Автор Задания и ответы с решением для олимпиады по математике 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс пригласительный школьный этап 2024 всероссийской олимпиады школьников ВСОШ Сириус. Для прохождения на школьный муниципальный этап 2024-2025 учебного года.
Задания и ответы для 3 класса
Задание № 1 Дана сетка из верёвочек. Любая верёвочка между узелками сгорает за 1 минуту. Какой один узелок нужно поджечь, чтобы за 3 минуты сгорела вся сетка? Отметьте все возможные варианты.
Задание № 2 Сколько прямоугольников с нарисованными сторонами можно увидеть на рисунке?
Задание № 3 В кофейном автомате можно купить чёрный кофе, капучино и латте. Напитки выдаются в одинаковых стаканах с четырьмя кружками на крышке. Чтобы различать покупки, автомат закрашивает какое-то количество кружков. У одинаковых напитков рисунок получается одинаковый, у разных — разный. Никита купил себе чёрный кофе, а своим друзьям — два капучино и три латте. Под какой крышкой напиток Никиты?
Задание № 4 В семье Котовых трое детей. Все они родились весной, но в разные годы и месяцы. Если у Кости заменить год рождения на Пашин, не меняя месяц, то Костя всё равно останется самым младшим среди братьев. Если же у Кости заменить год рождения на Мишин, не меняя месяц, то Костя станет самым старшим. Определите месяц рождения каждого ребёнка.
Задание № 5 Из разноцветных палочек сложили пирамидку и поставили на стол, как на рисунке. А потом сфотографировали её сверху. Какая фотография получилась?
Задание № 6 Бабушкины часы исправно бьют каждый час столько раз, сколько сейчас времени (от 11 до 12). А в часах живёт ленивая кукушка. Она кукует вместе с каждым ударом, но только если он не первый, не последний и не предпоследний. Сколько раз за сутки прокукует эта кукушка?
Задание № 7 В 3Ю классе пять девочек: Аня, Белла, Вика, Глория и Даша. Они решают, кто пойдёт на каток. Вика всегда ходит обязательно с Дашей (но Даша может пойти на каток без Вики), Белла всегда ходит на каток со своими двумя подругами из класса. Либо Даша, либо Глория (но не обе вместе) всегда ходят на каток. Белла и Вика терпеть не могут друг друга и никуда не ходят вместе. Если на каток идёт Глория, то идёт и Вика. Даша всегда зовёт с собой Беллу. Кто в итоге пошёл на каток?
Задание № 8 На картинке изображён один и тот же кубик с двух ракурсов так, что видны цвета его пяти граней. Шестая грань — белая. Василиса сделала необычную развёртку этого кубика и раскрасила две грани. Определите цвета остальных кусочков этой развёртки.
Задания и ответы для 4 класса
Задание № 1 В волшебной лавке продаются волшебные кубики, шары и конусы. Все фигурки одного типа стоят одинаково, а разные — возможно, по-разному. Волшебник собрал несколько наборов и расположил их на витрине в порядке возрастания стоимости. Потом он собрал ещё один набор. Куда его следует положить на витрине, чтобы все наборы по-прежнему лежали по возрастанию стоимости?
Задание № 2 Петя играет в игру: на экране есть клетчатый квадрат размером 4 × 4. Каждая клетка окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет. За один ход можно поменять местами либо два столбца, либо две строки. Например, из раскрашенного в шахматном порядке квадрата можно за один ход получить такие квадраты, как на рисунке: В этот раз у Пети на экране квадрат, раскрашенный, как показано на рисунке. Какие квадраты сможет получить Петя за один или несколько ходов?
Задание № 3 Кирилл сложил из нескольких одинаковых красных кубиков куб побольше. Например, на рисунке из кубиков выложен куб со стороной в 2 кубика. Затем Кирилл взял точно такие же по размеру маленькие зелёные кубики и обложил ими в один слой весь красный куб так, что получился куб, зелёный снаружи. Сколько для этого ему понадобилось зелёных кубиков, если красный куб выложен из 125 маленьких?
Задание № 4 Филя нашёл старую таблицу расстояний (по дорогам) между сёлами, но названия всех сёл, кроме Ох, оказались стёрты. Филя нарисовал схематическую (то есть если на рисунке одна дорога длиннее другой, то на самом деле может быть не так) карту дорог. Установите соответствие между названиями сёл и их номерами, пользуясь таблицей. Если клетка пуста, это значит, что прямой дороги между сёлами нет.
Задание № 5 В одной семье детей зовут Саша, Женя и Валя. Все они родились в один день, но в три разных года. Известно, что Саша старше своего брата на 10 лет, а возраст одной из девочек равен сумме возрастов её брата и сестры. Также известно, что сумма возрастов всех детей равна 40 годам, а Женя не младше всех. Как зовут мальчика?
Задание № 6 В автомате продаются шоколадки трёх видов — А, Б и В. Макс хочет купить несколько шоколадок, чтобы из некоторых из них (не ломая) сложить квадрат 3 × 3. Он видит, что в автомате лежит 1 шоколадка вида А, 3 — вида Б и 7 — вида В. Шоколадки выдаются случайным образом, выбрать конкретные нельзя. Какую минимальную сумму стоит приготовить Максу, чтобы наверняка справиться с задачей, если одна шоколадка стоит 100 руб? Ответ выразите в рублях.
Задание № 7 У Васиного дедушки на стене висят четверо часов. Вася знает, что ни одни из них не показывают точное время: какие-то спешат на полчаса, а какие-то отстают на два часа. А ещё двое тоже врут, но как именно, Вася не помнит. Однажды Вася пришёл в гости к дедушке и увидел, что часы показывают время так, как изображено на рисунке. Во сколько Вася пришёл к дедушке? Ответ запишите в формате ЧЧ:ММ.
Задание № 8 В группе из 10 рыцарей и лжецов все разного роста. Каждый заявил: «Среди нас найдутся 2 лжеца выше меня и 2 лжеца ниже меня». Сколько среди этих 10 человек может быть лжецов? Укажите все варианты.
Задания и ответы для 5 класса
Задание № 1 В магазине проводится акция: каждая четвертая шоколадка стоит 70 рублей. Маша купила 10 шоколадок и заплатила 1020 рублей. Сколько рублей нужно было бы заплатить Маше, если она решит купить одну шоколадку?
Задание № 2 Незнайка хочет закрасить в фигуре, изображенной на рисунке, четыре клетки, образующие квадратик 2 × 2. Сколькими способами он может это сделать?
Задание № 3 В аудитории, где проходила олимпиада, ряды расположены полукругом. В первом ряду 10 мест, во втором – 11, в третьем – 12 и т.д. В последнем – 25 мест. Пришедших на олимпиаду школьников рассадили так, что никакие два участника не сидели на соседних местах в одном ряду. Какое максимальное количество школьников могло присутствовать на олимпиаде?
Задание № 4 Пекарь испек большой прямоугольный пирог и собирается его разрезать. Он может делать разрез вдоль любой из сторон от одного края пирога до другого. Какое наименьшее число разрезов он должен сделать, чтобы получить ровно 18 частей?
Задание № 5 Путешественник, прогуливаясь по необитаемому острову, встретил там 5 аборигенов. Каждый абориген на острове либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжет. Каждый из аборигенов сказал: «По крайней мере один из нас – рыцарь». Сколько рыцарей могло быть среди этих аборигенов?
Задание № 6 Лист бумаги разделён на квадраты, в которых записаны цифры от 1 до 6, как показано на рисунке, причём каждый квадрат пронумерован одной и той же цифрой с лицевой и тыльной стороны. Листок складывается по пунктирным линиям. Таким образом получается стопка из 6 квадратов, где каждый квадрат имеет номер. Какое число НЕ может быть на нижнем квадрате, если число 1 находится на верхнем квадрате?
Задание № 7 Фишка двигается по прямоугольной таблице 2 × 3, начиная с произвольной клетки и переходя в соседнюю по стороне клетку. Каждая клетка, в которой побывала фишка помечается числом от 1 до 6 в порядке посещения по возрастанию номера. Клетку можно посетить ровно один раз. Для каждой клетки Дима выписал сумму чисел в клетках, граничащих с ней по стороне. Костя сложил все числа, выписанные Димой. Какую наибольшую сумму мог получить Костя?
Задание № 8 У куба три грани покрашены в красный цвет, три – в белый. Незнайка написал на каждой грани куба какое-то число. Знайка для каждого числа на красной грани посчитал сумму чисел на четырёх соседних с ней гранях и получил 33, 36 и 39. Найдите сумму всех чисел, написанных Незнайкой.
Задания и ответы для 6 класса
Задание № 1 Даны числа 1, 4, 5, 6, 9. Припишите к каждому из них слева одну из цифр 1, 2, 4, 6, 8 так, чтобы каждое число стало квадратом.
