Автор Задания, ответы, разбор заданий регионального этапа 2022-2023 олимпиады по математике для 9, 10 и 11 классов, всероссийская олимпиада школьников ВСОШ проходила 13-14 февраля 2023 года. Результаты будут опубликованы скоро.
Задания олимпиады
Ответы и решения олимпиады
Видео разбор решение заданий олимпиады
9 класс
9.1. Велодорожка состоит из двух участков: сначала идет асфальтовый, а затем песчаный. Петя и Вася стартовали порознь (сначала Петя, а затем Вася), и каждый проехал всю дорожку. Скорость каждого мальчика на каждом из двух участков была постоянной. Оказалось, что они поравнялись в середине асфальтового участка, а также в середине песчаного. Кто из мальчиков затратил на всю дорожку меньше времени?
9.2. Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны 5 см, 12 см и 13 см. Можно ли разрезать его на несколько (больше одного) многоугольников, у каждого из которых площадь (измеренная в см2 ) численно равна периметру (измеренному в см)?
9.3. Дано натуральное число n. На клетчатой доске 2n×2n расставили 2n ладей так, что никакие две не стоят в одной горизонтали или одной вертикали. После этого доску разрезали по линиям сетки на две связных части, симметричных друг другу относительно центра доски. Какое наибольшее количество ладей могло оказаться в одной из частей? (Клетчатая фигура называется связной, если по этой фигуре от любой ее клетки можно добраться до любой другой, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетку.)
9.4. Даны натуральные числа a, b и c. Ни одно из них не кратно другому. Известно, что число abc + 1 делится на ab − b + 1. Докажите, что c > b.
9.5. Четырехугольник ABCD вписан в окружность γ. Оказалось, что окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются друг друга внешним образом в точке S. Пусть точки M и N — середины отрезков AB и CD соответственно. Докажите, что перпендикуляр ` к прямой MN, восставленный в точке M, пересекает прямую CS в точке, лежащей на γ.
9.6. Для натурального числа n обозначим через Sn наименьшее общее кратное всех чисел 1, 2, …, n. Существует ли такое натуральное число m, что Sm+1 = 4Sm?
9.10. Куб 100 × 100 × 100 разбит на миллион единичных кубиков; в каждом кубике расположена лампочка. Три грани большого куба, имеющие общую вершину, окрашены: одна красным, другая синим, а третья зеленым. Назовем столбцом набор из 100 кубиков, образующих блок 1 × 1 × 100. У каждого из 30 000 столбцов есть одна окрашенная торцевая клетка; в этой клетке стоит переключатель — нажатие на этот переключатель меняет состояние всех 100 лампочек в столбце (выключенная лампочка включается, а включенная выключается). Изначально все лампочки были выключены. Петя нажал на несколько переключателей, получив ситуацию, в которой ровно k лампочек горят. Докажите, что после этого Вася может нажать на несколько переключателей так, чтобы ни одна лампочка не горела, использовав не более k/100 переключателей с красной грани.
10 класс
10.1. В таблице 6 × 6 изначально записаны нули. За одну операцию можно выбрать одну клетку и заменить число, стоящее в ней, на любое целое число. Можно ли за 8 операций получить таблицу, в которой все 12 сумм чисел в строках и столбцах будут различными положительными числами?
10.2. Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны 5 см, 12 см и 13 см. Можно ли разрезать его на несколько (больше одного) многоугольников, у каждого из которых площадь (измеренная в см2 ) численно равна периметру (измеренному в см)?
10.3. В городе N прошли 50 городских олимпиад по разным предметам, при этом в каждой из этих олимпиад участвовало ровно 30 школьников, но не было двух олимпиад с одним и тем же составом участников. Известно, что для любых 30 олимпиад найдется школьник, который участвовал во всех этих 30 олимпиадах. Докажите, что найдется школьник, который участвовал во всех 50 олимпиадах.
10.4. Даны натуральные a, b, c такие, что a > 1, b > c > 1, а число abc+ 1 делится на ab−b+ 1. Докажите, что b делится на a.
10.5. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BD и отмечена точка пересечения высот H. Серединный перпендикуляр к отрезку HD пересекает окружность, описанную около треугольника BCD, в точках P и Q. Докажите, что ∠AP B + ∠AQB = 180◦ .
