должен ехать велосипедист, чтобы приехать вовремя?
7. Гравировщик делает таблички с буквами. Одинаковые буквы он гравирует за одинаковое время, разные — возможно, за разное. На две таблички «ДОМ МОДЫ» и «ВХОД» вместе он потратил 50 минут, а одну табличку «В ДЫМОХОД» сделал за 35 минут. За какое время он сделает табличку «ВЫХОД»?
8. Найдите значение дроби В·А·Р·Е·Н·Ь·Е / К·А·Р·Л·С·О·Н, где разные буквы – это разные цифры, одинаковые буквы – одинаковые цифры, а между буквами стоит знак умножения.
9. x, y, k — три различные цифры. Если сложить все шесть трехзначных чисел, которые можно записать с их помощью, не повторяя одну и ту же цифру в числе дважды, то получим 5328. Найти эти цифры.
10. На некотором острове необычайно регулярный климат: по понедельникам и средам всегда идут дожди, по субботам – туман, зато в остальные дни – солнечно. Утром какого дня недели нужно начать свой отдых группе туристов, если они хотят пробыть там 44 дня и захватить при этом как можно больше солнечных дней?
2. В магазине куплено 4 разных фрукта. Все фрукты без апельсина стоят 42 рубля, без банана – 40 рублей, без грейпфрута – 38 рублей, а без яблока – 36 рублей. Сколько стоит каждый фрукт?
3. Составьте прямоугольник из набора двух типов одинаковых фигур, показанных на рисунке (дополнительно разрезать фигуры нельзя, поворачивать можно).
4. Какая фраза на русском языке зашифрована в числе 122121612041411810151, если каждая буква заменена ее номером в алфавите и пробелу соответствует число 0?
5. В межгалактический земной зоопарк прибыли загадочные животные: пятиногие шестихвосты и четвероногие семиглазы. Сколько каких животных прибыло в зоопарк, если известно, что у шестихвостов по два глаза на каждом хвосте, а всего ног и глаз у всех особей соответственно 35 и 71?
6. Транспортировка космического корабля для запуска от ангара к стартовой площадке происходит по рельсам (пара рельс). Специальные типы рельсов изготавливаются под заказ только с длинами 7 и 12 метров, и делить их на части нельзя. Сколько разных решений (комплектов рельс двух типов) имеется для задачи составления пути длиной в 100 метров?
7. Сказал Кощей Ивану-царевичу: «Жить тебе осталось до завтрашнего утра. Утром явишься перед мои очи, задумаю тебе три цифры: a, b и c. Скажешь мне три числа: x, y и z. Выслушаю я тебя и скажу, чему будет равно выражение a∙x + b∙y + c∙z. Тогда должен ты отгадать, какие a, b и c я задумал. Не отгадаешь – голову с плеч долой». Опечалился Иван, пошел думу думать. Как бы помочь Ивану?
8. Как только с помощью двух ёмкостей – в 3 и 5 литров можно отмерить 4 литра воды из большой ёмкости, если воду нельзя выливать куда-либо помимо данных трех ёмкостей. Решение обоснуйте.
9. Дана таблица размера 3×4. Можно ли расставить числа 1 и -1 во все клетки таблицы так, чтобы все семь сумм (суммы чисел по столбцам и строкам) были различны? Ответ обоснуйте.
10. Между планетами и спутниками Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам (только в одном направлении): Земля – Луна, Венера – Марс, Земля – Марс, Уран – Луна, Земля – Уран, Марс – Уран, Луна – Венера и Марс – Земля. Сколькими разными способами можно добраться с Земли до Марса (дважды посещать планеты и спутники запрещено)? Ответ обоснуйте.
1. Из Сочи в Звездный городок везли 10 т персиков, которые содержат 99% воды. По дороге они усохли и стали содержать 98% воды. Сколько тонн персиков привезли в Звездный городок?
2. Как разложить по семи кошелькам 127 рублевых монет так, чтобы любую сумму от 1 до 127 рублей можно было бы выдать, не открывая кошельков?
3. Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике 201×16? 4. Для нумерации страниц книги потребовалось всего 2016 цифр. Сколько страниц в этой книге, если номера начинают печатать с первой страницы?
5. После семи стирок остаток от «Космического порошка» поместился в коробочку длина, ширина и высота которой уменьшилась вдвое относительно исходных размеров «Космического порошка». На сколько стирок хватит оставшегося порошка?
6. На каждом километре между поселками Гагарино и Титово стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до Гагарино, на другой – расстояние до Титово. Останавливаясь у каждого столба, Валя заметила, что если сложить все цифры, записанные на обеих сторонах таблички, то получится 13. Найдите расстояние между поселками.
7. Переложите пирамиду из 10 кубиков (см. рисунок) так, чтобы её форма осталась прежней, но каждый кубик соприкасался только с новыми кубиками.
