Автор Олимпиада по математике 9, 10, 11 класс ответы и задания для заключительного (финального) этапа 2023-2024 учебный год всероссийской олимпиады школьников ВСОШ. Публикация индивидуальных результатов участников регионального этапа ВсОШ осуществляется на 14-й календарный день со дня окончания соревновательных туров олимпиады по конкретному общеобразовательному предмету.
→ Критерии
Задания 1 тура заключительный этап 2024 по математике
mat-1tur-zadanie-otveti-zakl-2024Задания 2 тура
mat-2tur-zadanie-otveti-zakl-20249.1. Петя и Вася знают лишь натуральные числа, не превосходящие 109 − 4000. Петя считает хорошими числа, представимые в виде abc + ab + ac + bc, где a, b и c — натуральные числа, не меньшие 100. Вася считает хорошими числа, представимые в виде xyz − x − y − z, где x, y и z — натуральные числа, большие 100. Для кого из них хороших чисел больше?
9.2. У натурального числа ровно 50 делителей. Может ли оказаться, что никакая разность двух различных его делителей не делится на 100?
9.3. Двум мальчикам выдали по мешку картошки, в каждом мешке по 150 клубней. Ребята по очереди перекладывают картошку, каждый своим очередным ходом перекладывает ненулевое количество клубней из своего мешка в чужой. При этом они должны соблюдать условие новой возможности: на каждом ходе мальчик должен переложить больше клубней, чем у него было в мешке перед любым из его предыдущих ходов (если такие ходы были). Так, первым своим ходом мальчик может переложить любое ненулевое количество, а своим пятым ходом мальчик может переложить 200 клубней, если перед его первым, вторым, третьим и четв¨ертым ходами количества клубней в его мешке были меньше 200. Какое максимальное суммарное количество ходов могут совершить ребята?
9.4. Дан вписанный четырехугольник ABCD, в котором ∠A + + ∠D = 90◦ . Его диагонали пересекаются в точке E. Прямая пересекает отрезки AB, CD, AE и ED в точках X, Y , Z и T соответственно. Известно, что AZ = CE и BE = DT. Докажите, что длина отрезка XY равна диаметру окружности, описанной около треугольника ET Z.
10.1. Пусть p и q — различные простые числа. Дана бесконечная убывающая арифметическая прогрессия, в которой встречается каждое из чисел p 23 , p 24 , q 23 и q 24. Докажите, что в этой прогрессии обязательно встретятся числа p и q.
10.2. Дано нечетное число n > 3. В клетчатом квадрате 2n × 2n закрашивают 2(n − 1)2 клеток. Какое наибольшее количество трехклеточных уголков можно гарантированно вырезать из незакрашенной клетчатой фигуры?
10.3. Дано натуральное число n. Илья задумал пару различных многочленов степени n (с вещественными коэффициентами), аналогично Саша задумал пару различных многочленов степени n. Леня знает n; его цель — выяснить, одинаковые ли пары многочленов у Ильи и Саши. Леня выбирает набор из k вещественных чисел x1 < x2 < . . . < xk и сообщает эти числа. В ответ Илья заполняет таблицу 2×k: для каждого i = 1, 2, . . ., k он вписывает в две клетки i-го столбца пару чисел P(xi ), Q(xi ) (в любом из двух возможных порядков), где P и Q — задуманные им многочлены. Аналогичную таблицу заполняет Саша. При каком наименьшем k Леня сможет (глядя на таблицы) наверняка добиться цели?
10.4. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором ∠A + +∠D = 90◦ , его диагонали пересекаются в точке E. Прямая пересекает отрезки AB, CD, AE и ED в точках X, Y , Z и T соответственно. Известно, что AZ = CE и BE = DT. Докажите, что длина отрезка XY не больше диаметра описанной окружности треугольника ET Z.
11.1. В пространстве расположен бесконечный цилиндр (т.е. геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на данное расстояние R > 0). Могут ли шесть прямых, содержащих ребра некоторого тетраэдра, иметь ровно по одной общей точке с этим цилиндром?
11.3. Юрий подошел к великой таблице майя. В таблице 200 столбцов и 2 200 строк. Юрий знает, что в каждой клетке таблицы изображено солнце или луна, и любые две строки отличаются (хотя бы в одном столбце). Каждая клетка таблицы закрыта листом. Поднялся ветер и сдул некоторые листы: по два листа с каждой строки. Могло ли так случиться, что теперь Юрий хотя бы про 10 000 строк может узнать, что в них изображено в каждом из столбцов?
11.4. Четырехугольник ABCD, в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность ω. Через вершину A проведена прямая `a k BC, через вершину B — прямая `b k CD, через вершину C — прямая `c k DA, через вершину D — прямая `d k AB. Четырехугольник, последовательные стороны которого лежат на этих четырех прямых (именно в этом порядке), вписан в окружность γ. Окружности ω и γ пересекаются в точках E и F. Докажите, что прямые AC, BD и EF пересекаются в одной точке.
Смотрите также на сайте: