Автор Тренировочные варианты формата реального экзамена ЕГЭ 2024 по математике 11 класс профильный уровень задания с ответами и решением для подготовки к экзамену, который пройдёт у 11 классов 31 мая 2024 из открытого банка заданий ФИПИ и экзаменов прошлых лет. Вариант профильного уровня ЕГЭ состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
Решать 13 вариант ЕГЭ 2024 математика профиль
variant13-ege2024-profil-mat-11klass1. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.
2. На координатной плоскости изображены векторы ⃗𝑎 и ⃗𝑏. Найдите скалярное произведение ⃗𝑎 · ⃗𝑏.
3. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
4. На олимпиаде по истории 400 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
5. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 40% этих стёкол, вторая — 60%. Первая фабрика выпускает 1% бракованных стёкол, а вторая — 2%. Найдите вероятность того, что купленное в магазине случайное стекло окажется без брака.
6. Найдите корень уравнения 𝑥 2 − 16𝑥 + 63 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.
8. Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥 (𝑡) = 1 6 𝑡 2 + 4𝑡 − 20, где 𝑥 — расстояние от точки отсчёта в метрах, 𝑡 — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени 𝑡 = 6 с.
9. Катер должен пересечь реку шириной 𝐿 = 100 м и со скоростью течения 𝑢 = 0,5 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением 𝑡 = 𝐿 𝑢 ctg𝛼, где 𝛼 — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом 𝛼 (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?
10. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?
11. На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) = 𝑘 𝑥 и 𝑔 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, которые пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите ординату точки 𝐵.
12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = 3𝑥 − ln (𝑥 + 3)3 .
13. а) Решите уравнение cos 2𝑥 − 5 √ 2 cos 𝑥 − 5 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
14. В основании пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 лежит трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с большим основанием 𝐴𝐷. Диагонали пересекаются в точке 𝑂. Точки 𝑀 и 𝑁 — середины боковых сторон 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Плоскость 𝛼 проходит через точки 𝑀 и 𝑁 параллельно прямой 𝑆𝑂. а) Докажите, что сечение пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼 является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼, если 𝐴𝐷 = 7, 𝐵𝐶 = 5, 𝑆𝑂 = 4, а прямая 𝑆𝑂 перпендикулярна прямой 𝐴𝐷.
16. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы: — в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года; — в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
17. В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол 𝐵𝐴𝐶 вдвое больше угла 𝐶𝐴𝐷. Биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точке 𝐿. На продолжении стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 выбрана такая точка 𝐸, что 𝐴𝐸 = 𝐶𝐸. а) Докажите, что 𝐴𝐿 · 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 · 𝐴𝐶. б) Найдите 𝐸𝐿, если 𝐴𝐶 = 8,tg ∠𝐵𝐶𝐴 = 1 2 .
19. Квадратное уравнение 𝑥 2 −𝑝𝑥+𝑞 = 0 с натуральными коэффициентами 𝑝 и 𝑞 имеет два натуральных корня. а) Найдите все возможные значения 𝑝, если 𝑞 = 11. б) Могут ли одновременно выполняться неравенства 𝑝 > 100 и 𝑞 < 20? в) Найдите наименьшее значение (𝑝 + 𝑞) при 𝑝 < 20 и 𝑞 < 20.
14 вариант профиля ЕГЭ 2024 по математике 11 класс
variant14-ege2024-profil-mat-11klass1. Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Её площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
2. На координатной плоскости изображены векторы ⃗𝑎 и ⃗𝑏. Найдите скалярное произведение ⃗𝑎 · ⃗𝑏.
3. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 все рёбра равны 3. Найдите угол между прямыми 𝐴𝐴1 и 𝐵𝐶1. Ответ дайте в градусах.
4. В классе 16 учащихся, среди них два друга — Михаил и Вадим. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Михаил и Вадим окажутся в одной группе.
5. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем — 0,4. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,9?
8. На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0. Найдите значение производной функции 𝑓 (𝑥) в точке 𝑥0.
9. Наблюдатель находится на высоте ℎ, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле 𝑙 = √︁ 𝑅ℎ 500 , где 𝑅 = 6400 км — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 4 километров? Ответ дайте в метрах.
10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) = 𝑎 √ 𝑥 и 𝑔 (𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏, которые пересекаются в точке 𝐴. Найдите ординату точки 𝐴.
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = (𝑥 + 6)2 𝑒 4−𝑥 .
14. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 на диагонали 𝐵𝐷1 отмечена точка 𝑁 так, что 𝐵𝑁 : 𝑁𝐷1 = 1 : 2. Точка 𝑂 — середина отрезка 𝐶𝐵1. а) Докажите, что прямая 𝑁𝑂 проходит через точку 𝐴. б) Найдите объём параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1, если длина отрезка 𝑁𝑂 равна расстоянию между прямыми 𝐵𝐷1 и 𝐶𝐵1 и равна √ 2.
16. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 27 млн рублей?
17. Окружность с центром 𝑂, построенная на катете 𝐴𝐶 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 как на диаметре, пересекает гипотенузу 𝐴𝐵 в точках 𝐴 и 𝐷. Касательная проведенная к этой окружности в точке 𝐷, пересекает катет 𝐵𝐶 в точке 𝑀. а) Докажите, что 𝐵𝑀 = 𝐶𝑀. б) Прямая 𝐷𝑀 пересекает прямую 𝐴𝐶 в точке 𝑃, прямая 𝑂𝑀 пересекает прямую 𝐵𝑃 в точке 𝐾. Найдите 𝐵𝐾 : 𝐾𝑃, если cos ∠𝐵𝐴𝐶 = 4 5 .
18. Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых наименьшее значение функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 − 2𝑎 − 1 + |𝑥 2 − 𝑥 − 2| меньше −2.
19. Есть контейнеры массой 7 тонн и массой 2 тонны и корабли грузоподъемностью 10 тонн. а) Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 14 кораблях? б) Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 12 кораблях? в) На каком наименьшем количестве кораблей можно увести за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 77 контейнеров массой 2 тонны.
15 вариант заданий с ответами
variant15-ege2024-profil-mat-11klass1. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
2. Даны векторы ⃗𝑎 (0; 3), ⃗𝑏 (−2; 4) и ⃗𝑐 (4; −1). Найдите длину вектора ⃗𝑎 + 2⃗𝑏 + ⃗𝑐.
3. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его рёбра увеличить в 2 раза?
4. В группе туристов 20 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Ф. полетит вторым рейсом вертолёта.
5. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,21. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥). На оси абсцисс отмечено одиннадцать точек: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9, 𝑥10, 𝑥11. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции 𝑓 (𝑥) положительна.
9. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна 𝐼 = 𝜀 𝑅+𝑟 , где 𝜀 — ЭДС источника (в вольтах), 𝑟 = 1 Ом — его внутреннее сопротивление, 𝑅 — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания 𝐼кз = 𝜀 𝑟 ? Ответ дайте в омах.
10. Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?
11. На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏. Найдите значение 𝑥, при котором 𝑓 (𝑥) = 29.
12. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = (𝑥 − 2)2 (𝑥 − 4) + 5 на отрезке [1; 3].
14. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2. Точка 𝑀 — середина ребра 𝐴1𝐶1, а точка 𝑂 — точка пересечения диагоналей боковой грани 𝐴𝐵𝐵1𝐴1. а) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, являющегося сечением призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 плоскостью 𝐴𝑀𝐵 лежит на отрезке 𝑂𝐶1. б) Найдите угол между прямой 𝑂𝐶1, и плоскостью 𝐴𝑀𝐵.
15. В августе 2020 года взяли кредит. Условия возврата таковы: — в январе каждого года долг увеличивается на 𝑟%; — с февраля по июль необходимо выплатить часть долга. Кредит можно выплатить за четыре года равными платежами по 777 600 рублей, или за два года равными платежами по 1 317 600 рублей. Найдите 𝑟.
17. Серединный перпендикуляр к стороне 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 переcекает сторону 𝐴𝐶 в точке 𝐷. Окружность с центром 𝑂, вписанная в треугольник 𝐴𝐷𝐵, касается отрезка 𝐴𝐷 в точке 𝑃, а прямая 𝑂𝑃 пересекает сторону 𝐴𝐵 в точке 𝐾. а) Докажите, что около четырёхугольника 𝐵𝐷𝑂𝐾 можно описать окружность. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника 𝐵𝐷𝑂𝐾, если 𝐴𝐵 = 10, 𝐵𝐶 = √ 19, 𝐴𝐶 = 9.