10.6. Для натурального числа n обозначим через Sn наименьшее общее кратное всех чисел 1, 2, …,n . Существует ли такое натуральное число m, что Sm+1 = 4Sm?
10.7. Петя взял некоторые трехзначные натуральные числа a0 ,a1 , . .. ,a9 и написал на доске уравнение a9x 9 + a8x 8 + . . .+ a2x 2 + a1x + a0 = ∗. Докажите, что Вася сможет вместо звездочки написать некоторое 30-значное натуральное число так, чтобы получившееся уравнение имело целый корень.
10.8. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. На стороне AB выбрана точка L так, что AL = CK. Отрезки AK и CL пересекаются в точке M. На продолжении отрезка AD за точку D отмечена точка N. Известно, что четырехугольник ALMN — вписанный. Докажите, что ∠CNL = 90◦ .
10.9. Дано натуральное число k. Вдоль дороги стоят n столбов через равные промежутки. Миша покрасил их в k цветов и для каждой пары одноцветных столбов, между которыми нет других столбов того же цвета, вычислил расстояние между ними. Все эти расстояния оказались различны. При каком наибольшем n так могло оказаться?
11 класс
11.1. Можно ли число 2023 представить в виде суммы трех натуральных чисел a, b, c таких, что a делится на b + c и b + c делится на b − c + 1?
11.2. Даны различные вещественные числа a1 , a2 , a3 и b. Оказалось, что уравнение (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ) = b имеет три различных вещественных корня c1 , c2 , c3 . Найдите корни уравнения (x + c1 )(x + c2 )(x + c3 ) = b.
11.3. В городе N прошли 50 городских олимпиад по разным предметам, при этом в каждой из этих олимпиад участвовало ровно 30 школьников, но не было двух олимпиад с одним и тем же составом участников. Известно, что для любых 30 олимпиад найдется школьник, который участвовал во всех этих 30 олимпиадах. Докажите, что найдется школьник, который участвовал во всех 50 олимпиадах.
11.4. На доску записывают пары чисел. Сначала на доску записали пару чисел (1, 2). Если на доске написана пара чисел (a, b), то на доску можно дописать пару (−a, −b), а также пару (−b, a + b). Кроме того, если на доске написаны пары чисел (a, b) и (c, d), то на доску можно дописать пару (a + c, b + d). Могла ли через некоторое время на доске оказаться пара (2022, 2023)? Порядок чисел в паре существенен, например, пары чисел (1, 2) и (2, 1) считаются различными.
11.5. В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведена высота AH, медиана AM, а также отмечен центр O его описанной окружности ω. Отрезки OH и AM пересекаются в точке D, прямые AB и CD — в точке E, прямые BD и AC — в точке F. Лучи EH и F H пересекают окружность ω в точках X и Y . Докажите, что прямые BY , CX и AH пересекаются в одной точке.
11.6. Для натурального числа n обозначим через Sn наименьшее общее кратное всех чисел 1, 2,. . ., n. Существует ли такое натуральное число m, что Sm+1 = 4Sm?
11.7. Назовем два числа почти равными, если они равны или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Верно ли, что из любого прямоугольника с натуральными сторонами можно вырезать какой-нибудь прямоугольник с натуральными сторонами, площадь которого почти равна половине площади исходного прямоугольника? Стороны вырезаемого прямоугольника не обязательно параллельны сторонам исходного прямоугольника.
11.8. Точка O — центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. На биссектрисе угла ABC внутри треугольника ABC отмечена точка D, а на отрезке BD — точка E так, что AE = BE и BD = CD. Точки P и Q — центры окружностей, описанных около треугольников AOE и COD соответственно. Докажите, что точки A, C, P и Q лежат на одной прямой или на одной окружности.
11.10. В стране 2n городов (n — натуральное), некоторые из них соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями. Из любого города можно попасть в любой другой, возможно, с пересадками. Президент хочет разделить страну на две области и включить каждый город в одну из двух областей. При этом авиалинии разделятся на k межобластных и m внутриобластных. Докажите, что президент может добиться того, чтобы выполнялось неравенство k − m > n.
Посмотреть задания и ответы заключительного этапа ВСОШ
Заключительный этап 2022 по математике задания и ответы олимпиады для 9 10 11 класса