олимпиада курчатов задания ответы

Олимпиада Курчатов 2023-2024 по математике 6-11 класс задания и ответы

Автор

Олимпиада Курчатов 2024 по математике задания и ответы для 6,7,8,9,10,11 класса отборочный (заочный) и заключительный этап 2024, официальная дата проведения заочного тура олимпиады с 31 января по 14 февраля 2024 года. Финальный этап: 7 апреля 2024 года.

→ Задания и ответы отборочного этапа: скачать

→ Задания и ответы заключительного этапа: скачать

Доступ к заданиям открывается на 24 часа с момента показа заданий участнику. На финальный этап по соответствующему предмету приглашаются призеры отбора этого сезона, набравшие необходимое количество баллов, дипломанты финала прошлого года. Олимпиада входит в Перечень Минобрнауки России и имеет статус олимпиады I уровня по математике и I уровня по физике. Победители и призеры финального этапа олимпиады получат льготы при поступлении в ведущие российские вузы: от 100 баллов за ЕГЭ по математике и/или физике до зачисления без вступительных испытаний.

Задания и ответы отборочного этапа 6-11 класса олимпиады Курчатов

kurch_olimp_online_2024

Задания и ответы заключительного этапа

zakl-mat-kurchatov-2024

Задача 1

У Пети есть 27 белых деревянных кубиков. Он сложил из них куб 3 × 3 × 3 и покрасил жёлтой краской все его грани. После высыхания краски он снова разобрал куб и заметил, что краска затекала в стыки между кубиками, в результате чего были испачканы ещё некоторые грани маленьких кубиков. А именно, если Петя окрашивал грани двух соседних кубиков, то оказывались в краске ещё и грани этих кубиков, которыми они соприкасались, и только они. На рисунке показан пример того, как если бы Петя взял только два кубика, сложил бы их в брусочек 2×1×1 и окрасил только одну его грань, в результате чего у этих двух кубиков суммарно оказалось бы 4 грани в краске, а 8 их граней остались бы белыми.

Вариант 1. Сколько всего граней у 27 кубиков остались белыми? Вариант 2. На скольких гранях есть краска? Решение. Рассмотрим куб 3 × 3 × 3 до того, как Петя начал его раскрашивать, и понаблюдаем за процессом покраски. Пронумеруем грани большого куба от 1 до 6. Пусть Петя покрасил грань большого куба с номером 1. Разложим теперь куб на три слоя 3×1×1, так, что верхний слой целиком содержит покрашенную грань куба (см. рисунок).

Так как пока окрашена только одна грань куба, которая целиком содержится в верхнем слое, то на среднем и нижнем слоях ни одна из граней маленьких кубиков не окрашена даже в результате затекания краски. Будем наблюдать только за выделенным верхним слоем этого куба. Назовем его слоем, соответствующим грани с номером 1. На рисунке ниже изображен этот слой куба после окрашивания грани 1. Для удобства будем отмечать цветом только те грани, которые оказались жёлтыми исключительно в результате затекания краски.

Задача 2.1

Учительница дала Диме задание найти простые делители четырёхзначного числа abcd. В какой-то момент у Димы в тетради была сделана запись как на картинке (разными буквами обозначены разные цифры, а делители за чертой справа написаны необязательно в порядке убывания). По этой записи восстановите число abcd.

Задача 2.2

Учительница дала Диме задание найти простые делители четырёхзначного числа abcd. В какой-то момент у Димы в тетради была сделана запись как на картинке (разными буквами обозначены разные цифры, а делители за чертой справа написаны необязательно в порядке убывания). По этой записи восстановите число abcd.

Задача 3.1

Машины А и Б одновременно выехали из одного города в одну сторону по дороге, а машина В выехала из того же города, но позже на полчаса. Машина В догнала машину А через 4 часа после своего выезда. При этом через 6 часов после выезда машины В расстояние между В и Б только увеличилось в 4 раза по сравнению с моментом выезда В. Во сколько раз скорость машины Б больше скорости машины А (все машины ехали с фиксированными скоростями)?

