Автор Региональный этап 2026 всероссийской олимпиады школьников по математике имени Эйлера задания, ответы и решения для 8 класса. Данная олимпиада прошла у школьников 2-3 февраля 2026 года всего в олимпиаде нужно было решить 10 задач.
Олимпиада предназначена для российских восьмиклассников и призвана по возможности восполнить отсутствующие для них региональный и заключительный этапы Всероссийской математической олимпиады. В ней могут участвовать и ученики более младших классов, а также школьники соответствующих классов из тех зарубежных стран.
Олимпиада Эйлера по математике 8 класс региональный этап 2026
eiler-olimpiada-mat-8-klass-20261. В каждом столбце таблицы 1010 записаны сверху вниз в порядке возрастания степени двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. Как пройти из какой-либо клетки верхней строки таблицы в какую-либо клетку нижней, сдвигаясь на каждом ходу на клетку вправо или на клетку вниз, чтобы сумма чисел во всех пройденных клетках равнялась 2026? Достаточно найти один пример.
Решение. Возможный путь показан на рисунке крупными жирными цифрами. Его поиски облегчаются, если предварительно представить число 2026 в виде суммы степеней двойки: 2026 = 2+8+32+64+128+256+512+1024.
2. Числа a, b, c таковы, что a 2+b 2 > (a+b) 2 и b 2+c 2 > (b+c) 2 . Что больше: a 4+c 4 или (a+c) 4 ?
3. В треугольнике ABC точка K — середина биссектрисы BL. Известно, что AK = AL и AK ⊥ BC. Найдите величину угла ABC.
4. В электронную таблицу, где две строки и n столбцов, в произвольном порядке записаны все натуральные числа от 1 до 2n (в каждой клетке — одно число). В полдень каждого дня компьютер случайным образом выбирает столбец, где число из верхней строки больше числа из нижней, и меняет эти два числа местами, а затем случайным образом переставляет числа в верхней строке. В момент, когда в каждом столбце верхнее число оказывается меньше нижнего, процесс заканчивается. Докажите, что такой процесс не может происходить дольше, чем n 2 дней.
5. Существует ли такое натуральное число n, что для каких-то трёх его делителей a, b, c, больших, чем 1, произведение (a–1)(b–1)(c–1) делится на n 2 ?
6. Как разрезать квадрат на 12 треугольников, площади которых относятся как 1 : 2 : 3 :…: 11 : 12?
7. У Васи есть банки с синей, жёлтой и зелёной красками. Он хочет покрасить каждое натуральное число от 100 до 1 000 000 включительно одной из этих красок так, чтобы каждые три попарно взаимно простых числа были одного цвета. Докажите, что Васе придётся покрасить все числа одним цветом. Напомним, что три числа попарно взаимно просты, если у каждых двух из них наибольший общий делитель равен 1.
8. На рисунке изображён автодром; точки — это перекрёстки, отрезки — дороги. Каждый отрезок между соседними точками машина проезжает ровно за минуту. Приехав на перекрёсток, машина немедленно уезжает с него по любой дороге, кроме той, по которой она приехала. Сначала несколько машин расположены на перекрёстках, затем они одновременно начинают двигаться по указанным правилам. При каком наибольшем количестве машин может случиться, что они смогут неограниченно долго ездить, никогда не встречаясь (ни на перекрёстках, ни на дорогах)?
9. Для каких натуральных n найдутся такие целые числа a, b, c, d, большие, чем 102026, что a 2+b 2 = c 2+d 2 и a+b–c–d = n?
10. Дан треугольник ABC, в котором ∠B = 60°. На продолжении стороны AB за точку B отмечена точка D, а на стороне BC — точка E, причем AD = CE. На продолжении отрезка AE за точку E нашлась такая точка F, что AC = CF и DE = EF. Найдите величины углов треугольника DEF (укажите все возможные варианты).
Смотрите на сайте задания олимпиады прошлого года
Олимпиада Эйлера региональный этап 2025 по математике 8 класс задания и ответы