Задание № 2 На плоскости нарисовали два произвольных непересекающихся треугольника и луч. Сколько общих точек могло образоваться? Выберите все верные варианты ответа: 0, 2, 3, 5, 6.
Задание № 3 В апреле Аня каждый день совершала прогулку. В те 16 дней, когда согласно прогнозу ожидался дождь, она брала с собой зонтик, в остальные дни – не брала. За 30 апрельских дней прогноз погоды оправдался ровно 20 раз. К счастью, в те дни, когда шел дождь, у Ани всегда был с собой зонтик. Сколько дней в апреле шёл дождь?
Задание № 4 Фигура на рисунке состоит из двух одинаковых квадратов, наложенных друг на друга. Общая часть также представляет собой квадрат, который окрашен серым цветом. Площадь каждого большого квадрата 144 см2 , а периметр образованной наложением фигуры равен 68 см. Чему равна сторона закрашенного квадрата? Ответ выразите в сантиметрах.
Задание № 5 В парке аттракционов 10 билетов стоят дешевле 5560 рублей, а 11 билетов — дороже 6100 рублей. Сколько стоит один билет, если его цена выражается целым числом рублей?
Задание № 6 Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове ДОМИНО, чтобы никакие две гласные буквы не стояли рядом и никакие две согласные буквы тоже не стояли рядом? Словом считается любой упорядоченный набор букв. Сам вариант ДОМИНО тоже следует учесть в ответе.
Задание № 7 Пираты решили разделить сундук с золотыми монетами, при этом каждый должен получить хотя бы одну монету. Известно, что каждому в среднем досталось по 97 монет. Если не считать капитана, получившего 137 золотых, то среднее количество монету у оставшихся пиратов уменьшится до 89. Какое максимальное количество золотых монет мог получить один из пиратов? Чтобы посчитать среднее количество монет, необходимо сложить количество монет у каждого и разделить на количество пиратов.
Задание № 8 Из 343 единичных кубиков сложили куб размером 7×7×7 и покрасили его грани. После этого убрали те единичные кубики, у которых было по 3 покрашенных грани, и у получившейся фигуры докрасили все видимые грани. Потом эту процедуру повторили ещё дважды. Из скольких единичных кубиков состоит оставшаяся фигура?
Задания и ответы для 7 класса
1. Замените буквы в дробях на числа от 1 до 5 так, чтобы значение каждой дроби было целым числом. Каждое число можно использовать только один раз.
2. У Лёни есть несколько пятирублёвых и несколько десятирублёвых монет. Он хочет купить как можно больше пицц в школьной столовой. После долгих вычислений Лёня заметил, что с помощью всех своих пятирублёвых монет и ещё 40 рублей он может купить ровно 4 пиццы без сдачи, а с помощью всех своих десятирублёвых монет и ещё 50 рублей он может купить ровно 5 пицц без сдачи. При этом у Лёни хватает денег на 6 пицц без сдачи. Сколько рублей стоит одна пицца?
3. Друзья Алексей, Василий и Сергей смотрели матч по мини-футболу. После окончания матча они сказали следующее. • Алексей: «Первая команда забила 17 голов. А вторая — больше 14». • Василий: «Первая команда забила больше 18 голов. А вторая — не больше 14». • Сергей: «Первая команда забила меньше 20 голов. А вторая — ровно 14». Оказалось, что ровно один из друзей оба раза ошибся, а двое других оба раза сказали правду. Сколько голов забила каждая команда?
4. Ваня придумал способ шифровать семизначные числа, состоящие из всех цифр от 1 до 7. Он придумал правило: для каждой цифры числа он записывает, сколько цифр справа от неё меньше, чем она сама, а затем убирает само число. Например, если бы у Вани было число 4567123, то он бы его зашифровал как 3333000. Какое число было зашифровано с помощью последовательности цифр 4303200?
5. На рисунке изображены два квадрата. Сколько градусов составляет отмеченный угол?
6. Алиса нарисовала на квадратном листе бумаги несколько горизонтальных и несколько вертикальных линий красного цвета, а Боря нарисовал на том же листе несколько горизонтальных и несколько вертикальных линий синего цвета (каждая из линий параллельна двум сторонам листа и пересекает две его другие стороны; каждый из ребят нарисовал не менее 1 вертикальной и не менее 1 горизонтальной прямой). Известно, что если разрезать лист по красным линиям, то получится 39 кусочков, а если разрезать и по красным, ипосиним линиям, то получится 95 кусочков. Сколько кусочков получится, если разрезать лист бумаги только по синим линиям?