19. На столе лежит три карточки, на каждой из которых написана только одна цифра. Ваня составил из написанных на карточках цифр трёхзначное число 𝐴. Петя выбрал две из этих карточек и составил из написанных на них цифр двузначное число 𝐵 и вернул карточки на место. Коля тоже выбрал две из этих трех карточек и составил из написанных на них цифр двузначное число 𝐶 (возможно, то же самое, что и Петя). а) Может ли быть верным равенство 𝐴 = 𝐵 + 𝐶? б) Может ли быть верным равенство 𝐴 = 𝐵 + 𝐶, если числа 𝐵 и 𝐶 делятся на 3? в) Найдите наибольшее число 𝐴, для которого может быть верным равенство 𝐴 = 𝐵 + 𝐶?
16 вариант
variant16-ege2024-profil-mat-11klass1. Хорда 𝐴𝐵 стягивает дугу окружности в 92∘ . Найдите угол 𝐴𝐵𝐶 между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку 𝐵. Ответ дайте в градусах.
3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
4. В группе туристов 20 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Ф. полетит вторым рейсом вертолёта.
5. В коробке 8 синих, 9 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥) параллельна прямой 𝑦 = 2𝑥 + 5 или совпадает с ней.
9. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте ℎ м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле 𝑙 = √︁ 𝑅ℎ 500 , где 𝑅 = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 5,6 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 10,4 километров?
10. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.
11. На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏. Найдите 𝑎.
14. Дана правильная треугольная призма 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1, в которой сторона основания 𝐴𝐵 = 4, боковое ребро 𝐴𝐴1 = 2√ 7. Точка 𝑄 — точка пересечения диагоналей грани 𝐴𝐵𝐵1𝐴1, точки 𝑀, 𝑁 и 𝐾 — середины 𝐵𝐶, 𝐶𝐶1 и 𝐴1𝐶1 cответственно. а) Докажите, что точки 𝑄, 𝑀, 𝑁 и 𝐾 лежат в одной плоскости. б) Найдите площадь сечения 𝑄𝑀𝑁.
16. Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.
17. Точка 𝐵 лежит на отрезке 𝐴𝐶. Прямая, проходящая через точку 𝐴, касается окружности с диаметром 𝐵𝐶 в точке 𝑀 и второй раз пересекает окружность с диаметром 𝐴𝐵 в точке 𝐾. Продолжение отрезка 𝑀𝐵 пересекает окружность с диаметром 𝐴𝐵 в точке 𝐷. а) Докажите, что прямые 𝐴𝐷 и 𝑀𝐶 параллельны. б) Найдите площадь треугольника 𝐷𝐵𝐶, если 𝐴𝐾 = 7 и 𝑀𝐾 = 14.
19. Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров. а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см? б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см? в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?
17 вариант
variant17-ege2024-profil-mat-11klass1. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.
3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объём параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
4. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,93. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,49. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20 включительно.
5. Катя коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Кати уже есть три разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Кате придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?
6. Найдите корень уравнения log7 (4 − 𝑥) = 2 log7 4.
7. Найдите значение выражения 𝑞(𝑏 − 2) − 𝑞(𝑏 + 2), если 𝑞(𝑏) = 3𝑏.
8. Прямая 𝑦 = 4𝑥 + 13 параллельна касательной к графику функции 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 5. Найдите абсциссу точки касания.
10. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.
11. На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑏 + log𝑎 𝑥. Найдите значение 𝑥, при котором 𝑓 (𝑥) = 1.
13. а) Решите уравнение 2 log2 4 (4 cos 𝑥) − 7 log4 (4 cos 𝑥) + 3 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
14. В правильной шестиугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 боковое ребро 𝑆𝐴 = 14, а сторона 𝐴𝐵 = 8. Точка 𝑀 середина стороны 𝐴𝐵 Плоскость 𝛼 проходит через точки 𝑀 и 𝐷 и перпендикулярна плоскости 𝐴𝐵𝐶. Прямая 𝑆𝐶 пересекает плоскость 𝛼 в точке 𝐾. a) Докажите, что 𝑀𝐾 = 𝐾𝐷. б) Найдите объем пирамиды 𝑀𝐶𝐷𝐾.
15. Решите неравенство 𝑥 2 log243 (4 − 𝑥) ⩽ log3 (𝑥 2 − 8𝑥 + 16).
16. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
17. Дан ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямая, перпендикулярная стороне 𝐴𝐷, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝑀, диагональ 𝐵𝐷 — в точке 𝑁, причем 𝐴𝑀 : 𝑀𝐶 = 1 : 2, 𝐵𝑁 : 𝑁𝐷 = 1 : 3. а) Докажите, что cos ∠𝐵𝐴𝐷 = 0,2. б) Найдите площадь ромба, если 𝑀𝑁 = 5.
18. Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых уравнение |𝑎 − 2|𝑥 4 − 2𝑎𝑥2 + |𝑎 − 12| = 0 имеет хотя бы два различных решения.
19. Бесконечная геометрическая прогрессия 𝑏1, 𝑏2, . . . , 𝑏𝑛, . . . состоит из различных натуральных чисел. Пусть 𝑆1 = 𝑏1 и 𝑆𝑛 = 𝑏1 + 𝑏2 + · · · + 𝑏𝑛 при всех натуральных 𝑛 ⩾ 2. а) Существует ли такая прогрессия, среди чисел 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4 которой ровно два числа делятся на 60? б) Существует ли такая прогрессия, среди чисел 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4 которой ровно три числа делятся на 60? в) Какое наибольшее количество чисел среди 𝑆1, 𝑆2, . . . , 𝑆12 может делиться на 60, если известно, что 𝑆1 на 60 не делится?
18 вариант
variant18-ege2024-profil-mat-11klass1. Сторона правильного треугольника равна √ 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
3. Объём параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 равен 12. Найдите объём треугольной пирамиды 𝐴𝐵𝐶𝐵1.
4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что количество выпавших орлов меньше 2.
5. В городе 46% взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 7,7% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 10%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
7. Найдите значение выражения 5(𝑝(2𝑥) − 2𝑝(𝑥 + 5)), если 𝑝(𝑥) = 𝑥 − 10.
8. Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥 (𝑡) = 1 5 𝑡 3 + 2𝑡 2 + 7𝑡 + 19, где 𝑥 — расстояние от точки отсчёта в метрах, 𝑡 — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени 𝑡 = 5 с.
9. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону 𝐻(𝑡) = 𝐻0 − √︀ 2𝑔𝐻0𝑘𝑡 + 𝑔 2 𝑘 2 𝑡 2 , где 𝑡 — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, 𝐻0 = 20 м — начальная высота столба воды, 𝑘 = 1 50 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а 𝑔 — ускорение свободного падения (считайте 𝑔 = 10 м/с2 ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?
10. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 420 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 6. Найдите 𝑓 (−6).
12. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = log3 (𝑥 2 − 6𝑥 + 10) + 2.
13. а) Решите уравнение 2 4 cos 𝑥 + 3 · 2 2 cos 𝑥 − 10 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
14. Дана четырёхугольная пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 с прямоугольником 𝐴𝐵𝐶𝐷 в основании. Сторона 𝐴𝐵 равна 3 √ 2, а 𝐵𝐶 равна 6. Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин 𝐴 и 𝐶 на ребро 𝑆𝐵 опущены перпендикуляры 𝐴𝑃 и 𝐶𝑄. а) Докажите, что точка 𝑃 является серединой отрезка 𝐵𝑄. б) Найдите угол между плоскостями 𝑆𝐵𝐴 и 𝑆𝐵𝐶, если ребро 𝑆𝐷 равно 9.
16. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 𝑆 тыс рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным 𝑆 тыс. рублей; — выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей; — к июлю 2021 долг будет выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат за пять лет.
17. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑀 и 𝑁 — середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно. Известно, что около четырехугольника 𝐴𝑀𝑁𝐶 можно описать окружность. a) Докажите, что треугольник 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный. б) На стороне 𝐴𝐶 отмечена точка 𝐹, такая что ∠𝐴𝐹 𝐵 = 135∘ . Отрезок 𝐵𝐹 пересекает отрезок 𝑀𝑁 в точке 𝐸. Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника 𝐴𝑀𝑁𝐶, если ∠𝐴𝐵𝐶 = 120∘ и 𝐸𝐹 = 6√ 2.
19. Для чисел 𝐴 и 𝐵, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили 𝑆 — сумму произведений соответствующих цифр. Например. для числа 𝐴 = 123 и 𝐵 = 579 получается сумма 𝑆 = 1 · 5 + 2 · 7 + 3 · 9 = 46. a) Существуют ли трёхзначные числа 𝐴 и 𝐵, для которых 𝑆 = 100? б) Существуют ли пятизначные числа 𝐴 и 𝐵. для которых 𝑆 = 400? В) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой для некоторых четырёхзначных чисел 𝐴 и 𝐵?
Прогноз на ЕГЭ 2024 по математике 11 класс профиль
Прогноз заданий ЕГЭ 2024 профиль математика 11 класс с ответами