Автор Задания, ответы и решения заключительного этапа всероссийской олимпиады школьников «Высшая проба» по математике 7, 8, 9, 10, 11 класс официальные материалы прошлых лет для подготовки к олимпиаде. Победители и призёры получают льготы при поступлении в ВУЗЫ. Первый уровень в перечне олимпиад.
Генеральный партнер олимпиады — Сбербанк — приветствует участников! Сбер сегодня — это команда единомышленников, которые разрабатывают новые крутые технологии, чтобы сделать жизнь ярче и интереснее. Для нас твоё участие в состязаниях по профилю «Математика» означает, что ты не боишься принимать сложные вызовы, готов браться за сложные задачи и обладаешь великим даром доказательства недоказуемого :). Верим в тебя, искреннее желаем удачи на заключительном этапе!
Ответы и задания для 7 класса
7_klass-mat-proba-zakl-2024Ответы и задания для 8 класса
8_klass-mat-proba-zakl-20249 класс
9_klass-mat-proba-zakl-202410 класс
10_klass-mat-proba-zakl-202411 класс
11_klass-mat-proba-zakl-2024Задача 7.1. (15 баллов)
Разрежьте фигуру (см. рисунок справа) на три равные части по сторонам клеток. Части можно поворачивать и переворачивать.
Задача 7.2. (15 баллов)
Даны две одинаковые стопки из восьми карточек, на которых написаны числа 0, 1, 2, …, 7. Можно ли разложить эти карточки по кругу так, чтобы нули лежали рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, …, между карточками с числом 𝑘 лежало ровно 𝑘 карточек, …, между карточками с числом 7 лежало ровно 7 карточек?
Задача 7.3. (15 баллов)
Полина и Вика загадали два целых числа: 𝑎 и 𝑏, при этом оказалось, что 𝑎 > 𝑏. Полина нашла значение выражения 𝑎 3 − 𝑎 2 + 2024𝑎, а Вика нашла значение выражения 𝑏 3 − 𝑏 2 + 2024𝑏. Могло ли Полинино число оказаться меньше Викиного?
Задача 7.4. (15 баллов)
Дана таблица с 8 строками и 5 столбцами, Петя и Вася по очереди ставят в клетки таблицы крестики и нолики. За ход Петя ставит два крестика (или, если осталось одно незаполненное поле, то 1 крестик), а Вася ставит один нолик. Начинает Петя. Игра заканчивается, когда все клетки таблицы заполнены. Если есть строка, заполненная только крестиками, побеждает Петя, иначе Вася. Кто из них может гарантировать себе победу?
Задача 7.5. (20 баллов)
По кругу стоит шесть коробок, в одной из них камень. За ход можно из коробки взять один камень и положить по одному камню в соседние с ней коробки. А можно наоборот пару камней в коробках через одну заменить одним камнем в коробке между ними. Через некоторое количество ходов снова остался один камень. Может ли этот камень лежать в коробке, соседней с исходной?
Задача 7.6. (20 баллов)
Назовём расстоянием между двумя клетками доски минимальное количество ходов, которое нужно шахматному коню, чтобы попасть из одной из них в другую. Назовём тройку клеток правильной, если попарные расстояния между ними одинаковые. Сколько правильных троек есть на доске 4 × 4? Примечание. Конь ходит на две клетки по вертикали и затем на одну клетку по горизонтали, или наоборот, на две клетки по горизонтали и на одну клетку по вертикали.
Задача 8.1. (15 баллов)
В школьную столовую собираются завезти шесть видов шоколадных батончиков. По ГОСТу требуется, чтобы цены батончиков были натуральными числами и суммарная стоимость шести различных батончиков была равна 101 рублю. Кроме того, администрация хочет установить цены так, чтобы для любых двух школьников, купивших одинаковое количество батончиков — не более одного каждого вида, стоимости их покупок отличались меньше чем на некоторое натуральное 𝑑. При каком наименьшем 𝑑 администрация сможет этого добиться?
Задача 8.2. (15 баллов)
Даны две одинаковые стопки из девяти карточек, на которых написаны числа 0, 1, 2, …, 8. Можно ли разложить эти карточки по кругу так, чтобы нули лежали рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, …, между карточками с числом 𝑘 лежало ровно 𝑘 карточек, …, между карточками с числом 8 лежало ровно 8 карточек?