7. Из 216 синих кубиков сложили большой куб 6×6×6. Затем его поверхность покрасили в белый цвет. Какое наибольшее количество кубиков (из этих 216) можно выложить в ряд так, чтобы любые два соседних кубика соприкасались синими гранями?
8. Биссектрисы треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐼. Через неё проведены прямые 𝐾𝑀, 𝐿𝑁, 𝑆𝑇, параллельные 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 соответственно. Причём точки 𝐾 и 𝐿 лежат на отрезке 𝐴𝐶, точки 𝑆 и 𝑁 — на 𝐴𝐵, точки 𝑀 и 𝑇 — на 𝐵𝐶. Найдите периметр треугольника 𝐼𝐾𝐿, если известно, что периметр 𝑆𝑁𝐼 равен 8, периметр 𝑀𝑇𝐼 равен 11, а периметр треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 33.
Задания и ответы для 8 класса
Задание № 1 Натуральные числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 (не обязательно различные) таковы, что каждое из них не превосходит 28. Какое наибольшее значение может принимать выражение.
Задание № 2 Для получения идеальной фиолетовой краски нужно смешать красный, синий и зелёный красители в определённых пропорциях. Юный художник Денис немного ошибся и добавил синего и зелёного красителей вдвое больше, чем нужно, а красного добавил, сколько надо. В итоге краски получилось в 1,4 раза больше, чем нужно. Сколько процентов составляет красный краситель в идеальной фиолетовой краске?
Задание № 3 Гриша придумал способ шифровать шестизначные числа, состоящие из всех цифр от 1 до 6. Он придумал правило: для каждой цифры числа он записывает, сколько цифр справа от неё делятся на неё, а затем убирает само число. Например, если бы у Гриши было число 123456, то он бы его зашифровал как 521000. Какое число было зашифровано с помощью последовательности цифр 042010?
Задание № 4 В каждой клетке таблицы, состоящей из 7 строк и 18 столбцов, стоит кре-стик или нолик. Известно, что в каждой строке есть хотя бы 5 ноликов, а в каждом столбце есть хотя бы 2 нолика. Какое наибольшее количество крестиков может быть в таблице?
Задание № 5 В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены высоты 𝐵𝑃 и 𝐶𝑄. Известно, что ∠𝐶𝐵𝑃 = 2∠𝐴𝐵𝑃 и ∠𝐴𝐶𝑄 = ∠𝐵𝐶𝑄 + 6°. Сколько градусов составляет угол 𝐵𝐴𝐶?
Задание № 6 По кругу стоят 100 детей, каждый из них одет в красную или синюю кофту. Каждый из них заявил: «Хотя бы один из двоих моих соседей — в кофте того же цвета, что и я». Оказалось, что 67 детей сказали правду, а 33 — соврали. Какое наибольшее количество детей в красных кофтах могло быть?
Задание № 7 Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с тупым углом при вершине 𝐶. На стороне 𝐴𝐶 нашлась точка 𝑃 такая, что ∠𝐶𝑃𝐵 = 22°. На отрезке 𝐵𝑃 нашлась точка 𝑄 такая, что 𝐵𝑄 = 2𝑃𝐶 и 𝑄𝐶 ⟂ 𝐵𝐶. Сколько градусов составляет угол 𝐴𝐶𝐵?
Задание № 8 Дима записывает в тетрадку в произвольном порядке натуральные числа от 2 до 40 включительно, каждое по разу. Первое число он записывает синей ручкой. Для каждого из последующих чисел Дима пользуется следующим правилом: если число, которое он собирается написать, является делителем хотя бы одного из ранее выписанных чисел или делится хотя бы на одно из них, то он записывает его красной ручкой, в противном случае — синей. Какое наибольшее количество чисел Дима может написать красной ручкой?
Задания и ответы для 9 класса
Задание № 1 Учительница составляет варианты для контрольной работы. Каждый вариант устроен так: учительница в произведении 345612 · 653209 между какими-то двумя цифрами в каждом числе ставит запятую. Учительница выбирает варианты так, чтобы ответы во всех вариантах были различными. Какое наибольшее число вариантов удастся выбрать учительнице?