Задача 3.2

Машины А и Б одновременно выехали из одного города в одну сторону по дороге, а машина В выехала из того же города, но позже на полчаса. Машина В догнала машину А через 5 часов после своего выезда. При этом через 7 часов после выезда машины В расстояние между В и Б только увеличилось в 4 раза по сравнению с моментом выезда В. Во сколько раз скорость машины Б больше скорости машины А (все машины ехали с фиксированными скоростями)?

Задача 4.1

Сколько существует различных несамопересекающихся путей из точки A в точку B?

Задача 5

На рисунке показаны примеры того, как можно расставить числа от 1 до 6 в треугольник так, что каждое из чисел написано ровно один раз, а разность любых двух чисел по горизонтали находится точно под ними. Вася аналогичным образом решил расставлять числа от 1 до 10. Какое наибольшее число у него могло получиться в нижнем кружочке?

Задача 6.1

Гриша и Паша играют в игру. Гриша загадывает натуральное число от 1 до 15. Своим ходом Паша называет любое число. Если оно совпадает с числом Гриши, то Паша победил. Если же нет, то Гриша прибавляет к своему числу 333. За какое наименьшее число вопросов Паша может гарантированно победить?

Задача 6.2

Гриша и Паша играют в игру. Гриша загадывает натуральное число от 1 до 23. Своим ходом Паша называет любое число. Если оно совпадает с числом Гриши, то Паша победил. Если же нет, то Гриша прибавляет к своему числу 137. За какое наименьшее число вопросов Паша может гарантированно победить?

Задача 6.3

Гриша и Паша играют в игру. Гриша загадывает натуральное число от 1 до 17. Своим ходом Паша называет любое число. Если оно совпадает с числом Гриши, то Паша победил. Если же нет, то Гриша прибавляет к своему числу 176. За какое наименьшее число вопросов Паша может гарантированно победить?

Задача 7

Точки А и Б являются противоположными вершинами прямоугольника 3×4 на бесконечной клетчатой плоскости, где длина стороны клеток равна 1. Улитка ползёт по линиям сетки из точки А в точку Б, при этом поворачивать она может только в узлах сетки. Сколько существует способов построить маршрут улитки длины 9?

Задача 8

Учительница написала на доске число. Вася разделил его на 15, а Петя – на 35. Аня заметила, что у Васи получился куб некоторого натурального числа, а у Пети – пятая степень некоторого натурального числа. Напишите наименьшее такое число, куб которого мог получиться у Васи.

Задача 9

В треугольнике ABC с целочисленными сторонами AC = 2024. Биссектриса ∠BAC пересекает сторону BC в точке D. Оказалось, что AB = CD. Найдите длину стороны BC.

Задача 10

Заяц поставил фишку на какую-то клетку доски 11 × 11. За один ход Заяц передвигает фишку на соседнюю по стороне клетку, но при этом нельзя делать два одинаковых хода подряд (например, нельзя двигать вправо 2 раза подряд). Какое наибольшее количество клеток Заяц может посетить такими ходами, если нельзя наступать на одну клетку дважды?

Задача 11

В треугольнике ABC: AB = 13, BC = 14, AC = 15. Пусть точки D, E и F – середины сторон AB, BC и CA соответственно. Точка X ̸= E – пересечение окружностей, описанных вокруг △BDE и △CEF. Чему равна сумма XA + XB + XC?

Задача 12

200 учеников писали тест из 11 задач. Каждая задача была верно решена хотя бы 91 участником. При каком наибольшем k можно гарантировать, что найдётся ученик, который верно решил хотя бы k задач?

Задача 13

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение x y = 22 2 2 2 ?

Задача 14

По шоссе едет легковой автомобиль со скоростью x км/ч. На расстоянии 100 метров перед ним едет грузовой автомобиль со скоростью 60 км/ч. Легковой автомобиль собирается совершить обгон в момент, когда по встречной полосе на расстоянии 1 км от него едет мотоциклист со скоростью 120 км ч. С какой наименьшей скоростью x, где x – целое число, нужно ехать легковому автомобилю, чтобы безопасно совершить обгон грузового автомобиля, если для этого необходимо на момент завершения манёвра находиться не менее чем в 60 метрах от грузового автомобиля и не менее чем в 120 метрах от мотоциклиста?

Задача 15

Сколько существует способов выбрать два различных натуральных делителя числа 2500000 так, чтобы их сумма была кратна трём?

Задача 16

На параболе y = x 2 отмечены точки O(1, 1) и B(17, 289). Найдите абсциссу такой точки A на этой параболе, что сумма обозначенных на рисунке площадей наименьшая.

Задача 17

Фигура «крот» бьёт все клетки ровно через одну по горизонтали или вертикали (см. рисунок). Какое наибольшее число кротов можно расставить на доске 16× 16 так, чтобы они не били друг друга?

Задача 6.1

Разрежьте фигуру на клетчатой бумаге, изображённую на рисунке, на две части, одинаковые по площади и по форме.

Задача 6.2

Винни-Пух нашёл бочонок мёда и начал его есть. Через 10 минут к нему присоединился Пятачок. Когда они опустошили бочонок, оказалось, что Пятачку досталась пятая часть того, что было в бочонке изначально. Если Пятачок присоединился бы к Винни-Пуху сразу, то в итоге Пятачку досталась бы треть от того, что было в бочонке. За какое время Винни-Пух опустошил бы бочонок в одиночку? (И Винни-Пух, и Пятачок едят мёд с постоянной скоростью.)

Задача 6.3

На столе в ряд лежали внешне неразличимые монеты весом 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 граммов (именно в таком порядке). Кто-то поменял местами две лежащие рядом монеты. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какие именно монеты поменяли местами?

Задача 6.4

Костя склеил необычный игральный кубик, на каждой грани которого стоит целое число от 1 до 10, причём все числа различны. В каждой тройке граней с общим углом вычислили сумму чисел и выписали результат. Может ли так быть, что выписали все целые числа от 10 до 17?

Задача 6.5

В комнату с чистой доской зашли Аня и Боря. Каждый из них по очереди написал на доске отдельной строкой предложение: Аня: В этой строке не больше, чем … буквы. Боря: Если подсчитать все слова, написанные на этой доске, то всего получится … слов. К сожалению, в предложениях стёрлись слова, обозначающие числительные. Известно, что предложения были записаны по всем правилам русского языка, и что одно из предложений было ложным. Какое наименьшее числительное могло быть записано в предложении Ани?

Задача 7.1

Назовём натуральное число почти квадратом, если оно имеет вид a2 1 для некоторого натурального числа a > 1. Докажите, что существует бесконечно много пар почти квадратов, чьё произведение — тоже почти квадрат.

Задача 7.2

Две шестерёнки с 20 и 24 одинаковыми зубцами сцеплены между собой, а на шестерёнках нарисованы две стрелки (см. рис.). Малая шестерёнка поворачивается на один зубец по часовой стрелке каждую секунду (движение не плавное). Через какое время стрелки на шестерёнках впервые будут смотреть в одинаковом направлении, если в начальный момент времени они смотрят друг на друга?

Задача 7.3

За круглым столом должны собраться рыцари Круглого стола. Место каждого рыцаря было обозначено табличкой с его именем. Однако в спешке рыцари расселись как попало, в результате чего ни один из них не оказался на своём месте. Докажите, что все рыцари могут сдвинуться по кругу на некоторое количество мест так, чтобы как минимум двое оказались на своих местах.

Задача 7.4

В треугольнике ABC взяли точку M так, что CM = AB. Оказалось, что углы ACM и CAM соответственно равны 10 и 50, а угол BCM равен 40. Найдите угол BAM.

Задача 7.5

На рисунке изображена схема калькулятора и всех его кнопок (набор цифр, запятая-разделитель дробной части, 4 арифметических действия и вывод на экран). На экране выведено некоторое число от 8 000 до 12 000. Всегда ли можно за 5 нажатий кнопок калькулятора (последнее нажатие должно быть на кнопку вывода “=”) изменить число на экране так, чтобы оно отличалось от 10 000 менее, чем на 2%?

Смотрите также на сайте

Олимпиада Курчатов 2022 по математике 6-11 класс задания и ответы отборочный этап

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