Задача 8.3. (15 баллов)
Параллелепипед 6 × 5 × 5, покрасили снаружи в синий цвет, а потом распилили на единичные кубики. Из какого наибольшего числа кубиков можно сложить синий снаружи параллелепипед без внутренних полостей, используя только кубики с хотя бы одной синей гранью?
Задача 8.4. (15 баллов)
Найдите все пары целых (𝑥; 𝑦), для которых верно равенство √︁ 𝑥 − √ 𝑦 + √︁ 𝑥 + √ 𝑦 = √ 𝑥𝑦.
Задача 8.5. (20 баллов)
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена высота 𝐵𝐻. Точка 𝑁 симметрична 𝐻 относительно середины стороны 𝐴𝐶. Предположим, что 𝐵𝑁 = 𝐴𝐶. Докажите, что ортоцентр делит отрезок 𝐵𝐻 в отношении 3 : 1, считая от вершины.
Задача 8.6. (20 баллов)
Дана таблица с 𝑛 строками и десятью столбцами, Петя и Вася по очереди ставят в клетки таблицы крестики и нолики. За ход Петя ставит два крестика (или, если осталось одно незаполненное поле, то 1 крестик), а Вася ставит один нолик. Начинает Петя. Игра заканчивается, когда все клетки таблицы заполнены. Если есть строка, заполненная только крестиками, побеждает Петя, иначе Вася. Для какого минимального 𝑛 Петя может гарантировать себе победу?
Задача 9.1. (15 баллов)
Петя задумал число 𝑥, а Вася — число 𝑦, причём Петино число оказалось больше. Затем Петя нашёл значение выражения 𝑥 3 𝑥 2 + 𝑥 + 1 , а Вася — выражения 𝑦 3 𝑦 2 + 𝑦 + 1 . Обязательно ли полученное Петей число будет больше Васиного?
Задача 9.2. (15 баллов)
Имеется 26 карточек: по две штуки с числами 1, 2, 3, …, 13. Требуется разложить эти карточки по стопкам так, чтобы: • любые две одинаковые карточки лежали в одной стопке; • если две карточки лежат в одной стопке, карточка с суммой чисел на них не лежит в той же стопке. Каким минимальным количеством стопок можно обойтись?
Задача 9.3. (15 баллов)
Диагонали трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶) пересекаются в точке 𝑃. Известно, что периметры треугольников 𝐴𝑃 𝐵 и 𝐶𝑃 𝐷 равны. Обязательно ли трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 является равнобедренной?
Задача 9.4. (15 баллов)
Многие учащиеся математического кружка остаются в нём преподавать после выпуска. Будем говорить, что Ваня является последователем Саши, если Ваня учился у Саши или если Ваня учился у ученика Саши, ученика ученика Саши и так далее. Преподаватель кружка называется народным, если у него есть последователи, и не менее половины из них — победители международной олимпиады IMO. Известно, что всего в кружке училось 100 победителей IMO. Какое наибольшее количество народных преподавателей может быть в этом кружке, если у каждого человека не более одного учителя и никто не является собственным последователем?
Задача 9.5. (20 баллов)
Окружности 𝑆1 и 𝑆2 с центрами 𝑂1 и 𝑂2 касаются внешним образом в точке 𝐾. На 𝑆1 и 𝑆2 выбраны точки 𝐵 и 𝐴 соответственно такие, что отрезки 𝑂1𝐴 и 𝑂2𝐵 касаются окружностей и пересекаются в точке 𝐶. Докажите, что углы 𝐴𝐾𝐶 и 𝐾𝐵𝐶 равны.
Задача 9.6. (20 баллов)
Дан приведённый квадратный трёхчлен 𝑓 с целыми коэффициентами. Известно, что если 𝑓(𝑥) (𝑥 целый) делится на некоторое простое 𝑝 > 2024, то 𝑓(𝑥) также делится на 𝑝 2 . Докажите, что тогда это свойство верно и для всех простых 𝑝 < 2024.
Задача 10.1. (15 баллов)
Можно ли число 2024 представить в виде 𝑎 3 + 𝑏 2 , где 𝑎 и 𝑏 — натуральные числа? Задача 10.2. (15 баллов) Сколько существует таких приведённых квадратных трёхчленов 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 с целыми коэффициентами, что 𝑓(𝑓(1000)) = 0?
Задача 10.3. (15 баллов)
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝐼 — центр вписанной окружности, точки 𝐸 и 𝐹 — основания биссектрис 𝐵𝐼 и 𝐶𝐼 соответственно. Прямая 𝐴𝐼 пересекает описанную около треугольника 𝐸𝐼𝐹 окружность в точке 𝑇 ̸= 𝐼. Докажите, что ортоцентр треугольника 𝐴𝐸𝐹 равноудалён от точек 𝑇 и 𝐼.
Задача 10.4. (15 баллов)
Многие учащиеся математического кружка остаются в нём преподавать после выпуска. Будем говорить, что Ваня является последователем Саши, если Ваня учился у Саши или если Ваня учился у ученика Саши, ученика ученика Саши и так далее. Преподаватель кружка называется народным, если у него есть последователи, и не менее половины из них — победители международной олимпиады IMO. Известно, что всего в кружке училось 100 победителей IMO. Какое наибольшее количество народных преподавателей может быть в этом кружке, если у каждого человека не более одного учителя и никто не является собственным последователем?
Задача 10.5. (20 баллов)
Окружность 𝜔 описана около треугольника 𝐴𝐵𝐶. Биссектриса 𝐴𝐿 пересекает 𝜔 в точке 𝑆 ̸= 𝐴. Докажите, что длина проекции отрезка 𝐴𝑆 на прямую 𝐴𝐵 больше длины отрезка 𝐴𝐿.
Задача 10.6. (20 баллов)
По кругу расставлены натуральные числа. Петя поделил каждое из них на натуральное число, ближайшее к среднему геометрическому соседних чисел. Оказалось, что все полученные числа — натуральные. Чему может быть равно наибольшее из них?
Задача 11.1. (15 баллов)
Можно ли число 2024 представить в виде 𝑎 5 + 𝑏 3 , где 𝑎 и 𝑏 — натуральные числа?
Задача 11.2. (15 баллов)
В некотором числе 10 единиц, 100 двоек, 1000 троек, . . . , 109 девяток, расположенных в некотором порядке. Каждую секунду в нём стирают последнюю цифру. Правда ли, что в какой-то момент после начального получится число, делящееся на 9?
Задача 11.3. (15 баллов)
В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷, в котором 𝐴𝐵 = = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷. Его диагонали 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 пересекаются в точке 𝐸. Описанная окружность треугольника 𝐴𝐷𝐸 пересекает сторону 𝐴𝐵 в точке 𝑃 ̸= 𝐴 и продолжение стороны 𝐶𝐷 в точке 𝑄 ̸= 𝐷. Докажите, что отрезки 𝐴𝑃 и 𝐷𝑄 равны.
Задача 11.4. (15 баллов)
Есть 4𝑛 отрезков длины 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥4𝑛, где 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2, а при 𝑘 > 2 выполнено 𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘−2. Сколькими способами эти отрезки можно разбить на четвёрки так, чтобы из отрезков каждой четвёрки можно было составить четырёхугольник?
Задача 11.5. (20 баллов)
Деревни некоторой языческой страны соединены дорогами так, что от любой деревни можно добраться до любой другой не проходя ни через какую деревню дважды, причём сделать это можно единственным способом. В каждой деревне живет свое племя туземцев. Каждое племя поклоняется одному из трёх идолов: Камню, Ножницам или Бумаге. Известно, что Камень сильнее Ножниц, Ножницы сильнее Бумаги, а Бумага сильнее Камня. Каждое племя желает, чтобы их идол был не слабее, чем идол любого из соседствующих с ними племен. С этой целью каждый вечер ровно в 20:24 каждое племя смотрит на своих соседей и, если обнаруживает соседа с более сильным идолом, меняет свои верования, начиная поклоняться этому более сильному идолу. Верно ли, что рано или поздно все племена начнут верить в одного и того же идола?
Задача 11.6. (20 баллов)
Сфера касается всех рёбер пирамиды, в основании которой лежит выпуклый 2024-угольник. Покрасим в шахматном порядке углы между последовательными рёбрами при вершине вне многоугольника в синий и красный цвета. Докажите, что произведение синусов половинок синих углов равно произведению синусов половинок красных.
Другие олимпиады по математике на сайте:
Отборочный этап 2023-2024 всесибирская олимпиада по математике задания и ответы