Задание № 2 К правильному пятиугольнику приставили правильный треугольник. Чему равна градусная мера угла, обозначенного знаком «?»
Задание № 3 Прямоугольник 6×9 покрыт 18 непересекающимися прямоугольниками 1×3 (прямоугольники лежат по клеточкам). Некоторые из прямоугольников разрезания отмечены на рисунке ниже. Как может быть покрыта отмеченная красным клетка? Выберите все возможные варианты.
Задание № 4 По кругу через равные промежутки растут 846 яблонь. Поздней осенью на каждой из них осталось 1, 2, 3, 4 или 5 яблок. Оказалось, что количества яблок на любых двух рядом растущих яблонях отличаются ровно на 1. Одно яблоко растёт на 200 яблонях, три — на 21. А на скольких яблонях растёт пять яблок?
Задание № 5 Два действительных числа a и b таковы, что выполняется равенство a 2 + 6 a = 2 b 2 + 11 b − 15. Известно, что если изменить a, то равенство точно перестанет быть верным. Найдите все возможные значения b.
Задание № 6 Три параллельные прямые пересекают угол и на каждой стороне высекают отрезки, которые относятся как 3 : 5 : 1 (см. рисунок). В результате образовались две трапеции. Площадь красной трапеции равна 90. Найдите площадь синей трапеции, отмеченной знаком «?».
Задание № 7 Сколько существует натуральных чисел x, для которых найдутся натуральные числа y и z, что 2x + 3y + 6z = 1200?
Задание № 8 8100 школьников встали в шеренгу. По команде «Рассчитайсь!» они по порядку стали называть свои номера: «Один!», «Два!», . . . , «Восемь тысяч сто!». После этого каждый, кто оказался на месте, номер которого — квадрат натурального числа (т.е. 1 = 12 , 4 = 22 , . . .), ушёл играть в футбол. Оставшиеся школьники повторили этот процесс: встали в шеренгу, выкрикнули номера, школьники с номерами — точными квадратами — ушли играть в футбол. Так они повторяли до тех пор, пока количество оставшихся школьников впервые не стало меньше 520. Сколько школьников осталось в этот момент?
Задания и ответы для 10 класса
Задание № 1 У Васи есть прямой бикфордов шнур длиной 20 метров, который горит равномерно со скоростью 1 метр в минуту. Вася хочет поджечь его одновременно в нескольких точках так, чтобы весь шнур сгорел быстрее чем за 3 минуты. В каком наименьшем количестве точек надо поджечь шнур Васе? От места поджигания шнур начинает гореть в обе стороны.
Задание № 2 Действительные числа x, y, z таковы, что (x + y)(x + y + z) = 785, (y + z)(y + z + x) = 692, (z + x)(z + x + y) = 973. Найдите все возможные значения x + y + z.
Задание № 3 У Васи было много прямоугольников размеров 1×14, 1×35, 1×36 и 1×39. Вася сложил из этих прямоугольников квадрат 37 × 37, без пропусков и наложений. Оказалось, что при этом использовались прямоугольники ровно двух размеров. Каких? o 1 × 14; o 1 × 35; o 1 × 36; o 1 × 39.
Задание № 4 166 гномов отправились в поход. Они выходили из точки старта в разное время, у каждого гнома своя постоянная скорость. Оказалось, что каждый гном в какой-то момент был впереди всех остальных. Каким по счету финишировал гном, вышедший пятьдесят третьим?
Задание № 5 Про выпуклый четырёхугольник ABCD известно, что AB = AC = 5, BC = CD = 6. Какая наибольшая площадь у него может быть?
Задание № 6 На картинке ниже изображены две окружности, касающиеся в точке C; O — центр одной из окружностей; AB — их общая внешняя касательная; D — вторая точка пересечения OC и окружности. Известно, что ∠AOC = 116◦ . Найдите градусную меру угла ∠BDC.
Задание № 7 Квадратное уравнение f(x) = 0 имеет ровно один действительных корень t. Оказалось, что квадратное уравнение f(5x + 1) + f(7x − 5) = 0 также имеет ровно один действительный корень (не обязательно равный t). Найдите все возможные значения числа t.
Задание № 8 Сколько существует возрастающих арифметических прогрессий из 11 членов, каждый из которых — натуральное число от 1 до 440 включительно?
Посмотрите также на сайте олимпиады по математике
17-20 октября 2023 Олимпиада по математике 4-11 класс ответы и задания школьного этапа ВСОШ