8. Чтобы сжить с белого света Змея Горыныча, которому исполнилось 40 лет, Кощей Бессмертный придумал приучить его к курению. Кощей Бессмертный подсчитал, что если Змей Горыныч каждый день в течение года будет выкуривать по 17 сигарет, то он умрет через 5 лет, если же он будет выкуривать по 16 сигарет, то умрет через 10 лет. Сколько лет проживет Змей Горыныч, если он не будет курить?
1. Для вывода космического корабля на околоземную орбиту требуется достичь первой космической скорости (около 8 км/с). Планируется последовательное использование трех ступеней (систем двигателей) корабля: первая ступень работает 1 минуту и увеличивает скорость в среднем на 5 м за каждую секунду работы, вторая ступень работает 4 минуты и разгоняет на 10 м за секунду, третья ступень – 4 минуты и на 20 м в секунду. Достигнет ли корабль первой космической скорости за первые 10 минут полета? Ответ обоснуйте.
2. Один странный мальчик по средам и четвергам говорит только правду, по понедельникам всегда лжет, а в остальные дни недели может и соврать, и сказать правду. Шесть дней подряд его спрашивали, как его зовут, и получили такие ответы: Антон, Борис, Антон, Борис, Петя, Борис. Как он ответит на этот вопрос на следующий день? Ответ обоснуйте.
3. 12 апреля 2017 года исполнилось 56 лет со дня полета первого космонавта Юрия Гагарина в космос. Найдите сумму всех цифр у всех целых чисел от 1961 до 2017 включительно. Ответ обоснуйте.
4. В 15-этажном доме имеется лифт с двумя кнопками: «+7» и «–9» (первая поднимает лифт на 7 этажей, вторая опускает на 9). Можно ли проехать с 3-го этажа на 12-й? Ответ обоснуйте.
5. Царь Кощей подобрел и решил потратить 50 золотых монет на подарки детям. В сундуке у него хранится 5 ларцов, в каждом ларце по 3 шкатулки, а в каждой шкатулке по 10 золотых монет. Сундук, ларцы и шкатулки заперты на замки. Какое наименьшее число замков потребуется открыть Кощею, чтобы достать 50 монет? Ответ обоснуйте.
6. Сколько трехзначных чисел имеют ровно две различные цифры? Ответ обоснуйте. 7. Квадрат с 3×3 ячейками содержит целые числа от 1 до 9. Переставьте числа в ячейках так, чтобы суммы чисел в любой горизонтали, вертикали и диагонали были бы одинаковы.
8. Яблоко и апельсин вместе весят столько же, сколько груша и персик. Яблоко вместе с грушей весят меньше, чем апельсин с персиком, а груша вместе с апельсином весят меньше, чем яблоко с персиком. Какой из фруктов самый тяжелый? Ответ обоснуйте.
1. Двенадцать космонавтов обменялись рукопожатием. Сколько было рукопожатий?
2. На сколько нулей оканчивается произведение 1234…37?
3. В некотором месяце понедельников больше, чем вторников, а воскресений больше, чем суббот. Какой день недели был пятого числа этого месяца?
4. Найдите трёхзначное число, равное кубу суммы его цифр.
5. Среднее арифметическое возрастов шести космонавтов равно 33. После того, как к ним добавился еще один, среднее арифметическое семи космонавтов стало равно 32. Каков возраст вновь прибывшего космонавта?
6. Один из пяти братьев – Андрей, Витя, Дима, Толя или Юра разбил окно. Андрей сказал: “Это сделал или Витя, или Толя”. Витя сказал: “Это сделал не я и не Юра”. Дима сказал: “Нет, один из них сказал правду, а другой – неправду”. Юра сказал: “Нет, Дима, ты не прав”. Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что не менее трех братьев сказали правду. Кто же из братьев разбил окно?
7. На каждом шаге к данному числу можно прибавить единицу или удвоить его. За какое наименьшее число шагов из числа 1 можно получить число 51?
8. На окраску деревянного кубика затратили 6 г краски. Когда она высохла, кубик распилили на 8 одинаковых кубиков меньшего размера. Сколько краски потребуется для того, чтобы закрасить образовавшиеся при этом неокрашенные поверхности?
9. Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?
10. В США дату принято записывать так: номер месяца, потом номер дня и год. В Европе же сначала идет число, потом месяц и год. Сколько в году дней, дату которых нельзя прочитать однозначно, не зная, каким способом она написана?
11. В магазин привезли меньше 500, но больше 400 тарелок. Когда стали раскладывать их десятками, то не хватило трёх тарелок до полного числа десятков, а когда стали раскладывать дюжинами, осталось 7 тарелок. Сколько было тарелок?
12. Собака погналась за лисицей, которая была в 30 метрах от неё. Скачок собаки равен 2 м, скачок лисицы – 1 м. В то время как собака делает 2 скачка, лисица делает 3 скачка. Какое расстояние должна пробежать собака, чтобы догнать лисицу?
Олимпиада по математике 4-11 класс ответы и задания школьного этапа
17-20 октября 2023 Олимпиада по математике 4-11 класс ответы и задания школьного этапа ВСОШ